Riyaziyyat, Bərabərsizliklər

Bərabərsizliklərin həlli: işarə nə vaxt çevrilir

Xətti, modullu, kvadrat və irrasional bərabərsizlikləri həll etməyi, cavabı isə düzgün aralıq kimi yazmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: qapıları açıq, boş, metal divarlı lift kabinəsi.

Liftin içində onun ən çox nə qədər yük götürdüyü yazılır. Maksimal sürəti göstərən yol nişanı da sürətin yuxarı həddini bildirir: bu həddi aşmaq olmaz. Həyatda çox vaxt bərabərlik yox, sərhəd lazımdır: «bundan çox olmasın», «bundan az olmasın».

Riyaziyyatda bu sərhədləri bərabərsizlik yazır. Orada bir sürpriz də var: $2<3$ doğrudur, amma hər iki tərəfi $-1$ -ə vuranda $-2<-3$ yox, $-2>-3$ alınır. Mənfi ədəd sıranı tərsinə çevirir.

Bu səhifə belə yerləri bir-bir göstərir: işarə nə vaxt çevrilir, sərhəd nə vaxt cavaba daxildir, modul və kvadrat ifadə ilə necə davranmaq lazımdır.

Niyə lazımdır

Bərabərsizlik başqa mövzuların içində də qarşına çıxır. Kvadrat kökün mənası olsun deyə kökaltı ifadəni mənfi olmayan götürürsən, kəsrin məxrəcini sıfırdan fərqli saxlayırsan. Funksiyanın təyin oblastını və harada müsbət olduğunu da bərabərsizliklə tapırsan.

Testdə cavab variantları çox vaxt bir-birindən yalnız bir mötərizə ilə və ya çevrilmiş bir işarə ilə fərqlənir. Qaydaları dəqiq bilsən, belə tələyə düşmürsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda verilmiş nisbətlərə əsasən ədədləri sıralayır, bir neçə şərti birlikdə ödəyən aralığı seçirsən. Modullu bərabərsizliyin həllini, tam həllərin cəmini və həllin olmadığı halları müəyyənləşdirirsən. Parametrli kvadrat ifadənin bütün həqiqi qiymətlərdə mənfi qalması üçün şərt qurmaq da tələb olunur.

Qayda

Həll dəyişənin bərabərsizliyi doğru edən qiymətidir. $<$ və $>$ ciddi, $\le$ və $\ge$ qeyri-ciddi bərabərsizlik bildirir.
Hər iki tərəfə eyni ədədi əlavə etmək istiqaməti saxlayır. Müsbət ədədə vuranda və ya böləndə istiqamət dəyişmir; mənfi ədədə vuranda və ya böləndə isə çevrilir.
Eyni istiqamətli bərabərsizlikləri tərəf-tərəfə toplaya bilərsən. Tərəflər müsbət olduqda onları tərəf-tərəfə vurmaq da olar.
Ortaq nisbəti ayrıca hərflə göstər: $u/3=v/7=t$ olduqda $u=3t$ , $v=7t$ . Sıralamadan əvvəl $t$ -nin işarəsini müəyyənləşdir.
Aralıq yazılışında daxil olan sərhəd kvadrat, daxil olmayan sərhəd dairəvi mötərizə ilə göstərilir. Sonsuzluğun yanında dairəvi mötərizə yazılır. Məsələn, $-3\le x<2$ üçün $[-3;2)$ alırsan.
Sistem üçün həll çoxluqlarının kəsişməsini, heyət üçün birləşməsini götür. İkiqat bərabərsizlikdə hər iki şərt eyni vaxtda ödənməlidir.
Modul məsafə bildirir: $c>0$ üçün $|u|<c\iff-c<u<c$ , $|u|>c\iff u<-c\text{ və ya }u>c$ . Qeyri-ciddi hallarda sərhədlər də daxildir. Modul mənfi olmur: $c<0$ üçün $|u|\le c$ mümkün deyil; $|u|\le0$ yalnız $u=0$ olduqda doğrudur.
Kvadrat ifadə üçün $a\ne0$ , $D=b^2-4ac$ . İki müxtəlif kök varsa, köklərdən kənarda işarə $a$ ilə eyni, aralarında əksdir. $D=0$ olduqda yalnız kökdə sıfır alınır, qalan qiymətlərdə işarə $a$ ilə eynidir. $D<0$ olduqda işarə hər yerdə $a$ ilə eynidir.
Bütün həqiqi $x$ üçün ciddi mənfilik $a<0$ , $D<0$ ; ciddi müsbətlik $a>0$ , $D<0$ tələb edir. Parametr $a=0$ verirsə, alınan ifadəni ayrıca yoxla.
İntervallar üsulunda surətin və məxrəcin sıfırlarını qeyd edib aralıqlardakı işarələri yoxla. Məxrəcin sıfırları həmişə çıxarılır. Ciddi bərabərsizlikdə surətin sıfırları da götürülmür.
İrrasional bərabərsizlikdə əvvəl kökaltı ifadənin mənfi olmadığını tələb et. Hər iki tərəfin qeyri-mənfi olduğu hissədə kvadrata yüksəltmək eynigüclüdür.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}D=b^2-4ac\\[6pt] \bigl(ax^2+bx+c<0\ \text{bütün }x\in\mathbb{R}\text{ üçün}\bigr)\iff(a<0\ \text{və}\ D<0)\end{gathered}

Burada $a\ne0$ , $b$ , $c$ üçhədlinin əmsalları, $D$ isə diskriminantıdır; parametr üçün hər iki şərt eyni vaxtda ödənməlidir. Baş əmsalı sıfır edən parametr qiymətini ayrıca yoxla, çünki həmin halda ifadə kvadrat üçhədli deyil.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}|u|\ge0\\[6pt] |u|\le c\iff-c\le u\le c\quad(c>0)\\[6pt] |u|>c\iff(u<-c\ \text{və ya}\ u>c)\quad(c>0)\end{gathered}

Burada $u$ modul daxilindəki ifadə, $c>0$ isə müqayisə həddidir. Mənfi həddən kiçik modul mümkün deyil; qalan hallarda uyğun aralıqları tap və tələb olunan tam həlləri topla.

Öyrənilməli qayda

Müqayisə olunan ədədlər eyni mənfi vuruqla vurulduqda onların sırası tərsinə çevrilir. Bərabər nisbətlərin qiymətini bir hərflə işarələ, onun işarəsini müəyyənləşdir və alınan hasilləri bu xassə ilə müqayisə et.

Öyrənilməli qayda

Mənfi vuruq iki ədəd arasındakı kiçiklik münasibətini böyüklük münasibətinə çevirir. Nisbətlərin ortaq qiymətini tapmadan onun işarəsini müəyyənləşdir və verilən ədədləri həmin qiymətin hasilləri şəklində müqayisə et.

Öyrənilməli qayda

Sistemdə hər şərtin həllini ayrıca tapıb yalnız hamısına uyğun qiymətləri saxla. Sərhəd nöqtəsi bütün şərtləri ödəyirsə, aralıqda ona kvadrat mötərizə uyğun gəlir; ödənməyən sərhəd üçün dairəvi mötərizə yazılır.

Öyrənilməli qayda

Surəti modul olan kəsrin mənfi qiymət alması üçün surət sıfırdan böyük, məxrəc isə sıfırdan kiçik olmalıdır. Məxrəcdən alınan modul şərtini $c>0$ üçün $|v|<c\iff-c<v<c$ qaydası ilə aç, sonra surəti sıfırlayan qiyməti kənarlaşdırıb qalan tam həlləri topla.

Öyrənilməli qayda

$a>0$ olan $ax^2+bx+c$ üçhədlisində $D=b^2-4ac<0$ olarsa, ifadə istənilən həqiqi arqumentdə müsbətdir; $D=0$ olarsa, yalnız $x=-\frac{b}{2a}$ nöqtəsində sıfır, başqa nöqtələrdə müsbətdir. Parametrə görə bu halları ayır və sıfır qiymətinin verilən müqayisə işarəsinə uyğunluğunu yoxla.

Öyrənilməli qayda

$c>0$ üçün $|u|\le c$ şərti $-c\le u\le c$ deməkdir; sıfır olmayan iki ifadənin hasili və nisbəti eyni işarələrdə müsbət, əks işarələrdə mənfidir. Sərhədlər arasındakı işarələri yoxla, bərabərliyə icazə veriləndə ifadənin sıfırlarını həllə daxil et və məxrəci sıfırlayan qiymətləri həmişə kənarlaşdır.

Düzgün aralığı seç

Hər bərabərsizlik üçün həllər çoxluğunu seç. Mötərizələrə və işarənin istiqamətinə diqqət et.

Nümunələr

7-2x\le9

və

x+1<4

şərtlərinin ortaq həllini tap.

Həllə bax

Birincidən $-2x\le2$ , yəni $x\ge-1$ ; ikincidən $x<3$ alınır. Cavab: $[-1;3)$ .

$\dfrac{|x-3|}{|x-2|-3}<0$ bərabərsizliyinin tam həllərini topla.

Həllə bax

Surət müsbət, məxrəc mənfi olmalıdır: $x\ne3$ , $|x-2|<3$ . Buradan $-1<x<5$ alınır. Uyğun tam ədədlər $0,1,2,4$ , cəm isə $7$ -dir.

$-x^2+2x+h$ nə vaxt bütün həqiqi $x$ üçün mənfidir?

Həllə bax

$a=-1<0$ olduğundan $D=4+4h<0$ tələb olunur: $h<-1$ . Sərhəddə, yəni $h=-1$ olduqda ifadə $x=1$ üçün sıfırdır.

\sqrt{x+3}<3

bərabərsizliyini həll et.

Həllə bax

Kökaltı ifadə mənfi olmamalıdır: $x+3\ge0$ , yəni $x\ge-3$ .
Bu hissədə sol tərəf qeyri-mənfidir, sağdakı $3$ isə müsbətdir. Ona görə hər iki tərəfi kvadrata yüksəltmək olar: $x+3<9$ , yəni $x<6$ .
İki şərti birlikdə götür: $-3\le x<6$ . Yoxlama: $x=-3$ olduqda $0<3$ doğrudur, deməli $-3$ cavaba daxildir.

$[-3;6)$

Tipik səhv

$-2x<6\ \Rightarrow\ x<-3$

$-2x<6\ \Rightarrow\ x>-3$

Mənfi ədədə bölərkən istiqaməti saxlamaq cavabı dəyişir. Məsələn, $x=0$ üçün $-2\times0<6$ doğrudur, amma $0<-3$ doğru deyil. Ona görə böləndən sonra işarəni yoxla.

Eyni səbəbdən məxrəcin işarəsini bilmədən ona vurma, əvvəl mümkün işarələri araşdır. Tam həlləri toplamazdan qabaq isə qadağan edilmiş qiymətləri siyahıdan çıxar.

Özünü yoxla

$5-2x\ge13$ bərabərsizliyinin həllini seç.

$|x+4|\le-1$ bərabərsizliyinin həlli haqqında doğru cavabı seç.

$\dfrac{x+2}{x-4}\le0$ bərabərsizliyinin həllər çoxluğunu seç.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Xətti bərabərsizliklər sistemi. Bərabərsizliklər heyəti», səh. 139
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Modullu bərabərsizliklər», səh. 143
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kvadrat bərabərsizliklər», səh. 145
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «İntervallar üsulu», səh. 153
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Rasional bərabərsizliklərin intervallar üsulu ilə həlli», səh. 155
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «İrrasional bərabərsizliklər», səh. 157
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Bərabərsizliklər», səh. 163
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Bərabərsizliklərin xassələri», səh. 166
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Bərabərsizliklərin toplanması və vurulması», səh. 171
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Ədədi aralıqlar», səh. 173
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Birdəyişənli xətti bərabərsizliklərin həlli», səh. 175
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «İkiqat bərabərsizliklərin həlli», səh. 179
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Dəyişəni modul işarəsi daxilində olan sadə bərabərsizliklər», səh. 182
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 8.1 «Ədədi bərabərsizliklər və onların xassələri», səh. 75
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 8.2 «Birdəyişənli xətti bərabərsizlik», səh. 79
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 8.3 «Birdəyişənli xətti bərabərsizliklər sistemi», səh. 84
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 8.4 «Modullu bərabərsizliklər», səh. 88
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 8.7 «Bərabərsizliklər», səh. 71
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 6.6 «Bərabərsizliklər», səh. 44
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 5.5 «Bərabərsizliklər», səh. 23