Riyaziyyat, Bərabərsizliklər

Bərabərsizliklər sistemi və heyəti: «və» ilə «və ya» fərqi

Sistemi heyətdən ayırmağı, həllini aralıq kimi yazmağı və yeganə həll şərtini tapmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəq.

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masada buz parçaları olan bir stəkan su, arxada isə ocağın üstündə buxar çıxan çaydan.

Adi atmosfer təzyiqində su 0 °C-dən isti, 100 °C-dən isə soyuq olanda maye qalır. Riyaziyyat dilində bu, iki şərtdir: $t>0$ və $t<100$ . İkisi birlikdə ödənməlidir, biri azdır.

İndi əksini soruş: su nə vaxt maye olmur? 0 °C-dən soyuqda buz olur, 100 °C-dən istidə buxar. Burada şərtlərdən biri kifayətdir: ya $t<0$ , ya da $t>100$ .

Bu mövzu elə bu iki kiçik sözün fərqidir: «və» sistem verir, «və ya» heyət. Tipik səhv də məhz buradan başlayır.

Niyə lazımdır

Bir neçə məhdudiyyət eyni anda ödənməli olanda sistem yazırsan. Məsələn, $\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}$ ifadəsinin mənası olsun deyə həm $x-1\ge0$ , həm də $5-x\ge0$ olmalıdır, yəni $1\le x\le5$ . Kəsrli və kvadrat bərabərsizliklərdə də iş çox vaxt belə şərtlərin kəsişməsinə gəlib çıxır.

Testdə cavab variantları tez-tez yalnız bir sərhəddə fərqlənir: mötərizə dairəvidir, ya kvadrat. Ona görə hər sərhədin cavaba daxil olub-olmadığını yoxlamaq vərdişin olmalıdır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda parametrin hansı qiymətində bərabərsizliklər sisteminin yalnız bir həlli olduğunu müəyyənləşdirməyin tələb oluna bilər. Bunun üçün dəyişənin aşağı və yuxarı sərhədlərini müqayisə etməlisən. Sərhədlərin parametrdən asılı ifadələrlə verilməsi əsas fikri dəyişmir: əvvəlcə həllin hansı aralıqda yerləşdiyini araşdır, sonra həmin aralığın tək bir ədəddən ibarət olması şərtini yaz.

Qayda

Sistem fiqurlu mötərizə ilə göstərilir və «və» mənası daşıyır. Bir ədədin sistemə uyğun gəlməsi üçün bütün bərabərsizliklər həmin ədəd üçün doğru olmalıdır. Ayrı tapdığın həll çoxluqlarının kəsişməsini götür.
Heyət sol tərəfdə kvadrat mötərizə ilə göstərilir və «və ya» mənası daşıyır. Ədəd verilən şərtlərdən ən azı birini ödəyirsə, heyətin həllidir. Burada ayrı həll çoxluqlarının birləşməsi götürülür.
Hər xətti bərabərsizliyi ayrıca sadələşdir. Hər iki tərəfi mənfi ədədə vuranda və ya böləndə işarəni əksinə çevir. Müsbət ədədə bölmək işarənin istiqamətini dəyişmir.
İkiqat bərabərsizlik iki şərti eyni vaxtda bildirir: $a<x\le b$ yazılışı $x>a$ və $x\le b$ şərtlərini birləşdirir. $a<b$ olduqda həll $(a;b]$ aralığıdır. Ciddi sərhədi daxil etmə, bərabərlik olan sərhədi daxil et.
Yeganə həll üçün $x\ge a$ , $x\le b$ sistemində $a=b$ olmalıdır; onda $x=a$ alınır. $a<b$ olduqda $[a;b]$ aralığında sonsuz sayda həll var, $a>b$ olduqda isə həll yoxdur. Sərhədlər bərabər olsa da, işarələrdən biri ciddi olarsa, ortaq qiymət qalmır.

Sistemmi, heyətmi?

Mötərizəyə bax, sonra düzgün cavabı seç.

Nümunələr

\begin{cases}2x-6\ge0,\\7-x>2\end{cases}

sistemini həll et.

Həllə bax

Birinci şərtdən $x\ge3$ alınır. İkinci şərt $-x>-5$ , yəni $x<5$ verir. Hər ikisinə uyğun qiymətlər $3\le x<5$ şərtini ödəyir. Cavab: $[3;5)$ .

$\left[\begin{array}{l}3x+6<0,\\2x-8\ge0\end{array}\right.$ heyətini həll et.

Həllə bax

Ayrılıqda $x<-2$ və $x\ge4$ alırsan. Bu dəfə hər iki hissə cavaba daxildir: $(-\infty;-2)\cup[4;+\infty)$ . Məsələn, $x=4$ yalnız ikinci şərti ödəsə də, heyətin həllidir.

$\begin{cases}x\ge2t-1,\\x\le t+3\end{cases}$ sisteminin hansı $t$ qiymətində yeganə həlli var?

Həllə bax

Sərhədləri bərabərləşdir: $2t-1=t+3$ , buradan $t=4$ . Yerinə yazanda $7\le x\le7$ alınır. Deməli, sistemin yeganə həlli $x=7$ olur.

\begin{cases}5-2x<1,\\x+2\le8\end{cases}

sisteminin neçə tam həlli var?

Həllə bax

Birinci şərt: $-2x<-4$ . Mənfi ədədə bölürsən, işarə çevrilir: $x>2$ .
İkinci şərt: $x\le6$ .
Hər ikisi birlikdə ödənməlidir: $2<x\le6$ , yəni $(2;6]$ .
Bu aralıqdakı tam ədədlər: 3, 4, 5, 6. Ədəd 2 daxil deyil, çünki o sərhəd ciddidir, 6 isə daxildir.

4 tam həll

Tipik səhv

$\begin{cases}x>2,\\x\le5\end{cases}$ sistemi üçün iki aralığı birləşdirib $(-\infty;+\infty)$ yazmaq.

Sistemdə ortaq hissə götürülür: $2<x\le5$ , cavab $(2;5]$ . Məsələn, $x=7$ birinci şərti ödəyir, amma ikincini yox, ona görə həll deyil.

Sistemdə iki aralığı birləşdirmək artıq qiymətləri cavaba daxil edir, heyətdə yalnız ortaq hissəni seçmək isə bəzi həlləri itirir; qarışdırmamaq üçün mötərizəni oxu: sistemdə «və», heyətdə «və ya».

Yeganə həll axtaranda sərhədlərin bərabərliyindən əlavə, həmin qiymətin hər iki bərabərsizliyə daxil olduğunu da yoxla: məsələn, $x>3$ və $x\le3$ sisteminin heç bir həlli yoxdur.

Özünü yoxla: qısa test

$\begin{cases}-3x\ge6,\\x+5>0\end{cases}$ sisteminin həllini tap.

$\left[\begin{array}{l}2x\le2,\\x+2>0\end{array}\right.$ heyətinin həllini tap.

$\begin{cases}x>t+2,\\x\le2t-1\end{cases}$ sisteminin hansı $t$ qiymətində yeganə həlli var?

Bu mövzunun tapşırıqlarında məşq et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Xətti bərabərsizliklər sistemi. Bərabərsizliklər heyəti», səh. 139
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 8.3 «Birdəyişənli xətti bərabərsizliklər sistemi», səh. 84