Riyaziyyat, Həqiqi ədədlər

Ədədi orta və həndəsi orta: ortanı düzgün tapmaq

Ədədi ortanı, medianı və həndəsi ortanı tapmağı, iki qrupun ortasını isə tələyə düşmədən birləşdirməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Tərəfləri $4$ və $9$ olan düzbucaqlı götür. Onun sahəsi $36$ -dır. İndi eyni sahəsi olan kvadrat çəkmək istəsən, onun tərəfi $6$ olmalıdır, çünki $6\times 6=36$ . Bu $6$ ədədi də $4$ ilə $9$ -un bir növ ortasıdır, amma hamının bildiyi orta deyil.

Adi orta, yəni ədədi orta $6{,}5$ -dir. Tərəfi $6{,}5$ olan kvadratın perimetri düzbucaqlınınkı ilə eynidir, amma sahəsi $42{,}25$ çıxır və düzbucaqlınınkından böyükdür. Deməli, orta nəyi saxlamaq istədiyindən asılıdır: cəmi saxlayırsansa, ədədi orta, hasili saxlayırsansa, həndəsi orta lazımdır.

Aşağıda ikisini də necə tapmağı və harada çaşmamağı görəcəksən.

Niyə lazımdır

Orta hər yerdə qarşına çıxır: qiymətlərinin ortası, bir həftədə gündə orta neçə səhifə oxuduğun, bir sinfin orta balı. Ortanı və sayı bilirsənsə, cəmi bir vurma ilə taparsan. Bu cəm də çatışmayan ədədi tapmağın ən qısa yoludur.

İmtahanda hesablama özü çətin olmur, çətinlik kiçik detallardadır: sıfırı saymaq, qrupların ölçüsünü nəzərə almaq, kökü unutmamaq. Bu detalları bilən adam vaxtını hesabı yenidən yoxlamağa sərf etmir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda imtahan əsasən mətnli məsələlər verir. Bir neçə kəmiyyətin orta qiymətini hesablamaq, orta məlum olduqda çatışmayan ədədi və ya ümumi cəmi tapmaq, iki qrupun ayrı-ayrı ortalarına görə bütün qrupun ortasını müəyyən etmək tələb olunur. Bəzən ortanın yanında median kimi başqa göstərici də istənir. Cavab yazılı şəkildə tələb olunduğu üçün hesablamanı addım-addım göstərmək lazımdır.

Qayda

Ədədi orta: ədədlərin hamısını topla, cəmi ədədlərin sayına böl, yəni $\bar{x}=\dfrac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}$ .
Ortanı və sayı bilirsənsə, cəm belə tapılır: $\text{cəm}=\text{orta}\times\text{say}$ .
Sıfır da ədəddir: cəmə heç nə əlavə etməsə də, say hesablananda onu nəzərə almaq lazımdır.
Ədədi orta ən kiçik ədəddən kiçik, ən böyük ədəddən böyük ola bilməz.
Median: ədədlərin sayı təkdirsə, artan sıra ilə düzülmüş ədədlərin ortasında qalan ədəddir. Ədədlərin sayı cütdürsə, median ortadakı iki ədədin ədədi ortasıdır.
Həndəsi orta: iki müsbət $a$ və $b$ ədədinin həndəsi ortası $\sqrt{a\times b}$ ədədidir.
İki müsbət ədədin həndəsi ortası onların ədədi ortasından böyük olmur, yalnız ədədlər bərabər olanda ikisi eynidir.

Tapşırıqlarda istifadə olunan düsturlar

Öyrənilməli düstur

\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}

Ədədi orta $\bar{x}$ ədədlərin cəminin onların sayına bölünməsidir. Orta və say məlum olduqda cəm $n\times \bar{x}$ olur; tapşırıqda $4\times 7$ ilə $3\times 8$ cəmlərinin fərqi dördüncü balı verir.

Öyrənilməli düstur

\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\ \Rightarrow\ x_1+x_2+\dots+x_n=n\times\bar{x}

$\bar{x}$ ədədlərin ədədi ortası, $n$ isə onların sayıdır. Ədədi ortanı sayına vuranda cəm alınır; tapşırıqda üç və beş günün cəmi belə tapılır, median isə artan sıranın ortadakı qiymətidir.

Özün hesabla

Cavabı yaz və yoxla. Kəsr cavabı onluq kəsr kimi yaz.

Nümunələr

6

9

12

5

ədədlərinin ədədi ortasını tapaq. Cəm

6+9+12+5=32

, say

4

olduğundan orta

32:4=8

alınır.

Üç ədədin ortası $10$ , iki başqa ədədin ortası isə $15$ olarsa, bu beş ədədin ortası neçədir? Birinci qrupun cəmi $10\times 3=30$ , ikincinin cəmi $15\times 2=30$ . Ümumi cəm $60$ , say $5$ , deməli, orta $60:5=12$ .

Qrupların ortası: əvvəlcə cəmləri tap
Qrup	Say	Orta	Cəm
Birinci	$3$	$10$	$30$
İkinci	$2$	$15$	$30$
Birlikdə	$5$	$12$	$60$

$4$ və $9$ ədədlərinin həndəsi ortası $\sqrt{4\times 9}=\sqrt{36}=6$ . Ədədi orta $\dfrac{4+9}{2}=6{,}5$ olduğundan $6<6{,}5$ , yəni qayda ödənir.

Tipik səhv

Üç ədədin ortası $10$ , iki ədədin ortası $15$ , deməli, beş ədədin ortası $\dfrac{10+15}{2}=12{,}5$ .

Əvvəlcə cəmləri tap: $10\times 3=30$ , $15\times 2=30$ . Beş ədədin ortası $\dfrac{30+30}{5}=\dfrac{60}{5}=12$ .

Qruplarda ədədlərin sayı fərqlidir, ona görə hər ortanı öz sayına vurub cəmləri tapmaq, sonra ümumi saya bölmək lazımdır.

Həndəsi ortada da diqqətli ol: kök işarəsini unutma, $4$ və $9$ üçün cavab $36$ deyil, $6$ -dır; ortanı tapandan sonra isə cavabı yoxla: orta ən kiçik ədəddən kiçik və ya ən böyük ədəddən böyük çıxırsa, hesablamada səhv var.

Özünü yoxla

Üç ədədin ədədi ortası $8$ -dir. Bu ədədlərin yanına dördüncü ədəd kimi $0$ yazsan, dörd ədədin ədədi ortası neçə olar?

Dörd ədədin ədədi ortası $6$ , başqa iki ədədin ədədi ortası $15$ -dir. Bu altı ədədin ədədi ortasını tap.

$5$ və müsbət $x$ ədədinin həndəsi ortası $10$ -dur. $x$ neçədir?

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 1.3 «Həqiqi ədədlərin müqayisəsi», səh. 17
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 8.1 «Ədədi orta», səh. 87