Riyaziyyat, Birdəyişənli tənliklər və tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli

Modullu tənliklər: modulu açmaq və kök itirməmək

Modullu tənliyi hallara ayırıb həll etməyi, kök itirməməyi və artıq kökü cavabdan atmağı öyrənəcəksən.

Oxu müddəti: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: tarlaların arasından üfüqə qədər uzanan düz, boş kənd yolu və yol kənarında üzərində yazı olmayan dirək.

Düz bir yolda dayanmısan və sənə deyirlər: “Dayanacaq buradan 2 km aralıdadır.” Hansı tərəfə gedəcəksən? Bu cümlə istiqaməti demir, yalnız məsafəni deyir. Dayanacaq qabaqda da ola bilər, arxada da.

Modul da elə belədir: o, ədədin sıfırdan nə qədər uzaq olduğunu göstərir, hansı tərəfdə olduğunu isə “unudur”. Ona görə $|x|=2$ yazılanda iki cavab gizlənir: $2$ və $-2$ . Məsafə isə mənfi ola bilməz, deməli $|x|=-2$ kimi tənliyin ümumiyyətlə həlli yoxdur.

Bu mövzunun bütün sirri modulun “unutduğu” işarəni geri qaytarmaqdır: hər iki halı yazmaq və heç birini itirməmək.

Niyə lazımdır

Modullu tənlik hallara ayırmağı öyrədir: bir çətin tənliyin yerinə iki sadə tənlik yazırsan, hər birini öz şərti ilə həll edirsən. Bu üsul sonra modullu bərabərsizliklərdə və $y=|x|$ kimi funksiyaların qrafiklərində də lazım olacaq.

İmtahanda ikinci halı yazmamaq və ya şərti ödəməyən qiyməti cavaba daxil etmək səhvə səbəb ola bilər. Tapdığın qiymətləri ilkin tənlikdə yoxlamaq səhvi aşkar etməyə kömək edir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda modul olan ifadənin qiymətini hesablamaq, tənliyin köklərini və onların hasilini tapmaq tələb oluna bilər. Modulun mənfi qiymət almadığını bilməyin kvadratla modulun cəmi sıfır olan tənliklərdə də köməyinə çatır. Bəzi tapşırıqlarda modul kəsrin məxrəcində, bərabərsizlikdə və ya üstlü ifadədə görünür. Belə suallarda əvvəlcə modulun xassələrini tətbiq edir, sonra tapşırığın digər şərtlərini nəzərə alırsan.

Qayda

Modullu tənlik dəyişəni modulun daxilində saxlayan tənlikdir. Modulun qiyməti həmişə sıfır və ya müsbətdir: $|A|\ge0$ . Burada $A$ dəyişəndən asılı ifadə də ola bilər.
Modulun tərifi: $A\ge0$ üçün $|A|=A$ , $A<0$ üçün $|A|=-A$ . İkinci halda mənfi işarəsi mötərizədəki bütün ifadəyə aiddir.
$|A|=c$ tənliyində $c>0$ olarsa, $A=c$ və ya $A=-c$ tənliklərini həll et. $c=0$ olduqda yalnız $A=0$ qalır; $c<0$ olduqda həll yoxdur. Bu qayda modul daxilində kvadrat ifadə olduqda da işləyir.
Məsafə: $|x-a|=c$ , $c\ge0$ bərabərliyi $x$ ilə $a$ arasındakı məsafənin $c$ olduğunu bildirir. Qrafik üsulda $y=|x-a|$ və $y=c$ qrafiklərinin ortaq nöqtələrinin absislərini götürürsən.
$|A|=B$ tənliyində $A\ge0$ şərti ilə $A=B$ , yaxud $A<0$ şərti ilə $-A=B$ həll edilir. Tapdığın qiymət aid olduğu şərti ödəməlidir.
Bərabər modullar: $|A|=|B|$ olduqda $A=B$ və ya $A=-B$ yaz. Hər iki tənliyin həllərini birləşdir.

Neçə kök var?

Tənliyi həll etmədən əvvəl kökün sayını təxmin et. Əvvəlcə modulu tək saxla, sonra sağ tərəfə bax.

Nümunələr

2|x+1|-3=7

tənliyini həll et. Əvvəl modulu ayır:

2|x+1|=10

, buradan

|x+1|=5

. Deməli,

x+1=5

və ya

x+1=-5

; köklər

4

və

-6

olur. Hər iki kök üçün modulun qiyməti

5

, ilkin sol tərəf isə

7

alınır.

$|2x-1|=x+2$ tənliyini həll et. $x\ge\frac12$ halında $2x-1=x+2$ , yəni $x=3$ alınır. $x<\frac12$ halında $-2x+1=x+2$ , yəni $x=-\frac13$ tapılır. Hər qiymət öz halının şərtinə uyğundur; hər ikisi kökdür.

$|x^2-4|=5$ tənliyini həll et. Birinci imkan $x^2-4=5$ , yəni $x^2=9$ verir: $x=-3$ və $x=3$ . İkinci imkan $x^2-4=-5$ , yəni $x^2=-1$ verir; həqiqi ədədin kvadratı mənfi olmadığından burada kök alınmır. Cavab: $-3$ və $3$ .

Tipik səhv

$|x-2|=2x-1$ $\Rightarrow$ $x-2=2x-1$ $\Rightarrow$ $x=-1$ . Cavab: $-1$ .

$x\ge2$ halında $x-2=2x-1$ , $x=-1$ alınır, amma $-1\ge2$ ödənmir, bu qiymət atılır. $x<2$ halında $-(x-2)=2x-1$ , yəni $-x+2=2x-1$ , buradan $x=1$ ; $1<2$ ödənir. Yoxlama: $|1-2|=1$ və $2\times1-1=1$ . Cavab: $1$ .

Modulu açarkən yalnız müsbət halı yazsan, kök itirə bilərsən: burada həqiqi kök məhz ikinci haldadır. Sağ tərəfdə dəyişən olduğundan alınan hər qiyməti dərhal cavaba daxil etmə: seçdiyin halın şərtini və ilkin bərabərliyi yoxla; $x=-1$ üçün sol tərəf $3$ , sağ tərəf $-3$ olur.

Bir də: sağ tərəfin mənfiliyinə görə qərar verməzdən əvvəl modulu tək saxla. Məsələn, $|x|-4=-1$ tənliyində sağda mənfi ədəd var, amma modulu ayıranda $|x|=3$ alınır və iki kök var: $3$ və $-3$ .

Özünü yoxla

$|x^2-5|=4$ tənliyinin bütün köklərini seç.

$|x+4|=2x-1$ tənliyinin kökünü seç.

$|3x-2|=|x+6|$ tənliyinin bütün köklərini seç.

Bu mövzunu tapşırıqlarla möhkəmlət

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Modullu tənliklər», səh. 100
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 8.6 «Modullu tənliklər», səh. 69