Riyaziyyat, Həqiqi ədədlər

Rasional və irrasional ədədləri necə ayırmaq olar

Ədədə baxıb onun rasional, yoxsa irrasional olduğunu tez və səhvsiz deyə biləcəksən.

Oxumaq üçün 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə diaqonalı boyunca qatlanmış kvadrat ağ kağız vərəqi.

Kalkulyatorda $1:3$ hesabla, ekranda ardıcıl 3-lər çıxacaq: $0{,}3333\dots$ . İndi $\sqrt 2$ -ni hesabla: $1{,}41421356\dots$ alınır. Ekran hər iki ədədin yalnız təqribi qiymətini göstərir; onların dəqiq onluq yazılışları isə sonsuzdur.

Amma bu iki ədəd tam fərqli növdəndir. Birincidə 3 rəqəmi sonsuza qədər təkrarlanır və ədəd adi kəsrdir: $\dfrac{1}{3}$ . İkincidə rəqəmlər heç vaxt eyni qrupla təkrarlanmır və onu iki tam ədədin nisbəti kimi yazmaq olmur.

Bu $\sqrt 2$ uzaq bir şey deyil: tərəfi 1 olan kvadratın diaqonalı məhz $\sqrt 2$ uzunluğundadır. Kvadrat kağızı diaqonal boyunca qatlayanda həmin xətti görürsən. Ekranda ikisi eyni görünürsə, hansının rasional olduğunu necə bilək? Aşağıdakı qayda elə bunun üçündür.

Niyə lazımdır

Bu ayrım həqiqi ədədlərlə bütün sonrakı işin əsasıdır. Ədəd rasionaldırsa, onu dəqiq kəsr kimi yaza bilərsən. İrrasionaldırsa, onun onluq yazılışı sonsuz və dövri olmayandır; sonlu sayda onluq mərtəbə ilə yalnız təqribi qiymətini göstərə bilərsən, ona görə kökü kök kimi saxlamaq daha düzgündür.

İmtahanda belə suallar tez həll olunur, amma bir ədədi səhv qrupa atmaq bütün cavabı dəyişir. Altı ədəddən biri səhv sayılsa, hissə də səhv çıxır. Ona görə hər ədədi ayrıca, qaydaya baxaraq yoxlamaq lazımdır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda ədədlər siyahısı verilir və bu ədədlərdən neçəsinin (yaxud hansı hissəsinin) irrasional olduğunu tapmaq tələb olunur. Siyahıda kvadrat köklər, $\pi$ , dövri onluq kəsrlər və sonlu onluq kəsrlər qarışıq gəlir. Ədədin rasional, yoxsa irrasional olduğunu müəyyən etmək və rasional ədədlərin seçilməsi tapşırıqları da mümkündür.

Qayda

İki tam ədədin nisbəti $\dfrac{m}{n}$ ( $n\ne 0$ ) şəklində yazıla bilən ədəd rasionaldır. Belə şəkildə yazıla bilməyən ədəd irrasional ədəd adlanır.
Hər rasional ədəd sonlu və ya sonsuz dövri onluq kəsrdir. Sonsuz kəsrdə bir rəqəm və ya rəqəmlər qrupu müəyyən yerdən başlayaraq ardıcıl, sonsuz dəfə təkrarlanırsa, kəsr dövridir. Dövri olmayan sonsuz onluq kəsr irrasional ədəddir.
$n$ natural ədədi tam kvadrat deyilsə, $\sqrt n$ irrasionaldır. $n$ tam kvadratdırsa, $\sqrt n$ natural ədəddir, yəni rasionaldır: $\sqrt{25}=5$ . Kökaltı ədəd onluq kəsrdirsə, kvadratı həmin kəsr olan ədədi axtar: $\sqrt{0{,}49}=0{,}7$ rasionaldır.
$\pi=3{,}14159\dots$ irrasional ədəddir.
Rasional və irrasional ədədlər birlikdə həqiqi ədədlər çoxluğunu əmələ gətirir.

Tapşırıqlarda işlənən qayda

Öyrənilməli qayda

Tam kvadrat olmayan natural ədədin kökü ( $\sqrt{3}$ ), $\pi$ və dövri olmayan sonsuz onluq kəsr irrasionaldır; belə ədədin əksi ( $-\sqrt{2}$ ) və rasional vuruqla hasili ( $3\sqrt{5}$ ) də irrasionaldır, $\sqrt{9} = 3$ və dövri kəsrlər isə rasionaldır; hissə irrasionalların sayının bütün ədədlərin sayına nisbətidir.

Rasional, yoxsa irrasional?

Hər ədədə bax və onun hansı qrupa aid olduğunu seç.

Nümunələr

\sqrt{16}

\sqrt{20}

2{,}(7)

\pi

-\sqrt{49}

0{,}101001000\dots

(1-lər arasında sıfırların sayı hər dəfə bir artır) ədədlərinin hansı hissəsi irrasionaldır?

Həllə bax

$\sqrt{16}=4$ rasionaldır. $\sqrt{20}$ irrasionaldır, çünki 20 tam kvadrat deyil. $2{,}(7)$ dövri kəsrdir, rasionaldır. $\pi$ irrasionaldır. $-\sqrt{49}=-7$ rasionaldır. Sonuncu kəsr dövri deyil, irrasionaldır. İrrasional ədədlərin sayı 3-dür, ümumi say 6-dır, hissə $\dfrac{3}{6}=0{,}5$ .

Rasional və irrasional ədədlərin seçilməsi
Rasional	İrrasional
$\sqrt{16}=4$	$\sqrt{20}$
$2{,}(7)$	$\pi$
$-\sqrt{49}=-7$	$0{,}101001000\dots$

$n=1,2,\dots,10$ üçün $\sqrt n$ ədədlərindən neçəsi irrasionaldır?

Həllə bax

1-dən 10-a qədər kökaltı ədədlər arasında tam kvadratlar 1, 4 və 9-dur. Bu üç halda kök rasionaldır, qalan $10-3=7$ halda irrasionaldır.

Kvadratı $1{,}44$ olan ədədlər rasionaldırmı?

Həllə bax

$1{,}2\times 1{,}2=1{,}44$ və $(-1{,}2)\times(-1{,}2)=1{,}44$ olduğundan kvadratı $1{,}44$ olan ədədlər $1{,}2$ və $-1{,}2$ -dir. Hər ikisi sonlu onluq kəsrdir, deməli, rasionaldır.

Tipik səhv

$\sqrt{36}$ irrasionaldır, çünki kök işarəsi var; $0{,}(45)$ da irrasionaldır, çünki kəsr sonsuzdur.

$36$ tam kvadratdır, $\sqrt{36}=6$ rasionaldır; $0{,}(45)$ dövri kəsrdir, ona görə rasionaldır. $0{,}101001000\dots$ isə irrasionaldır.

Bəzi şagirdlər kök işarəsini görən kimi ədədi irrasional sayır, yaxud kəsrin sonsuz olduğunu görüb eyni nəticəyə gəlir. Kökaltı natural ədəd üçün onun tam kvadrat olub-olmadığını yoxla ( $\sqrt{25}=5$ rasionaldır), sonsuz kəsr üçün isə eyni qrupun ardıcıl təkrarlanıb-təkrarlanmadığına bax ( $2{,}(4)$ dövri olduğundan rasionaldır).

Rəqəmlərin sadəcə yenidən görünməsi kifayət etmir: $0{,}101001000\dots$ kəsrində 0 və 1 rəqəmləri təkrarlanır, lakin sıfırların sayı artır, qrup eyni qalmır, ona görə kəsr irrasionaldır.

Özünü yoxla

Hansı ədəd rasionaldır?

Bir onluq kəsrdə vergüldən sonra əvvəlcə $4$ yazılır, sonra $27$ qrupu sonsuz dəfə ardıcıl təkrarlanır. Bu ədəd haqqında hansı fikir doğrudur?

$\sqrt{12}$ , $-\sqrt{64}$ , $0{,}(18)$ , $3\times\sqrt{2}$ , $2{,}75$ ədədlərinin hansı hissəsi irrasionaldır?

Bu mövzunun tapşırıqları

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 1.2 «Həqiqi ədədlər», səh. 14