Riyaziyyat, Nisbət. Tənasüb. Faiz

Kəmiyyətin dəyişməsinin faizlə ifadəsi: fərq nəyə görə ölçülür?

Bir kəmiyyət dəyişəndə fərqin ilkin qiymətə nisbətini tapmağı, ədədi verilmiş nisbətdə artırıb-azaltmağı və ardıcıl dəyişmələri hesablamağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: mağaza rəfində düzülmüş mallar və onların altında boş qiymət etiketləri.

Mağazada malın qiyməti özünün beşdə biri qədər azalır. Endirim bitəndə qiymət yenə əvvəlki halına qayıdır. Sual sadədir: geri qayıtmaq üçün qiyməti də beşdə biri qədər artırmaq kifayətdirmi?

Ağla ilk gələn cavab «bəli»dir, amma bu düz deyil. $100$ manatlıq mal beşdə biri qədər ucuzlaşanda $80$ manat olur. $80$ -dən $100$ -ə qalxmaq $20$ manat artımdır, bu da $80$ -in dörddə birini edir.

Eyni $20$ manat bir dəfə ilkin qiymətin beşdə biri, bir dəfə isə dörddə biri olur. Fərq onun nəyə görə ölçülməsindədir. Bu mövzu məhz bu qarışıqlığı aradan qaldırır.

Niyə lazımdır

Qiymət dəyişikliyi hər yerdə qarşına çıxır: endirimlərdə, maaş artımında, tariflərin dəyişməsində. «Nəyə nisbətən?» deyə soruşmağı vərdiş etsən, hər dəfə cari qiymətin onda biri qədər edilən iki endirimin ilkin qiymətin beşdə biri etmədiyini görərsən: qiymət $100\times0{,}9\times0{,}9=81$ olur, yəni cəmi $19$ manat ucuzlaşır.

İmtahanda bu, qiymət dəyişməsi və tənasüb üzrə mətnli məsələlərin bünövrəsidir. Bazanı düz seçsən, hesab iki-üç sətirdə bitir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahan qiymətin, kütlənin və ya digər kəmiyyətin dəyişməsini faizlə ifadə etməyi yoxlayır. Ən çox rast gəlinən sual belədir: kəmiyyət bir qiymətdən başqa qiymətə dəyişib, bu dəyişmə neçə faizdir? Bunun yanında ədədi verilmiş faiz qədər artırmaq və ya azaltmaq, sonra isə dəyişmələri ardıcıl tətbiq etmək tələb olunur. Cavab seçimlərində çox vaxt səhv bazaya görə hesablanmış faiz də yer alır, ona görə dəyişmənin nəyə nisbətən hesablandığını yoxla.

Qayda

Dəyişmənin miqdarı iki qiymətin fərqidir: böyük qiymətdən kiçiyini çıx.
Dəyişmənin faizi ilkin qiymətə görə tapılır: $\dfrac{\text{fərq}}{\text{ilkin qiymət}}\times 100\%$ .
Ədədi $p\%$ artırmaq üçün onun $(100+p)\%$ -ni götür, yəni $a\times\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$ .
Ədədi $p\%$ azaltmaq üçün onun $(100-p)\%$ -ni götür, yəni $a\times\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$ .
Ardıcıl dəyişmələrdə hər faiz o anda alınmış qiymətə tətbiq olunur.

Tapşırıqlarda işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

p=\frac{b-a}{a}\times 100\%

$a$ ilkin, $b$ yeni qiymətdir, $p$ isə artımın faizidir. Fərqi həmişə ilkin qiymətə böl, yeni qiymətə yox.

Özün hesabla

Cavabı ədədlə yaz. İlkin qiymətin hər $100$ manatına düşən dəyişmə soruşulanda fərqin ilkin qiymətə nisbətini $100$ -ə vur.

Nümunələr

80

manatlıq malın qiyməti

15\%

artırıldı. Yeni qiymət

80\times 1{,}15=92

manat olur.

Malın qiyməti $250$ manatdan $200$ manata endi. Qiymət neçə faiz azalıb? Azalma $250-200=50$ manatdır. İlkin qiymətə nisbəti $\dfrac{50}{250}=0{,}2$ , yəni qiymət $20\%$ azalıb.

Qiyməti $400$ manat olan mal əvvəlcə $20\%$ bahalaşdı, sonra yeni qiymət $20\%$ azaldıldı. Birinci mərhələdə qiymət $400\times 1{,}2=480$ manat olur. İkinci mərhələdə $480\times 0{,}8=384$ manat alınır. Son qiymət ilkin qiymətdən $400-384=16$ manat azdır, bu da $\dfrac{16}{400}=0{,}04$ , yəni $4\%$ edir.

Hər dəyişmədə faiz bazası
Mərhələ	Hesab	Qiymət
İlkin	—	$400$
$20\%$ artım	$400\times1{,}2$	$480$
$20\%$ azalma	$480\times0{,}8$	$384$

Tipik səhv

Qiymət $250$ manatdan $200$ manata endi: azalmanın ilkin qiymətə nisbəti $\dfrac{50}{200}=0{,}25$ -dir.

Fərq ilkin qiymətə bölünür: $\dfrac{50}{250}=0{,}2$ , yəni qiymət ilkin qiymətin beşdə biri qədər azalıb.

Çoxları dəyişmənin nisbi miqdarını yeni qiymətə görə hesablayır. Amma dəyişmə ilkin qiymət olan $250$ -yə nisbətən ölçülür.

İkinci səhv ardıcıl dəyişmələrin nisbətlərini sadəcə toplayıb çıxmaqdır. $400$ əvvəlcə beşdə biri qədər artıb, sonra alınan qiymətin beşdə biri qədər azalanda qiymət dəyişməz qalmır. Səbəbi odur ki, ikinci dəyişmə artıq böyümüş $480$ ədədinə tətbiq olunur və qiymət ilkin qiymətin $0{,}04$ hissəsi qədər azalır.

Üçüncü səhv azaltmada çıxılan hissəni bütövdən çıxmağı unutmaqdır. $80$ ədədini özünün $0{,}15$ hissəsi qədər azaltmaq $80\times 0{,}85=68$ deməkdir. $80\times 0{,}15=12$ isə çıxılan hissənin özüdür.

Özünü yoxla

Kəmiyyət $40$ -dan $64$ -ə qalxıb. Neçə faiz artdığını tap.

$350$ ədədini $12\%$ azalt. Hansı ədəd alınar?

$200$ ədədi əvvəlcə $25\%$ azaldılır, sonra alınan ədəd $20\%$ artırılır. Son nəticəni tap.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 2.9 «Kəmiyyətin dəyişməsinin faizlə ifadəsi», səh. 63
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 4.4 «Kəmiyyətin qiymətinin müəyyən faiz artırılması və azaldılması», səh. 130