Riyaziyyat, Bərabərsizliklər

Modullu bərabərsizliklər: arası, yoxsa kənarları?

Modullu bərabərsizliyi həll etməyi, cavabı aralıqla yazmağı və «arası» ilə «kənarları» səhv salmamağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: emalatxana masasında metal qabda yan-yana düzülmüş eyni ölçülü parlaq boltlar.

Zavodda hazırlanan boltların uzunluğu çertyojdakı ölçüdən bir qədər fərqlənə bilər: biri bir az uzun çıxır, o biri bir az qısa. Buna görə texniki sənəddə ölçünün yanında icazə verilən kənarlanma da yazılır. Ölçünün normadan fərqi bu həddi keçmirsə, detal yararlı sayılır.

Riyaziyyatda bu uzun cümlə bir sətrə sığır: $|x-m|\le d$ . Burada $x$ ölçülən uzunluqdur, $m$ norma, $d$ isə icazə verilən fərq. Modul yalnız «nə qədər uzaqdır?» sualına cavab verir və istiqamətə baxmır: çox uzun da, çox qısa da eyni dərəcədə pisdir.

Bəs belə bir şərtdən $x$ -in özünü necə tapırsan? Bütün mövzu bu sualın cavabıdır.

Niyə lazımdır

Modullu bərabərsizlik «yaxındır» və «uzaqdır» sözlərini dəqiq dilə çevirir: termometrin xətası, qatarın cədvəldən gecikməsi, hədəfə nə qədər yaxın atdığın. Bu dilə çevrilən şərt isə bir neçə sətirdə həll olunur.

Testdə əsas qazanc sürətdir. Hansı halda sərhədlərin arasının, hansı halda kənar hissələrin seçildiyini bilirsənsə, cavaba iki sətirdə çatırsan, yanlış variantları da bir baxışda atırsan. Bu vərdiş sonra modullu tənliklərdə və daha mürəkkəb bərabərsizliklərdə də işinə yarayır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda modullu bərabərsizliyi həll etmək, cavabı aralıqla göstərmək və həllə daxil olan tam ədədləri seçmək tələb oluna bilər. Bəzən məsafənin və ya verilmiş qiymətdən fərqin məhdudluğu sözlə ifadə edilir; sən bu şərti bərabərsizliyə çevirirsən. Sağ tərəfdə dəyişən olduqda da uyğun şərtləri yazıb alınan həlləri düzgün birləşdirməlisən.

Qayda

Modul məsafəni ifadə edir: $|x|$ sıfırdan, $|x-m|$ isə $m$ nöqtəsindən məsafədir. Modulun qiyməti mənfi olmur. Buna görə modulun daxilindəki ifadənin işarəsini bilmədən modul işarələrini silmək olmaz.
İkiqat bərabərsizlik: $c>0$ olduqda $|ax+b|<c$ şərti $-c<ax+b<c$ ilə eynigüclüdür. $|ax+b|\le c$ üçün $-c\le ax+b\le c$ yazılır. Hər iki tələb eyni vaxtda ödənməlidir; həllər kəsişdirilir.
Bərabərsizliklər heyəti: $c>0$ olduqda $|ax+b|>c$ üçün $ax+b<-c$ və ya $ax+b>c$ götürülür. $|ax+b|\ge c$ üçün $ax+b\le-c$ və ya $ax+b\ge c$ yazılır. Bu dəfə iki həll çoxluğu birləşdirilir.
Xüsusi hallar: $c<0$ olduqda $|ax+b|<c$ və $|ax+b|\le c$ həllsizdir; $|ax+b|>c$ və $|ax+b|\ge c$ bütün həqiqi ədədlər üçün doğrudur. Sıfırla müqayisədə $|ax+b|\le0$ yalnız $ax+b=0$ olduqda, $|ax+b|>0$ isə $ax+b\ne0$ olduqda ödənir. $|ax+b|<0$ mümkün deyil, $|ax+b|\ge0$ həmişə doğrudur.
Sağ tərəfdə dəyişənli ifadə varsa, kiçiklik halında həmin ifadəni yuxarı sərhəd, əksini aşağı sərhəd götür. Böyüklük halında isə uyğun iki şərti “və ya” ilə birləşdir. Kiçiklik üçün qurduğun sistem sağ tərəfin işarəsinə qoyulan məhdudiyyəti də nəzərə alır.
Sərhəd nöqtələri ciddi bərabərsizlikdə daxil edilmir, qeyri-ciddi bərabərsizlikdə daxil edilir. Aralıq yazılışında sonsuzluğun yanında həmişə dairəvi mötərizə işlət.

Arası, yoxsa kənarları?

Hər bərabərsizlik üçün düzgün həll çoxluğunu seç. Əvvəlcə işarəyə bax, sonra sağ tərəfə.

Nümunələr

|3x-2|<7

bərabərsizliyini həll et. İkiqat şərt yaz:

-7<3x-2<7

. Hər tərəfə iki əlavə etdikdə

-5<3x<9

, üçə böldükdə

-\frac53<x<3

alınır. Cavab:

(-\frac53;3)

. Uc nöqtələr həllə daxil deyil.

$|2x+1|\ge9$ bərabərsizliyini həll et. $2x+1\le-9$ və ya $2x+1\ge9$ olduğundan $x\le-5$ və ya $x\ge4$ alınır. Cavab: $(-\infty;-5]\cup[4;+\infty)$ . Burada iki ayrı hissənin birləşməsini yazırıq.

$|3x-1|\le x+5$ bərabərsizliyini həll et. Şərtlər $3x-1\le x+5$ və $3x-1\ge-(x+5)$ olur. Birincidən $x\le3$ , ikincidən $x\ge-1$ alınır. Kəsişmə $[-1;3]$ aralığıdır. Bu aralıqda sağ tərəf də müsbətdir.

x

ədədinin

2

nöqtəsindən məsafəsi

3

-dən çox deyil. Bu şərti ödəyən neçə tam

x

var?

Həllə bax

«Məsafə $3$ -dən çox deyil» o deməkdir ki, məsafə ya $3$ -ə bərabərdir, ya da ondan kiçikdir: $|x-2|\le3$ .
İkiqat bərabərsizlik yaz: $-3\le x-2\le3$ .
Hər tərəfə $2$ əlavə et: $-1\le x\le5$ , yəni $x\in[-1;5]$ .
Uc nöqtələr də həllə daxildir, çünki bərabərsizlik qeyri-ciddidir. Tam ədədlər: $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ .

$7$ tam ədəd

Tipik səhv

$|5-2x|>3$ : $5-2x<-3$ və $5-2x>3$ , buradan $x<4$ və $x>1$ , cavab: $(1;4)$ .

$|5-2x|>3$ : $5-2x<-3$ və ya $5-2x>3$ , buradan $x>4$ və ya $x<1$ , cavab: $(-\infty;1)\cup(4;+\infty)$ .

Böyüklük halında «və ya» yerinə «və» yazsan, iki ayrı hissəni səhvən kəsişdirərsən. Üstəlik burada $-2$ -yə bölərkən işarəni çevirmək unudulub: mənfi ədədə böləndə bərabərsizlik işarəsini çevirməyi də unutma.

Yadda saxla: müsbət həddən kiçik modul sərhədlərin arasını, böyük modul isə kənar hissələri seçir. Yoxla: $x=2$ olduqda $|5-4|=1$ alınır, bu da $3$ -dən böyük deyil, yəni $(1;4)$ cavab ola bilməz.

Özünü yoxla

$|2x-3|<5$ bərabərsizliyini ödəyən neçə tam ədəd var?

$|6-3x|\ge9$ bərabərsizliyinin həll çoxluğunu seç.

$|2x+3|\le x+6$ bərabərsizliyinin həll çoxluğunu seç.

Bu mövzu üzrə sınağa keç

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Modullu bərabərsizliklər», səh. 143
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 8.4 «Modullu bərabərsizliklər», səh. 88