Riyaziyyat, Ölçmə. Statistikanın elementləri. Çoxluqlar. Birləşmələr nəzəriyyəsinin və ehtimal nəzəriyyəsinin elementləri

Eyler-Venn diaqramı ilə məsələ həlli: iki və üç çoxluq

Bu mövzudan sonra iki və ya üç çoxluqlu məsələdə diaqramı doldurub istənilən hissənin sayını tapa biləcəksən.

Oxumaq üçün 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: yazı lövhəsində təbaşirlə çəkilmiş iki kəsişən dairə və onların içində, ortaq hissəsində və kənarında rəngli maqnitlər.

Bir neçə cavab seçmək mümkün olan sorğuda səslərin cəmi iştirak edənlərin sayından çox çıxa bilər. Bu, hesablama səhvi deyil: hər cavabın sayına onu seçən hər kəs daxildir.

Məsələn, həm riyaziyyatı, həm də tarixi seçən şagird hər iki fənnin sayında var, ona görə cəmə iki dəfə düşür. Neçə nəfərin harada olduğunu dəqiq bilmək üçün hər kəsi bir dəfə saymaq lazımdır.

Eyler-Venn diaqramı məhz bunu edir: hər element yalnız bir hissəyə düşür. Hissələri düzgün doldursan, qalanı sadə toplama və çıxmadır.

Niyə lazımdır

Bu üsul sorğuların, dərnək siyahılarının və ya iki siyahının ortaq adlarının sayılmasında lazım olur. Bir adamı iki dəfə saymamaq üçün əvvəlcə ortaq olanları ayırmaq gərəkdir.

İmtahanda bu məsələlər adətən bir neçə addımla həll olunur. Kəsişmədən başlayıb hissələri ardıcıl doldursan, cavabı da elə diaqramın üstündə yoxlaya bilərsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqda iki çoxluğun (məsələn, iki dil və ya iki idman növü) elementlərinin sayı verilir, diaqramın hansısa hissəsindəki say isə tapılmalıdır. Bəzən diaqramda naməlum $x$ olur və ona görə iki çoxluğun fərqinin element sayının ala biləcəyi qiymətlər soruşulur. Daha mürəkkəb variantda üç çoxluq (üç dil, üç lent rəngi) verilir və yalnız bir çoxluğa aid olanların sayı axtarılır.

Qayda

Eyler-Venn diaqramında hər çoxluq dairə ilə, bütün baxılan elementlər isə onları əhatə edən düzbucaqlı ilə göstərilir. Dairələrin ortaq hissəsi kəsişməni göstərir.
Əvvəlcə kəsişmənin sayı yazılır. Sonra, iki çoxluq olduqda, hər çoxluğun ümumi sayından kəsişmənin sayı çıxılır və dairənin ortaq olmayan hissəsinin sayı alınır.
Dairələrdən kənardakı hissə (heç birinə aid olmayanlar) ayrıca yazılır. Düzbucaqlının ümumi sayı diaqramın bütün hissələrinin cəmidir.
İki çoxluğun birləşməsinin sayı: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ . Kəsişmədəkilər cəmdə iki dəfə sayıldığı üçün bir dəfə çıxılır.
Üç çoxluq olduqda cəmdə yalnız iki çoxluğa aid olanlar iki dəfə, hər üçünə aid olanlar üç dəfə hesablanır. Buna əsasən tənlik qurulur.
Cavabı yoxla: bütün hissələrin cəmi ümumi sayı verməlidir.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)

$n(X)$ çoxluğun elementlərinin sayıdır. Bir neçə çoxluğa aid element cəmdə təkrar sayıldığından cütlərin kəsişməsi çıxılır, üçlü kəsişmə isə yenidən əlavə olunur; tapşırıqda hər üç dili bilənlərin sayı bu yolla tapılır.

Öyrənilməli düstur

E_1=n(A)+n(B)+n(C)-2\left(n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C)\right)+3\,n(A\cap B\cap C)

$E_1$ yalnız bir çoxluğa daxil olanların sayıdır. Kəsişmələrdəki elementlərin sayını ortaq bölünənlərin ən kiçiyinə bölmə ilə tap, sonra diaqramı doldur.

Öyrənilməli qayda

Eyler-Venn diaqramında $A\setminus B$ , $A\cap B$ və $B\setminus A$ hissələri kəsişmir, hər hissənin yazısı oradakı elementlərin sayıdır. Elementlərin sayı mənfi ola bilmədiyi üçün bu ifadələr $0$ -dan kiçik olmamalıdır.

Diaqramı özün doldur

Hər sualda əvvəlcə kəsişməni düşün, sonra cavabı yaz.

Nümunələr

Sinifdə 36 şagird var. 20-si futbola, 15-i voleybola gedir, 7-si heç birinə getmir. Neçə nəfər hər ikisinə gedir?

Həllə bax

Futbol və ya voleyboldan ən azı birinə gedənlər

36-7=29

nəfərdir. Kəsişmənin sayı

20+15-29=6

olur. Beləliklə, yalnız futbola

14

, yalnız voleybola

9

nəfər gedir. Yoxlama:

14+6+9+7=36

36 şagird: yalnız futbol 14, hər iki idman növü 6, yalnız voleybol 9, heç biri 7. Ortaq hissə 6 ilə işarələnib.

$A$ çoxluğunda $12$ , $B$ çoxluğunda $9$ element var, $A\cup B$ çoxluğunda isə $17$ element var. $A\cap B$ çoxluğunun element sayını tap.

Həllə bax

$17=12+9-n(A\cap B)$ olduğundan $n(A\cap B)=4$ . Deməli, $n(A\setminus B)=12-4=8$ və $n(B\setminus A)=9-4=5$ . Yoxlama: $8+4+5=17$ .

Düşərgədəki 23 şagirdin hər biri Şəki, Qəbələ və Göygöl səfərlərindən ən azı birində olub. Şəkiyə $16$ , Qəbələyə $12$ , Göygölə $9$ şagird gedib. Hər üç səfərdə $4$ nəfər iştirak edib. Dəqiq iki və dəqiq bir səfərdə olanların sayını tap.

Həllə bax

Dəqiq bir səfərdə olanlar $a$ , dəqiq iki səfərdə olanlar $b$ olsun. Ümumi say: $a+b+4=23$ , yəni $a+b=19$ . Siyahıdakı sayların cəmi: $a+2b+3\times 4=16+12+9=37$ , yəni $a+2b=25$ . İkinci bərabərlikdən birincini çıxsaq, $b=6$ , onda $a=19-6=13$ alınır. Yoxlama: $13+6+4=23$ .

Baxılan elementlərin sayı

15

-dir.

A

çoxluğunda

10

B

çoxluğunda

8

element var.

n(A\cap B)

hansı qiymətləri ala bilər?

Həllə bax

Kəsişmənin sayı $x$ olsun. Onda $n(A\cup B)=10+8-x=18-x$ .
Birləşmə bütün elementlərdən çox ola bilməz: $18-x\le 15$ , yəni $x\ge 3$ .
Kəsişmə kiçik çoxluqdan böyük ola bilməz: $x\le 8$ . Həm də $10-x\ge 0$ və $8-x\ge 0$ olmalıdır, bu da $x\le 8$ verir.
Deməli, $x$ ədədi $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ qiymətlərini ala bilər. Məsələn, $x=3$ olanda: $7+3+5=15$ , kənarda $0$ element qalır.

$n(A\cap B)$ ədədi $3$ -dən $8$ -ə qədər istənilən tam qiyməti ala bilər.

Tipik səhv

$25$ şagirddən $14$ -ü rəsm, $9$ -u musiqi dərnəyinə gedir, $5$ -i hər ikisinə gedir. Yalnız rəsm: $14$ , ortaq: $5$ , yalnız musiqi: $9$ , cəmi $14+5+9=28$ .

Əvvəlcə kəsişməyə $5$ yazılır, sonra yalnız rəsm: $14-5=9$ , yalnız musiqi: $9-5=4$ . Heç birinə getməyənlər: $25-(9+5+4)=7$ nəfər.

Şagirdlər çoxluğun ümumi sayını (məsələn, $14$ ) dairənin ortaq olmayan hissəsinə yazırlar. Bu yanlışdır, çünki $14$ ədədinə kəsişmədəkilər də daxildir.

$14+9=23$ ortaq şagirdləri ikiqat, $14+5+9=28$ isə üçqat sayır.

Özünü yoxla

Eyler-Venn diaqramında yalnız $A$ çoxluğuna aid hissədə $8$ , yalnız $B$ çoxluğuna aid hissədə $6$ , kəsişmədə $4$ , hər iki dairədən kənarda isə $3$ element var. $n(A\cup B)$ sayını tap.

Eyler-Venn diaqramında $A\setminus B$ hissəsində $x-2$ , $B\setminus A$ hissəsində $7-x$ , kəsişmədə isə $3$ element var. $x$ tam ədəddir. Diaqramdakı şərtləri ödəyən ən kiçik $x$ neçədir?

$n(A)=18$ , $n(A\cap B)=7$ , $n(A\cap C)=6$ və $n(A\cap B\cap C)=2$ verilib. Yalnız $A$ çoxluğuna daxil olan elementlərin sayını tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 5.3 «Eyler-Venn diaqramının köməyi ilə məsələ həlli», səh. 16