Riyaziyyat, Fırlanma fiqurları, onların səthi və həcmi

Oxşar fiqurların sahə və həcm nisbəti: kvadrat və kub

Oxşarlıq əmsalını bilsən, oxşar fiqurların səthlərinin və həcmlərinin nisbətini bir neçə saniyəyə taparsan.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə ölçüsü fərqli iki portağal.

Bir top götür, bir də radiusu ondan iki dəfə böyük olan eyni formalı top. Hər ikisini ideal kürə sayaq. Böyük topun səthi neçə dəfə böyükdür? İki dəfə demək istəyirsən, amma düz cavab dörd dəfədir. Həcmi isə səkkiz dəfə böyük olur.

Portağalı təxminən kürə saysaq, eyni hesab ona da aiddir: diametri iki dəfə böyük olan portağalın səthi dörd, həcmi səkkiz dəfə böyükdür. Deməli, kürə böyüdükcə həcmi səthindən tez artır: həcmin səthə nisbəti radiusla birlikdə böyüyür. Fiqur iki dəfə böyüyür, amma səthi ilə həcmi ayrı-ayrı sürətlə dəyişir.

Bu dəfələri hesablamağın qısa bir qaydası var. Onu bilsən, konusu, silindri və kürəni bir qayda ilə həll edərsən.

Niyə lazımdır

Hər dəfə radiusu və hündürlüyü tapıb səthin, həcmin uzun düsturunu yazmaq lazım deyil. Fiqurlar oxşardırsa, bir ədəd, oxşarlıq əmsalı, kifayət edir: onu kvadrata və ya kuba yüksəldirsən, vəssalam.

İmtahanda bu, vaxt qazandırır: düsturları yazmadan, iki-üç sətirlik hesabla cavaba çatırsan. Üstəlik, eyni fikir xəritədə miqyasla, maketlərdə və ölçüsü böyüdülən hər şeydə işə yarayır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlarda iki oxşar fırlanma fiquru (konuslar, silindrlər, kürələr) verilir. Birinin ölçüsü, səth sahəsi ya da həcmi məlum olur, ikincisininki tapılır. Tez-tez rast gəlinən sual belədir: həcmlər nisbəti verilib, səthlərin sahələri neçə dəfə fərqlənir və ya əksinə. Bəzən əvvəlcə fiqurların oxşar olub-olmadığını yoxlamaq lazım gəlir.

Qayda

Fəza fiqurlarının uyğun xətti ölçülərinin nisbəti sabit olduqda onlar oxşardır. Konuslarda $\dfrac{R}{r}=\dfrac{H}{h}$ yoxlanılır. Bu sabit nisbət $k$ oxşarlıq əmsalıdır. İstənilən iki kürə oxşardır, $k$ onların radiuslarının nisbətinə bərabərdir.
Uyğun xətti ölçülərin (radius, hündürlük, doğuran) nisbəti $k$ -dır.
Səthlərin sahələrinin nisbəti əmsalın kvadratına bərabərdir: $\dfrac{S_1}{S_2}=k^2$ .
Həcmlərin nisbəti əmsalın kubuna bərabərdir: $\dfrac{V_1}{V_2}=k^3$ .
Nisbət həcmlə verilibsə, $k$ kub kökdən, sahə ilə verilibsə kvadrat kökdən tapılır.

Oxşarlıq əmsalı və nisbətlər
Kəmiyyət	Nisbət
Xətti ölçü	$k$
Sahə	$k^2$
Həcm	$k^3$

Tapşırıqlarda istifadə olunan düstur

Öyrənilməli düstur

\frac{V_1}{V_2}=k^3,\ \frac{S_1}{S_2}=k^2

İki oxşar kub: kiçik kubun həcmi V1, səthinin sahəsi S1, böyük kubun həcmi V2, səthinin sahəsi S2.

$k$ oxşarlıq əmsalıdır: oxşar fiqurların həcmləri nisbəti $k^3$ , səthlərinin sahələri nisbəti $k^2$ olur. Əvvəl həcmlər nisbətindən $k$ -nı tap, sonra $k^2$ -ni hesabla.

Özün yoxla

Hər sualda əvvəl $k$ -nı tap, sonra lazım olan dərəcəyə yüksəlt.

Nümunələr

Oxşar konusların radiusları 3 sm və 12 sm-dir. Kiçik konusun tam səthi

24\pi\ \text{sm}^2

, həcmi

12\pi\ \text{sm}^3

-dir. Böyük konusun tam səthini və həcmini tap.

Həllə bax

$k=12:3=4$ . Səth $k^2=16$ dəfə böyükdür: $24\pi\times 16=384\pi\ \text{sm}^2$ . Həcm $k^3=64$ dəfə böyükdür: $12\pi\times 64=768\pi\ \text{sm}^3$ .

Oxşar iki silindrdən birinin həcmi digərinin həcmindən 8 dəfə böyükdür. Yan səthlərinin sahələri neçə dəfə fərqlənir?

Həllə bax

$k^3=8$ olduğundan $k=2$ . Onda $k^2=4$ , yəni yan səthin sahəsi 4 dəfə böyükdür.

2-ci nümunədə nisbətlər
Xətti ölçü	Sahə	Həcm
$2$	$4$	$8$

Oxşar iki konusun tam səthləri $250\ \text{sm}^2$ və $490\ \text{sm}^2$ -dir. Kiçiyinin həcmi $125\ \text{sm}^3$ -dir. Böyüyünün həcmini tap.

Həllə bax

$k^2=\dfrac{250}{490}=\dfrac{25}{49}$ olduğundan $k=\dfrac{5}{7}$ . Onda $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{125}{343}$ və $V_2=125\times\dfrac{343}{125}=343\ \text{sm}^3$ .

Tipik səhv

$k=5$ olduğundan böyük fiqurun həcmi də 5 dəfə böyükdür.

$k=5$ olduğundan sahə $5^2=25$ dəfə, həcm $5^3=125$ dəfə böyükdür, 5 dəfə yox.

Şagirdlər ölçülər $k$ dəfə dəyişəndə sahənin və həcmin də $k$ dəfə dəyişdiyini düşünürlər. Düzgün qayda belədir: xətti ölçü $k$ , sahə $k^2$ , həcm $k^3$ dəfə dəyişir.

Tərs məsələdə də qayda eynidir: həcmlər 64 dəfə fərqlənirsə, $k=\sqrt[3]{64}=4$ götür, onda sahələr $4^2=16$ dəfə fərqlənir.

Özünü sına

İki kürənin radiusları $4$ sm və $6$ sm-dir. Böyük kürənin səthinin sahəsinin kiçik kürənin səthinin sahəsinə nisbətini tap.

Oxşar iki konus üçün $\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{27}{64}$ verilib. Tam səthlərinin sahələri nisbətini, yəni $\dfrac{S_1}{S_2}$ -ni tap.

Oxşar iki silindrdən böyüyünün tam səthinin sahəsi kiçiyininkindən $36$ dəfə böyükdür. Kiçik silindrin həcmi $2\ \text{sm}^3$ olarsa, böyük silindrin həcmini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Oxşar fiqurların səthinin sahəsi», səh. 131
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Oxşar fiqurların həcmi», səh. 189