Riyaziyyat, Nisbət. Tənasüb. Faiz

Nisbət, tənasüb və faiz: endirimi düz hesabla

Nisbəti, tənasübü və hissə ilə bütöv arasındakı əlaqəni anlamağı, endirimdən əvvəlki qiyməti və ardıcıl dəyişmələrin nəticəsini düz hesablamağı öyrənəcəksən.

Oxu müddəti: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: mağazada asılqandakı paltarlar və onların üzərində boş qiymət etiketləri.

Mağazada endirim etiketini görən kimi beynin hesablamağa başlayır: neçə manat ödəyəcəyəm? Telefonun batareya göstəricisi də oxşar sual yaradır: tam dolu batareyanın nə qədər hissəsi qalıb? Yəni bu mövzu dərslikdə qalmır, hər gün qarşına çıxır.

Kiçik bir sual. Qiymət əvvəl yarısı qədər artsa, sonra yeni qiymətin yarısı qədər azalsa, əvvəlki yerinə qayıdarmı? Qayıtmır. $100$ manat əvvəl $150$ manat olur, sonra $150$ -nin yarısı, yəni $75$ manat qalır. Səbəb sadədir: ikinci dəyişmə artıq başqa ədədə əsaslanır.

Belə tələləri görmək üçün hər dəfə hansı ədədi əsas götürdüyünə bax. Əvvəlki qiymətlə indiki qiymət eyni deyil; hesabda da bu fərqi nəzərə almalısan.

Niyə lazımdır

Nisbət və tənasüb reseptdəki ərzağı iki dəfə artırmağa, xəritədən həqiqi məsafəni tapmağa, ortaq pulu ədalətlə bölməyə lazımdır. Hissə ilə bütöv arasındakı əlaqə isə iki təklifi müqayisə etməyə kömək edir: hansı endirimin daha sərfəli olduğunu ağılda tapırsan.

İmtahanda nisbət təkcə bu mövzuda yox, hərəkət, qarışıq və həndəsə məsələlərində də lazım olur. Dəyişməni vuruqla düşünməyi öyrənsən (məsələn, $0{,}7$ və ya $1{,}2$ ), uzun hesab bir sətrə sığır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda hissənin ümumi sayda neçə faiz təşkil etdiyini, endirimdən əvvəlki qiyməti və ardıcıl qiymət dəyişmələrinin nəticəsini tapırsan. Bəzən iki ədəd və ya cəbri ifadə arasında faizlə verilmiş əlaqəni tənliyə çevirməlisən. Ardıcıl cüt ədədlərlə bağlı məsələdə əvvəl ədədləri müəyyənləşdirir, sonra soruşulan ifadəni hesablayırsan.

Qayda

Nisbət bölmə ilə ifadə olunur: $a:b=\frac ab$ , $b\ne0$ . Eyni növ kəmiyyətləri müqayisə edərkən vahidləri eyniləşdir. Məsələn, $2\text{ m}:50\text{ sm}=200:50=4:1$ .
Tənasüb iki nisbətin bərabərliyidir: $\frac ab=\frac cd\Rightarrow ad=bc$ ; burada $b,d\ne0$ . Məchulu tapmaq üçün çarpaz hasilləri bərabərləşdir.
Nisbətdə bölmə zamanı $S$ cəmini $m:n$ nisbətində bölmək üçün hissələri $\frac{Sm}{m+n}$ və $\frac{Sn}{m+n}$ kimi hesabla. Burada $m,n$ müsbətdir; cəmi ayrı-ayrı $m$ və $n$ ədədlərinə bölmə.
Düz mütənasiblik zamanı uyğun qiymətlərin nisbəti sabitdir: $y=kx$ . Tərs mütənasiblikdə isə hasil sabit qalır: $xy=k$ . Məsələn, sabit məsafədə sürət ikiqat artdıqda hərəkət müddəti yarıya enir.
Miqyas plandakı uzunluğun həqiqi uzunluğa nisbətidir. $1:N$ miqyasında həqiqi uzunluğu tapmaq üçün plandakı ölçünü $N$ -ə vur; vahidləri nəzərə al.
Faiz yüzdə bir hissəni bildirir: $p\%=\frac p{100}$ . Məsələn, $25\%=0{,}25=\frac14$ . $A$ ədədinin $p\%$ -i $b$ olarsa, $b=\frac{Ap}{100}$ ; əksinə, $A=\frac{100b}{p}$ , $p\ne0$ .
Faiz nisbəti üçün müqayisə etdiyin kəmiyyəti əsas götürülən kəmiyyətə bölüb $100\%$ -ə vur. Hissənin bütövdəki payı $\frac{\text{hissə}}{\text{bütöv}}\times100\%$ olur. Dairəvi diaqramda $p\%$ paya $360^\circ\times\frac p{100}$ bucaq uyğundur.
Faiz dəyişməsi ilkin qiymətə əsaslanır: artım faizi $\frac{\text{yeni}-\text{ilkin}}{\text{ilkin}}\times100\%$ olur. Azalmanı hesablayanda surətdə ilkin qiymətdən yenini çıx. $p\%$ artım üçün $1+\frac p{100}$ , azalma üçün $1-\frac p{100}$ vuruğundan istifadə et.
Mürəkkəb faiz hər dövrdə yenilənmiş məbləğə tətbiq edilir. Eyni faizlə $n$ dövr artımdan sonra $A_n=A_0(1+\frac p{100})^n$ alınır; azalmada mötərizədə mənfi işarəsi işlənir. Sadə faizdə isə hər dövrün artımı ilkin məbləğdən hesablanır.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

a=\frac{p}{100}\times b

$a$ , $b$ ədədinin $p$ faizinə bərabər olan ədəddir. Ardıcıl cüt ədədlər arasındakı fərqin $2$ olduğunu nəzərə alaraq bu düsturla tənlik qur, sonra tapdığın ədədlərin kvadratlarının fərqinin modulunu hesabla.

Öyrənilməli düstur

A=\frac{100B}{100-p}

$A$ ilkin qiyməti, $B$ endirimdən sonrakı qiyməti, $p$ isə endirim faizini göstərir; $0\le p<100$ . Endirimdən sonra ilkin qiymətin $(100-p)$ faizi qaldığı üçün ödənilən məbləği bu faizə uyğun kəsrə böl.

Öyrənilməli düstur

B=A\left(1+\frac{p}{100}\right)\left(1-\frac{q}{100}\right)

$A$ başlanğıc qiymət, $p$ artım faizi, $q$ sonrakı endirim faizi, $B$ isə yekun qiymətdir. İkinci dəyişiklik artıq bahalaşmış qiymətə tətbiq olunduğundan başlanğıc qiyməti hər iki mötərizədəki vuruğa ardıcıl vur.

Öyrənilməli düstur

p=\frac{a}{N}\times100

$a$ seçilən hissənin miqdarı, $N$ ümumi miqdar, $p$ isə həmin hissənin faiz göstəricisidir. Əvvəl alma ağaclarının sayını ümumi saydan armud ağaclarının sayını çıxmaqla müəyyən et, sonra alınan sayın ümumi saya nisbətini faizlə ifadə et.

Öyrənilməli düstur

A=\frac{p}{100}\times B

$A$ ifadəsinin qiyməti $B$ ifadəsinin qiymətinin $p$ faizidirsə, bu əlaqə göstərilən bərabərliklə yazılır. İfadələri yerinə qoyub mötərizəni aç, oxşar hədləri birləşdir və müsbət məxrəcə vuraraq tələb olunan hasili ayır.

Öyrənilməli düstur

\frac{B}{A}=\left(1-\frac{p}{100}\right)\left(1-\frac{q}{100}\right)

$A$ ilkin miqdar, $B$ sonda qalan miqdar, $p$ birinci sərfin, $q$ isə qalıqdan edilən ikinci sərfin faizidir. İkinci sərfin əsası qalan un olduğundan hər mərhələdə saxlanılan payları vuraraq ilkin miqdardan qalan hissəni tap.

Əvvəl bahalaşma, sonra endirim

Başlanğıc qiyməti, artım payını $p/100$ və endirim payını $q/100$ şəklində dəyiş. Yekun qiymət və ümumi dəyişmə dərhal hesablanır. $p$ ilə $q$ bərabər və sıfırdan böyük olanda da nəticənin başlanğıc qiymətdən fərqli olduğuna bax.

Nümunələr

Köynək

30\%

endirimlə

84

manata satılır. Əvvəlki qiyməti tap. Ödənən məbləğ əvvəlkinin

70\%

-idir:

x\times0{,}7=84

, deməli,

x=120

manat.

$150$ manatlıq məhsul əvvəl $20\%$ bahalaşır, sonra $10\%$ ucuzlaşır. Son qiymət $150\times1{,}2\times0{,}9=162$ manatdır. İlkin qiymətlə fərq $12$ manat olduğundan ümumi artım $\frac{12}{150}\times100\%=8\%$ -dir.

$3x-2$ ifadəsi $x+10$ ifadəsinin $50\%$ -idir. $x$ -i tap. $3x-2=0{,}5(x+10)$ yaz; buradan $3x-2=0{,}5x+5$ , $2{,}5x=7$ , $x=2{,}8$ alınır.

İki qardaş birlikdə

360

manat yığıb. Pulu

4:5

nisbətində bölmək istəyirlər. Hər birinə nə qədər düşür?

Həllə bax

Nisbətin hissələrini topla: $4+5=9$ . Deməli, bütün pul $9$ bərabər paya bölünür.
Bir pay: $360:9=40$ manat.
Birinci qardaşa $4\times40=160$ manat, ikinciyə $5\times40=200$ manat düşür.
Yoxla: $160+200=360$ və $160:200=4:5$ .

$160$ manat və $200$ manat.

Tipik səhv

Qiymət əvvəl beşdə biri qədər artdı, sonra yeni qiymətin beşdə biri qədər azaldı: $1/5-1/5=0$ , deməli, qiymət dəyişmədi.

$100\times1{,}2\times0{,}8=96$ , yəni qiymət ilkin qiymətin $0{,}04$ hissəsi qədər azaldı.

Ardıcıl dəyişmələrdə artım və azalma paylarını birbaşa toplayıb çıxmaq səhv nəticə verə bilər: ikinci pay artıq dəyişmiş qiymətə aiddir, ona görə hər mərhələnin vuruğunu ayrıca yaz.

Endirimdən əvvəlki qiyməti axtaranda da son qiymətə onun endirim payı qədərini əlavə etmə: qiymətinin beşdə biri qədər endirimlə $60$ manata satılan malın əvvəlki qiyməti $60\times1{,}2=72$ deyil, qalan payın onluq ifadəsinə bölünərək $60:0{,}8=75$ manatdır.

Özünü yoxla

$\frac{x}{18}=\frac{4}{6}$ tənasübündə $x$ -i tap.

Bir ədədin $25\%$ -i $45$ -ə bərabərdir. Bu ədədi tap.

Müsbət ədəd əvvəl $40\%$ artırılır, sonra alınan ədəd $25\%$ azaldılır. Nəticə ilkin ədədlə müqayisədə necə dəyişir?

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Nisbət, tənasüb, miqyas», səh. 139
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 2.4 «Mürəkkəb faizin hesablanması», səh. 50
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 2.1 «Nisbət», səh. 31
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 2.2 «Kəmiyyətlərin nisbəti», səh. 35
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 2.3 «Kəmiyyətin verilən nisbətdə bölünməsi», səh. 39
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 2.4 «Tənasüb», səh. 42
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 2.5 «Miqyas», səh. 46
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 2.6 «Düz mütənasib asılılıq», səh. 49
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 2.7 «Tərs mütənasib asılılıq», səh. 53
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 2.8 «Nisbətin faizlə ifadəsi», səh. 59
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 2.9 «Kəmiyyətin dəyişməsinin faizlə ifadəsi», səh. 63
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 4.1 «Faiz, adi kəsr, onluq kəsr», səh. 121
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 4.2 «Ədədin faizi», səh. 125
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 4.3 «Faizinə görə ədədin tapılması», səh. 128
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 4.4 «Kəmiyyətin qiymətinin müəyyən faiz artırılması və azaldılması», səh. 130
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 8.2 «Dairəvi diaqram», səh. 91