Riyaziyyat, Ölçmə. Statistikanın elementləri. Çoxluqlar. Birləşmələr nəzəriyyəsinin və ehtimal nəzəriyyəsinin elementləri

Çoxluqlar üzərində əməllər: kəsişmə, birləşmə və fərq

Kəsişməni, birləşməni və fərqi səhvsiz yazmağı, eyni əməlləri ədədi aralıqlarda da etməyi öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəq

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: döşəmədə üst-üstə düşən iki halqa; birində çiyələk, o birində portağal, ortaq hissədə qırmızı alma.

Yerə iki halqa qoy ki, bir hissəsi üst-üstə düşsün. Birinə qırmızı meyvələri, o birinə yumru meyvələri yığırsan. Çiyələk qırmızıdır, amma yumru deyil, ona görə birinci halqaya düşür. Portağal yumrudur, qırmızı deyil, ona görə ikinci halqaya düşür. Bəs qırmızı alma hara gedir? O, hər iki şərti ödəyir, deməli, yeri halqaların üst-üstə düşən hissəsidir.

Bu sadə oyunda çoxluqların üç əməli var. Ortaq hissə kəsişmədir. Halqaların içindəki bütün meyvələr birləşmədir. Birinci halqada olub ikincidə olmayanlar isə fərqdir. Riyaziyyat bu halqalara sadəcə ad və işarə verir.

Niyə lazımdır

Çoxluq dili riyaziyyatda tez-tez qarşına çıxır. Bərabərsizliklər sisteminin həlli onu təşkil edən bərabərsizliklərin həll çoxluqlarının kəsişməsidir. Şərtlər "və ya" ilə bağlananda isə birləşmə alırsan. Ehtimal və birləşmələr mövzularında elementləri saymaq da bu əməllərə söykənir.

İmtahanda bu tapşırıqlar tez həll olunur. Amma bir elementi unutmaq və ya artıq yazmaq səhv cavaba gətirə bilər. Ona görə əsas iş diqqətdir: hər elementi bir-bir yoxla.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İki çoxluq elementləri ilə verilir və onların fərqini, kəsişməsini və ya birləşməsini yazmaq tələb olunur, cavab variantlarında isə uyğun çoxluq seçilir. Eyni əməllər ədədi aralıqlar üçün də sorğulana bilər. Birləşmənin elementlərini saymaq, boş çoxluq və ya alt çoxluq halını tanımaq da tapşırıq ola bilər.

Qayda

Kəsişmə $A\cap B$ : hər iki çoxluqda olan ortaq elementlər. Ortaq element yoxdursa, nəticə boş çoxluq $\varnothing$ -dir.
Birləşmə $A\cup B$ : iki çoxluğun bütün elementləri. Ortaq elementlər bir dəfə yazılır.
Fərq $A\setminus B$ : $A$ -da olan, lakin $B$ -də olmayan elementlər. Çoxluqların yerini dəyişdikdə fərq dəyişə bilər: $B\setminus A$ isə $B$ -də olub $A$ -da olmayan elementlərdir və adətən $A\setminus B$ -dən fərqlənir.
Xassələr: $A\cap A=A$ , $A\cup A=A$ , $A\cap\varnothing=\varnothing$ , $A\cup\varnothing=A$ , $A\setminus A=\varnothing$ , $A\setminus\varnothing=A$ . Əgər $B\subset A$ olarsa, $A\cap B=B$ və $A\cup B=A$ olur.
Ədədi aralıqlar ədəd oxunda təsvir edilir. Kəsişmə ortaq hissədir, birləşmə hər iki aralığın tutduğu hissədir. Mötərizənin növünə fikir ver: kvadrat mötərizə uc nöqtəni daxil edir, adi mötərizə daxil etmir.

Tapşırıqlarda işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

A\setminus B=\{x\mid x\in A,\ x\notin B\}

$A\setminus B$ çoxluğuna $A$ -nın yalnız $B$ -də olmayan elementləri daxildir. Burada $A$ -dan $B$ -yə də aid olan $2;4;6$ ayrılır, qalan elementlər fərqi verir.

Özünü yoxla: hansı çoxluqdur?

Hər sualda düzgün çoxluğu seç. Elementləri bir-bir yoxla, tələsmə.

Nümunələr

A=\{2;4;6;8;10;12\}

və

B=\{3;6;9;12\}

olduqda

A\cap B

A\cup B

A\setminus B

və

B\setminus A

çoxluqlarını yaz.

Həllə bax

Ortaq elementlər $6$ və $12$ -dir: $A\cap B=\{6;12\}$ . Birləşmə $A\cup B=\{2;3;4;6;8;9;10;12\}$ , burada $6$ və $12$ bir dəfə yazılıb, elementlərin sayı $8$ -dir. Fərqlər: $A\setminus B=\{2;4;8;10\}$ , $B\setminus A=\{3;9\}$ .

$[1;6)$ və $(3;9]$ aralıqlarının kəsişməsini və birləşməsini yaz.

Həllə bax

Ədəd oxunda ortaq hissə $3<x<6$ şərtini ödəyir, yəni kəsişmə $(3;6)$ -dır. Aralıqlar üst-üstə düşdüyü üçün birləşmə $1\le x\le 9$ olur: $[1;9]$ .

[1; 6) və (3; 9] aralıqlarının kəsişməsi (3; 6)-dır. 3 və 6 kəsişməyə daxil deyil; boş dairələrlə göstərilib.

$20$ -dən kiçik natural ədədlərdən $A$ üçə bölünənlər, $B$ isə tək ədədlər çoxluğudur. $A\setminus B$ çoxluğunu tap.

Həllə bax

$A=\{3;6;9;12;15;18\}$ . Bunların tək olanları $3$ , $9$ , $15$ -dir və onlar $B$ -dədir. Qalanları $B$ -də yoxdur, deməli, $A\setminus B=\{6;12;18\}$ .

Tipik səhv

$A=\{1;3;5;7\}$ , $B=\{5;7;9;11\}$ , deməli, $A\setminus B=\{9;11\}$

$A$ -nın hər elementinə bax və $B$ -də olmayanları saxla: $A\setminus B=\{1;3\}$

Səhv cavabda çoxluqların yeri dəyişib və $B$ -nin elementləri götürülüb: $\{9;11\}$ əslində $B\setminus A$ çoxluğudur. Fərqi yazanda həmişə birinci yazılan çoxluqdan başla.

Birləşmədə də tez-tez rast gəlinən bir səhv var: ortaq elementi iki dəfə yazmaq. Burada $A\cup B=\{1;3;5;7;9;11\}$ olur, $5$ və $7$ bir dəfə yazılır.

Mövzu üzrə suallar

$A=\{2;5;8;11\}$ və $B=\{5;9;11\}$ olduqda $A\setminus B$ çoxluğunu tap.

$A=\{3;6;9;12\}$ və $B=\{6;12;15\}$ olduqda $A\cup B$ çoxluğunun neçə elementi var?

$[-2;4]$ və $(4;8]$ aralıqlarının kəsişməsini tap.

Bu mövzunu sınaqda yoxla

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi çoxluqlar və təqdim formaları», səh. 10
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 5.2 «Çoxluqlar üzərində əməllər», səh. 11