Riyaziyyat, Ölçmə. Statistikanın elementləri. Çoxluqlar. Birləşmələr nəzəriyyəsinin və ehtimal nəzəriyyəsinin elementləri

Median, moda və ən böyük fərq: ədədlər qrupunu necə təsvir edirik

Verilənləri sıralayıb medianı, modanı və ən böyük fərqi tapmağı, ədədi ortaya görə naməlum qiyməti hesablamağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: ayaqqabı mağazasında rəflərə sıra ilə düzülmüş müxtəlif ölçülü idman ayaqqabıları.

Ayaqqabı mağazası hansı ölçüdən daha çox gətirməlidir? Ölçülərin ədədi ortası burada kömək etmir: o, satışda olan ölçülərdən heç birinə uyğun gəlməyə bilər və hansı ölçünün daha çox alındığını göstərmir. Mağazaya lazım olan ən çox alınan ölçüdür. Riyaziyyatda bunun adı modadır.

Gəlirlərdən danışanda isə çox vaxt mediana baxırlar. Səbəb sadədir: bir neçə çox varlı adam ədədi ortanı xeyli yuxarı dartır, sıranın ortasında duran gəlir isə demək olar ki, yerindən tərpənmir.

Yəni bir qrup ədədi bir ədədlə təsvir etməyin bir neçə yolu var və hər biri öz işini görür. Burada onları yan-yana qoyacağıq: ədədi orta, median, moda və ən böyük fərq.

Niyə lazımdır

Hər biri başqa sualın cavabıdır. Ədədi orta deyir ki, ümumən necədir; median deyir ki, ortadakı necədir; moda deyir ki, ən çox nəyə rast gəlinir. Ən böyük fərq isə qiymətlərin nə qədər səpələndiyini göstərir: məsələn, bir həftənin temperaturlarında ən böyük fərq havanın nə qədər dəyişkən olduğunu deyir.

İmtahanda bu tapşırıqlar ağır hesab istəmir, diqqət istəyir. Sıralamağı unutmaq və ya cəmi tapmaq üçün ortanı saya vurmamaq bir baxışda səhv cavab verir. Qaydanı bir dəfə yaxşı tutsan, bu suallar ən tez həll etdiyin suallardan olacaq.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Çox vaxt verilənlərin bir hissəsi naməlum hərflə (məsələn, $x$ ) göstərilir, ədədi orta və ya median isə məlumdur. Əvvəlcə naməlumu tapmaq, sonra medianı və ya modanı müəyyən etmək lazım gəlir. Cədvəlli sorğu nəticələrində ədədi orta verilib naməlum say tapılır. Bəzən də yeni qiymət əlavə olunduqda ədədi ortanın dəyişməsi izlənilir.

Qayda

Ədədi orta: bütün qiymətlərin cəmi qiymətlərin sayına bölünür. Ədədi orta verilibsə, cəm = ədədi orta $\times$ say.
Median: qiymətlər artan sıra ilə düzülür. Say tək olduqda ortadakı ədəd, cüt olduqda ortadakı iki ədədin ədədi ortası median olur.
Moda: ən çox təkrarlanan qiymətdir. Bir neçə moda ola bilər. Əgər bütün qiymətlər bir dəfə yazılıbsa, moda yoxdur.
Ən böyük fərq: ən böyük qiymətlə ən kiçik qiymətin fərqidir.
Verilənlər arasında digərlərindən kəskin fərqlənən qiymət (kənaraçıxma) ədədi ortanı xeyli dəyişir, mediana isə az təsir edir.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}M=x_{\frac{n+1}{2}}\\[6pt] \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\end{gathered}

2 tapşırıqda

$x_1\le x_2\le\dots\le x_n$ artan sıra ilə düzülmüş $n$ ədəddir, $n$ təkdir. Median $M$ ortadakı ədəddir, $\bar{x}$ ədədi ortadır; burada $n=5$ , yəni $M=x_3$ və $x_1+\dots+x_5=5\bar{x}$ .

$x_1\le x_2\le\dots\le x_n$ artan sıra ilə düzülmüş ədədlərdir, $n$ təkdir, $M$ median, $\bar{x}$ ədədi ortadır; moda ən çox təkrarlanan qiymətdir. Yeni boyu ədədi orta üçün qurulan tənlikdən tap.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}\\[6pt] M=x_{\frac{n+1}{2}}\end{gathered}

$f_i$ hər qiymətin neçə dəfə təkrarlandığını, $n$ isə qiymətlərin ümumi sayını (təkdir) göstərir. Ədədi orta tənliyindən $x$ tapılır, qiymətlər artan sıra ilə düzüləndə ortadakı $\frac{n+1}{2}$ -ci qiymət median, ən çox təkrarlananı isə moda olur.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\\[6pt] M=\frac{x_{n/2}+x_{n/2+1}}{2}\ (n\ \text{cüt})\end{gathered}

$x_1\le x_2\le\dots\le x_n$ artan sıra ilə düzülmüş qiymətlərdir, $\bar{x}$ ədədi orta, $M$ isə medianı göstərir. Burada $n=6$ cütdür: əvvəlcə ədədi ortanın tənliyindən $x$ tapılır, sonra median $M=\frac{x_3+x_4}{2}$ kimi hesablanır.

Özün yoxla

Hər sualda cavabı yaz. Unutma: median üçün əvvəlcə sırala. Kəsr cavabı vergüllə yaz.

Nümunələr

Artan sıra ilə yazılmış

3;\ 5;\ x;\ 9;\ 13

ədədlərinin ədədi ortası

7{,}4

-dür.

x

-i və medianı tap.

Həllə bax

Cəm $7{,}4\times 5=37$ olmalıdır. Onda $3+5+9+13+x=37$ , yəni $30+x=37$ və $x=7$ . Say tək olduğundan ortadakı ədəd medianı verir: median $7$ -dir.

$12;\ 4;\ 9;\ 7;\ 4;\ 15$ verilənləri üçün median, moda və ən böyük fərqi tap.

Həllə bax

Artan sıra: $4;\ 4;\ 7;\ 9;\ 12;\ 15$ . Say cütdür, ortada $7$ və $9$ durur: median $\frac{7+9}{2}=8$ . Moda $4$ -dür, çünki iki dəfə təkrarlanan yeganə qiymətdir. Ən böyük fərq $15-4=11$ .

Artan sırada ortadakı iki qiymət
Sıra	Qiymət
$1$	$4$
$2$	$4$
$3$	$7$
$4$	$9$
$5$	$12$
$6$	$15$

$5;\ 6;\ 6;\ 7;\ 8;\ 40$ verilənlərində $40$ qiyməti çıxarılsa, ədədi orta və median necə dəyişər?

Həllə bax

$40$ ilə: ədədi orta $\frac{72}{6}=12$ , median $\frac{6+7}{2}=6{,}5$ . $40$ -sız: ədədi orta $\frac{32}{5}=6{,}4$ , median $6$ . Ədədi orta $5{,}6$ azalır, median isə $0{,}5$ .

Kənaraçıxmanın təsiri
Verilənlər	Ədədi orta	Median
$40$ ilə	$12$	$6{,}5$
$40$ -sız	$6{,}4$	$6$

Şagirdlər neçə kitab oxuduqlarını deyiblər:

2

şagird

3

kitab,

x

şagird

4

kitab,

3

şagird

5

kitab oxuyub. Bir şagirdə düşən orta kitab sayı

4{,}1

-dir.

x

-i, medianı və modanı tap.

Həllə bax

Kitabların cəmi: $3\times 2+4\times x+5\times 3=21+4x$ . Şagirdlərin sayı: $2+x+3=5+x$ .
Ədədi orta: $\frac{21+4x}{5+x}=4{,}1$ . Onda $21+4x=20{,}5+4{,}1x$ , yəni $0{,}1x=0{,}5$ və $x=5$ .
Cəmi $10$ şagird var. Artan sırada: iki dəfə $3$ , beş dəfə $4$ , üç dəfə $5$ .
Say cütdür, ortada $5$ -ci və $6$ -cı qiymət durur: ikisi də $4$ -dür. Median $\frac{4+4}{2}=4$ .
Ən çox təkrarlanan qiymət $4$ -dür (beş dəfə), deməli, moda $4$ -dür.

$x=5$ , median $4$ , moda $4$ .

Tipik səhv

$9;\ 2;\ 7;\ 4;\ 5$ verilənlərinin medianı yazılış sırasında ortada duran $7$ -dir.

Əvvəlcə sırala: $2;\ 4;\ 5;\ 7;\ 9$ . Ortadakı ədəd $5$ -dir, deməli, median $5$ -dir.

Median artan (və ya azalan) sıradakı mövqeyə görə təyin olunur, yazılış sırasına görə yox. Ona görə əvvəlcə sırala, sonra ortanı seç.

Say cüt olanda ortadakı iki ədədi götür və onların ədədi ortasını hesabla.

Özünü sına

$12;\ 3;\ 16;\ 5;\ 9;\ 6$ verilənlərinin medianını tap.

$4;\ 8;\ 4;\ 11;\ 8;\ 15$ verilənlərinin bütün modalarını göstərən variantı seç.

$7;\ 18;\ 24;\ 11;\ 16$ verilənlərinə $30$ əlavə etsən, ən böyük fərq neçə olar?

Bu mövzunun sınağı

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 9.1 «Verilənlərin bəzi statistik xarakteristikaları», səh. 97
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 9.1 «Median və moda», səh. 101