Riyaziyyat, Ölçmə. Statistikanın elementləri. Çoxluqlar. Birləşmələr nəzəriyyəsinin və ehtimal nəzəriyyəsinin elementləri

Çoxluqların birləşməsində elementlərin sayı: iki dəfə sayma

Bu mövzunu oxuyub ortaq elementləri iki dəfə saymadan iki çoxluğun birləşməsində və kəsişməsində neçə element olduğunu tapacaqsan.

Oxu vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: sinifdə partanın bir tərəfində şahmat taxtası, digər tərəfində sulu boya qutusu və fırçalar.

İki siyahını birləşdirəndə sadəcə toplamaq çox vaxt səhv cavab verir. Tutaq ki, sinifdə şahmat dərnəyinə və rəsm dərnəyinə yazılanların siyahıları var. Adı iki siyahıda da olan şagird cəmdə iki dəfə sayılır, amma sinifdə o, yenə bir nəfərdir.

Riyaziyyatda bu işi çoxluqlarla görürlər. Siyahı çoxluqdur, adlar onun elementləridir, iki siyahıda olan adlar isə kəsişməni təşkil edir. Eyler-Venn diaqramında bu, iki dairənin üst-üstə düşən hissəsidir.

Hər siyahıdakı və hər iki siyahıda olan şagirdlərin sayı veriləndə düzgün cavabı bir sətirlik hesabla taparsan.

Niyə lazımdır

Belə sayma tez-tez lazım olur: iki sorğunun nəticəsini birləşdirəndə, iki tədbirin ümumi iştirakçılarını sayanda, ehtimal məsələsində əlverişli halları hesablayanda. Ortaq hissəni unutsan, cavab real saydan böyük çıxır.

İmtahanda düsturu və üç hissəli diaqramı yaxşı bilən şagird belə tapşırığı tez həll edir. Ən kiçik və ya ən böyük kəsişməni soruşan çətin variantlar da elə bu düsturla həll olunur.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlarda iki (bəzən də üç) çoxluğun ortaq elementləri olduqda birləşmənin və ya kəsişmənin neçə elementi olduğu soruşulur. Bəzən kəsişmənin sayı verilmir, ən kiçik və ya ən böyük mümkün qiymət tələb olunur. Verilənlər kəsr və ya faizlə də ola bilər: məsələn, kollektivin bir hissəsi bir yerə, başqa hissəsi digər yerə getmiş, bəziləri hər ikisində olmuşdur. Belə məsələlərdə Eyler-Venn diaqramı çəkmək və hissələri ayrıca saymaq kömək edir.

Qayda

$A$ və $B$ çoxluqlarının birləşməsinə $A$ -da, $B$ -də və ya hər ikisində olan elementlər daxildir. Kəsişməyə isə hər iki çoxluqda olanlar daxildir.
İki sonlu çoxluq üçün: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ .
Eyni nəticəni üç hissənin cəmi də verir: $n(A\cup B)=n(A\setminus B)+n(A\cap B)+n(B\setminus A)$ .
Kəsişmə boşdursa, $n(A\cup B)=n(A)+n(B)$ .
Hər şey ümumi $S$ çoxluğunun içindədirsə, nə $A$ -da, nə $B$ -də olanların sayı $n(S)-n(A\cup B)$ olur. İki və ya üç şərtin hamısını ödəyənlərin minimum sayını taparkən hər şərti ödəməyənlərin saylarının cəmini $n(S)$ -dən çıx; fərq mənfidirsə, $0$ götür.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

n(A\cup B)=n(A\setminus B)+n(B\setminus A)+n(A\cap B)

Birləşmə üç ayrı hissədən ibarətdir: yalnız $A$ -da, yalnız $B$ -də olanlar və ortaq elementlər. Çoxluqların ortaq elementi var, deməli kəsişmədə ən azı 1 element olur və cəm ən kiçik halda bu qiymətlə alınır.

Öyrənilməli düstur

n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

3 tapşırıqda

Ortaq elementlər $n(A)$ və $n(B)$ cəmində iki dəfə sayıldığından bir dəfə çıxılır. Tapşırıqda $A$ Şuşaya, $B$ Xankəndiyə gedənlərdir, $n(A\cap B)=2$ və birləşmə bütün kollektivdir.

$n(A\cup B)$ ən azı bir çoxluğa aid elementlərin sayıdır; kəsişmə iki dəfə sayıldığı üçün bir dəfə çıxılır. Diaqramda bu say üç hissənin cəminə bərabərdir.

$n(X)$ simvolu $X$ çoxluğunun elementlərinin sayını göstərir. Bütün iştirakçıların sayı 80 olduğundan $n(A\cup B)\le 80$ , buradan kəsişmənin ən kiçik sayı $n(A\cap B)\ge n(A)+n(B)-80$ tapılır, sonra eyni qayda $C$ üçün təkrarlanır.

Öyrənilməli düstur

n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=n(A\setminus B)+n(A\cap B)+n(B\setminus A)

$n(X)$ çoxluğun elementlərinin sayıdır. Hər iki çoxluğa aid elementlər cəmdə iki dəfə sayılır, ona görə bir dəfə çıxılır; tapşırıqda yalnız bir xidmətdən istifadə edənlər $n(A\cup B)-n(A\cap B)$ qədərdir.

Özün say

Ədədləri düstura qoy, cavabı yaz və yoxla. Lazım olsa, kağızda Eyler-Venn diaqramı çək.

Nümunələr

30 şagirdli sinifdə 18 nəfər futbola, 14 nəfər voleybola gedir, 7 nəfər hər ikisinə gedir. Neçə şagird heç birinə getmir?

Həllə bax

Ən azı birinə gedənlər:

18+14-7=25

. Heç birinə getməyənlər:

30-25=5

40 nəfərlik qrupun hər üzvü şahmat və rəsm dərnəklərindən ən azı birindədir. Üzvlərin $\frac{3}{5}$ hissəsi şahmat, $\frac{1}{2}$ hissəsi rəsm dərnəyindədir. Neçə nəfər hər iki dərnəkdədir?

Həllə bax

Şahmat: $40\times\frac{3}{5}=24$ , rəsm: $40\times\frac{1}{2}=20$ . Birləşmə bütün qrupdur: $24+20-x=40$ , buradan $x=4$ .

$n(A)=12$ , $n(B)=9$ , $n(A\cup B)=17$ olarsa, $n(A\cap B)$ və $n(A\setminus B)$ nəyə bərabərdir?

Həllə bax

Düsturdan $17=12+9-n(A\cap B)$ , yəni $n(A\cap B)=4$ . Onda $n(A\setminus B)=12-4=8$ . Yoxlama: $8+4+5=17$ , burada $n(B\setminus A)=9-4=5$ .

Birləşmənin üç ayrı hissəsi
Hissə	Element sayı
$A\setminus B$	$8$
$A\cap B$	$4$
$B\setminus A$	$5$
$A\cup B$	$8+4+5=17$

Tipik səhv

18 nəfər futbola, 14 nəfər voleybola gedir, deməli, ən azı birinə gedənlər $18+14=32$ nəfərdir.

Hər ikisinə gedən 7 nəfər bir dəfə çıxılır: $18+14-7=25$ nəfər.

$n(A)$ ilə $n(B)$ -ni sadəcə toplasan, ortaq elementlər bu cəmdə iki dəfə sayılır, ona görə kəsişmənin sayı cəmdən bir dəfə çıxılmalıdır.

Özünü yoxlamaq üçün cavabı ümumi sayla müqayisə et: $32$ nəfər 30 şagirdli sinifdən çoxdur, deməli, ortaq hissə çıxılmalıdır.

Özünü yoxla

$A$ çoxluğunda $21$ element var. $B$ çoxluğunun $3$ elementinin hamısı $A$ -ya da aiddir. $n(A\cup B)$ neçədir?

$n(A\setminus B)=6$ , $n(A\cap B)=5$ , $n(B\setminus A)=8$ . Birləşmədə neçə element var?

$A$ və $B$ çoxluqları $28$ elementli $S$ çoxluğunun alt çoxluqlarıdır. $n(A)=19$ və $n(B)=16$ olarsa, kəsişmədə ən azı neçə element olar?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Ehtimalın hesablanması», səh. 218
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 5.3 «Eyler-Venn diaqramının köməyi ilə məsələ həlli», səh. 16