Riyaziyyat, Bərabərsizliklər

Bərabərsizlikləri intervallar üsulu ilə işarələrlə həll et

Çoxhədli və kəsrli bərabərsizlikləri ədəd oxunda işarələrlə həll etməyi, ucları və təkrarlanan kökləri düzgün nəzərə almağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: qış səhəri həyətdə qırovla örtülmüş çılpaq ağac budaqları və skamya, arxada yenicə doğan günəş.

Təsəvvür et: qış günüdür, səhər havanın temperaturu sıfırdan aşağıdır, günortaya isə sıfırdan yuxarı qalxır. Temperatur birdən-birə tullanmır, yavaş-yavaş dəyişir. Ona görə bu keçiddə o, hansısa an mütləq sıfır dərəcə olur: sıfırın üstündən tullanıb keçən hava olmur.

Çoxhədli də belədir: işarəsini yalnız sıfıra bərabər olduğu nöqtədə dəyişə bilər. Kəsrli ifadədə buna məxrəcin sıfır olduğu nöqtələr də əlavə olunur. Bu nöqtələri tapsan, ədəd oxu hissələrə bölünür və hər hissədə işarə eyni qalır.

Deməli, sonsuz sayda $x$ yoxlamağa ehtiyac yoxdur, hər hissədən bir ədəd yoxlamaq kifayətdir. İntervallar üsulu elə budur.

Niyə lazımdır

Bu üsulla kvadrat bərabərsizliyi parabola çəkmədən, kəsrli bərabərsizliyi isə tərəfləri məxrəcə vurmadan həll edirsən. Funksiyanın təyin oblastını taparkən də, məsələn, kök altındakı ifadə mənfi olmamalı olanda eyni üsuldan istifadə edirsən.

İmtahanda cavab variantları bəzən bir-birindən yalnız bir ucla fərqlənir: harada kvadrat, harada dairəvi mötərizə olmalıdır. İşarələri oxda düzgün qoysan, bu seçim asanlaşır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda çoxhədli və ya rasional ifadənin hansı qiymətlərdə müsbət, mənfi, yaxud sıfıra bərabər olduğunu müəyyənləşdirmək tələb oluna bilər. Sən ifadəni vuruqlara ayırmalı, uyğun aralıqları seçməli və cavabı onların birləşməsi kimi yazmalısan. Təkrarlanan kökləri və məxrəci sıfır edən qiymətləri fərqləndirmək də bu tapşırıqların əsas hissəsidir.

Qayda

İntervallar üsulu ifadənin işarəsinə əsaslanır. Bütün hədləri eyni tərəfdə topla, qarşı tərəfdə sıfır saxla. Kəsrlər varsa, ortaq məxrəcə gətir; surəti və məxrəci mümkün olduqda vuruqlara ayır.
Sərhəd nöqtələri çoxhədlinin kökləri, rasional ifadədə isə surəti və ya məxrəci sıfır edən qiymətlərdir. Onları kiçikdən böyüyə düzməklə ədəd oxunu intervallara böl. Başlanğıc ifadədə məxrəci sıfır edən qiymətləri əvvəlcədən qeyd et.
Hər intervalın daxilindən bir sınaq qiyməti götür və ifadənin işarəsini hesabla. Sərhədlər düzgün seçilibsə, baxılan çoxhədli və ya rasional ifadənin işarəsi həmin interval boyunca dəyişmir.
Kökün təkrarlanması: $(x-c)^n$ vuruğunda $n$ müsbət tam ədəddir. $c$ nöqtəsindən keçəndə bu vuruğun işarəsi $n$ tək olduqda dəyişir, cüt olduqda isə dəyişmir. Bu qayda kəsrin məxrəcindəki vuruqlara da aiddir. Eyni kök bir neçə vuruqda görünürsə, həmin vuruqların hamısını nəzərə al.
Sərhədin daxil edilməsi bərabərsizliyin işarəsindən asılıdır. Ciddi bərabərsizlikdə kökləri götürmə; $\leq$ və $\geq$ olduqda ifadənin sıfır olduğu, mənası olan nöqtələri daxil et. Məxrəcin sıfır olduğu qiymət heç vaxt həll deyil.

Cavabı seç

Hər bərabərsizlik üçün sərhədləri tap, işarələri qoy və düzgün çoxluğu seç.

Nümunələr

x^2-3x-10<0

bərabərsizliyini həll et. Vuruqlara ayır:

(x+2)(x-5)<0

. Sərhədlər

-2

və

5

-dir. Soldan sağa intervallarda

-3

0

6

qiymətlərini yoxladıqda işarələr

+

-

+

alınır. Mənfi işarəli intervalı seç:

x\in(-2;5)

. Uclar daxil deyil.

$(x-2)^2(x+3)\leq0$ bərabərsizliyini həll et. Sərhədlər $-3$ və $2$ -dir. Soldan sağa işarələr $-$ , $+$ , $+$ olur: kvadrat vuruq $2$ nöqtəsindən keçərkən işarəni dəyişmir. Lakin həmin nöqtədə hasil sıfırdır. Buna görə cavab $(-\infty;-3]\cup\{2\}$ olur.

$\frac{x+1}{x-2}\leq2$ bərabərsizliyini həll et. Əvvəlcə $x\ne2$ şərtini yaz. Hədləri birləşdirəndə $\frac{5-x}{x-2}\leq0$ alınır. Sərhədlər $2$ və $5$ , soldan sağa işarələr $-$ , $+$ , $-$ olur. Cavab $(-\infty;2)\cup[5;+\infty)$ -dir: $2$ qadağandır, $5$ isə surətin köküdür.

Tipik səhv

$\frac{3}{x+1}\lt 1 \Rightarrow 3\lt x+1 \Rightarrow x\gt 2$

$\frac{3}{x+1}-1\lt 0 \Rightarrow \frac{2-x}{x+1}\lt 0$ ; sərhədlər $-1$ və $2$ , soldan sağa işarələr $-$ , $+$ , $-$ , cavab: $x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$ .

Məxrəcin işarəsini bilmədən bərabərsizliyin tərəflərini ona vurmaq səhv nəticə verə bilər: $x\lt -1$ olanda $x+1$ mənfidir, mənfi ədədə vuranda isə bərabərsizlik işarəsi çevrilir. Buna görə tərəfləri vurmaq əvəzinə ifadəni sıfırla müqayisə et və intervallardakı işarələri yoxla.

İşarələri avtomatik növbələşdirmə: cüt dərəcəli kökdə işarə dəyişmir, amma həmin kök ayrıca həll ola bilər.

Özünü yoxla

$(2-x)(x+4)\geq0$ bərabərsizliyinin həllini seç.

$\frac{(x-4)^2}{x+2}\leq0$ bərabərsizliyinin həllini seç.

$\frac{x+4}{x-1}\geq2$ bərabərsizliyinin həllini seç.

Bu mövzunu tapşırıqlarla möhkəmləndir

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «İntervallar üsulu», səh. 153
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Rasional bərabərsizliklərin intervallar üsulu ilə həlli», səh. 155