Riyaziyyat, Bərabərsizliklər

Kvadrat bərabərsizliklər: parabola ilə həll

Kvadrat bərabərsizliyi parabolanın sxemi ilə həll etməyi və cavab aralığını düzgün yazmağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: həyətdə alçaq məftil hasarla əhatə olunmuş düzbucaqlı tərəvəz sahəsi.

Əlində 20 metrlik məftil var və onunla düzbucaqlı hasar çəkmək istəyirsən. Bir tərəf $x$ metrdirsə, o biri $10-x$ metr olur, sahə isə $x(10-x)$ kvadratmetr. Sual sadədir: sahənin $21$ kvadratmetrdən çox olması üçün $x$ hansı ədədlər ola bilər?

Bu sual elə kvadrat bərabərsizlikdir: $x(10-x)>21$ . Hədləri bir tərəfə keçirsən, $x^2-10x+21<0$ alınır. Uyğun tənliyin kökləri $3$ və $7$ -dir, cavab isə $3<x<7$ . Yəni tərəf 3 metrdən uzun, 7 metrdən qısa olmalıdır.

Belə cavabı tapmaq üçün dəqiq qrafik lazım deyil. Kökləri tapmaq və parabolanın qollarının hara baxdığını bilmək kifayətdir.

Niyə lazımdır

Kvadrat bərabərsizlik təkcə ayrıca mövzu deyil, sonrakı mövzularda alət kimi işləyir. Məsələn, $\sqrt{x^2-4}$ ifadəsinin mənası olsun deyə $x^2-4\ge0$ bərabərsizliyini həll edirsən. Parametrli tənlikdə də belədir: $x^2+ax+1=0$ tənliyinin iki kökü olsun deyə $D=a^2-4>0$ şərtini yazırsan, bu da $a$ -ya görə kvadrat bərabərsizlikdir.

İmtahanda üstünlük sürətdədir. Kökləri və qolların istiqamətini bilirsənsə, cavab aralığını tez seçirsən. Bir yoxlama nöqtəsi səhv aralığı üzə çıxara bilər, amma ucların daxil olub-olmadığını işarəyə baxıb ayrıca yoxla.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Kvadrat bərabərsizlik verilir, cavab variantlarında isə aralıqlar yazılır. Bərabərsizlik bəzən hazır $ax^2+bx+c<0$ şəklində olmur: mötərizələr açılmalı, hədlər keçirilməli, kəsr varsa, məxrəcdən azad edilməlidir. Həllə görə tam həllərin cəmi və ya sayı, yaxud ifadənin müsbət və ya mənfi qiymət aldığı $x$ -lər soruşula bilər.

Qayda

$ax^2+bx+c>0$ (işarə $<$ , $\ge$ , $\le$ də ola bilər, $a\ne0$ ) kvadrat bərabərsizlikdir. Bütün hədləri sol tərəfə keçir ki, sağda 0 qalsın.
$ax^2+bx+c=0$ tənliyinin diskriminantını ( $D=b^2-4ac$ ) və varsa, həqiqi köklərini tap ( $D>0$ olduqda köklərini $x_1<x_2$ kimi işarə et).
$y=ax^2+bx+c$ parabolasının sxemini çək: $a>0$ olanda qolları yuxarı, $a<0$ olanda aşağı yönəlir. $D>0$ olduqda parabola absis oxunu $x_1$ və $x_2$ nöqtələrində kəsir, $D=0$ olduqda oxa $x_1$ nöqtəsində toxunur, $D<0$ olduqda oxu kəsmir.
$>0$ üçün parabolanın oxdan yuxarı, $<0$ üçün aşağı olan aralığını götür. $a>0$ , $D>0$ olanda $>0$ həlli $(-\infty;x_1)\cup(x_2;+\infty)$ , $<0$ həlli isə $(x_1;x_2)$ olur. Qeyri-ciddi işarədə uclar daxildir.
$D=0$ olduqda toxunma nöqtəsinə diqqət et: məsələn, $(x-1)^2>0$ həlli $(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$ , $(x-1)^2\le0$ üçün yeganə həll $x=1$ -dir. $D<0$ olanda isə parabola oxu kəsmir: məsələn, $x^2+x+1>0$ istənilən $x$ üçün doğrudur, $x^2+x+1<0$ üçün həll yoxdur.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) \\[6pt] (x-x_1)(x-x_2)<0\ \Leftrightarrow\ x_1<x<x_2\quad (x_1<x_2)\end{gathered}

$x_1$ və $x_2$ kvadrat üçhədlinin kökləridir; hasil mənfi olanda $x$ köklərin arasında yerləşir, bu aralıqdakı tam ədədləri yaz və topla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),\quad a>0,\ x_1\lt x_2\\[6pt] ax^2+bx+c>0 \iff x\lt x_1 \text{ və ya } x>x_2\end{gathered}

Parabolanın qolları yuxarı baxanda ( $a>0$ ) ifadə köklərdən kənarda müsbət olur. Burada $10x^2-x-9$ ifadəsinin kökləri $-0{,}9$ və $1$ olduğundan müsbət qiymətlər bu köklərdən kənarda alınır.

Öyrənilməli düstur

ax^2+bx+c<0,\ a>0 \ \Rightarrow\ x_1<x<x_2

Burada $x_1$ və $x_2$ uyğun kvadrat tənliyin kökləridir. Tapşırıqda əvvəlcə bərabərsizlik sadə şəklə gətirilir, sonra kökləri arasındakı aralıq götürülür.

Öyrənilməli düstur

ax^2+bx+c\le 0\ (a>0)\iff x_1\le x\le x_2

$x_1$ və $x_2$ kvadrat üçhədlinin köklərdir. Bərabərsizlik qeyri-ciddi olduqda kökləri də həllə daxil et; əvvəlcə bütün hədləri bir tərəfə keçir.

Öyrənilməli düstur

(x-x_1)(x-x_2)>0\ \Rightarrow\ x\in(-\infty;x_1)\cup(x_2;+\infty),\ x_1<x_2

$x_1$ və $x_2$ kvadrat üçhədlinin köküdür. Baş əmsal mənfi olduqda hər tərəfi $-1$ -ə vur, işarəni əksinə çevir və intervallar üsulunu tətbiq et.

Öyrənilməli düstur

a(x-x_1)(x-x_2)\le 0,\ a>0 \ \Rightarrow\ x_1\le x\le x_2

$x_1$ və $x_2$ kvadrat üçhədlinin kökləridir; parabolun budaqları yuxarı olduqda $\le$ işarəsinin həlli köklər arasındakı parçadır. Parçadakı tam ədədləri say, uc nöqtələr də daxildir.

Öyrənilməli düstur

ax^2+bx+c\le 0\iff x_1\le x\le x_2\quad(a>0)

$x_1$ və $x_2$ ədədləri $ax^2+bx+c=0$ tənliyinin kökləridir və $x_1<x_2$ . Qolları yuxarı olan parabola köklər arasında absis oxundan aşağıda və ya oxun üzərində yerləşir.

Aralığı seç

Hər bərabərsizlik üçün düzgün həlli seç. Əvvəlcə kökləri, sonra qolların istiqamətini düşün.

Nümunələr

x^2-x-12<0

bərabərsizliyini həll et.

Həllə bax

$x^2-x-12=0$ tənliyində $D=49$ , köklər $x_1=-3$ , $x_2=4$ . Qollar yuxarıdır, $<0$ olan hissə köklərin arasındadır. Cavab: $(-3;4)$ . Yoxlama: $x=0$ üçün $-12<0$ doğrudur.

$x^2+2x\ge15$ bərabərsizliyini həll et.

Həllə bax

Sol tərəfə keçirək: $x^2+2x-15\ge0$ . Burada $D=64$ , köklər $-5$ və $3$ . Qollar yuxarıdır, $\ge0$ olan hissə köklərdən kənardadır, uclar daxildir. Cavab: $(-\infty;-5]\cup[3;+\infty)$ . Yoxlama: $x=4$ üçün $24\ge15$ doğrudur, $x=0$ üçün $0\ge15$ yanlışdır.

Ədəd oxunda (−∞; −5] və [3; +∞) aralıqları: −5 və 3 daxildir (dolu dairələr).

$-x^2+4x+5>0$ bərabərsizliyini həll et.

Həllə bax

$-x^2+4x+5=0$ ilə $x^2-4x-5=0$ eyni köklərə malikdir: $D=36$ , $x_1=-1$ , $x_2=5$ . Burada $a=-1<0$ , qollar aşağıdır, $>0$ olan hissə köklər arasındadır. Cavab: $(-1;5)$ . Yoxlama: $x=0$ üçün $5>0$ doğrudur.

x(x-3)\le10

bərabərsizliyinin tam həllərinin cəmini tap.

Həllə bax

Mötərizəni aç və hədləri sola keçir: $x^2-3x-10\le0$ .
$D=9+40=49$ , köklər $x_1=-2$ , $x_2=5$ .
Qollar yuxarıdır, $\le0$ olan hissə köklərin arasındadır, uclar daxildir: $[-2;5]$ .
Tam həllər: $-2$ , $-1$ , $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ . Cəmi: $-2-1+0+1+2+3+4+5=12$ .

$12$

Tipik səhv

$x^2-x-12>0\ \Rightarrow\ x\in(-3;4)$

$x^2-x-12>0\ \Rightarrow\ x\in(-\infty;-3)\cup(4;+\infty)$

Şagirdlər $a>0$ olduqda $>0$ bərabərsizliyinin cavabını köklər arasında götürürlər. Bu yanlışdır: qolları yuxarı olan parabola köklərdən kənarda oxdan yuxarıdadır.

Yoxla: $x=0$ üçün $-12>0$ yanlışdır, deməli 0 həll deyil, $(-3;4)$ isə onu daxil edir.

Özünü yoxla

$x^2-3x\ge18$ bərabərsizliyinin həllini seç.

$-x^2+5x-4>0$ bərabərsizliyinin tam həllərinin sayını tap.

$-x^2-4x-7\ge0$ bərabərsizliyinin həllini seç.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kvadrat bərabərsizliklər», səh. 145