Riyaziyyat, Həndəsə

Fiqurların sahəsi: hissələr, nisbətlər və dairə sektoru

Fiquru hissələrə bölüb sahəni tapmağı, nisbətlə hesablamağı və dairədən sektor ayırmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masada dilimlərə bölünmüş dəyirmi pizza, bir dilimi azca kənara çəkilib.

Pizzanın ölçüsünü adətən diametri ilə deyirlər. Diametri iki dəfə böyük olan pizzanın sahəsi iki dəfə yox, dörd dəfə böyükdür. Səbəb sadədir: uzunluq neçə dəfə artırsa, sahə onun kvadratı qədər artır.

Pizzanı mərkəzdən bərabər dilimlərə böləndə hər dilim dairənin sektoru olur. Səkkiz bərabər dilimin hər birinin mərkəzi bucağı $45^\circ$ -dir, sahəsi də bütün pizzanın səkkizdə biridir.

Bu mövzu da elə bu cür hesablardan ibarətdir: hissələrin sahəsini toplamaq, sahəni nisbətə görə bölmək, dairədən sektor ayırmaq.

Niyə lazımdır

Otağa neçə kvadrat metr laminat lazım olduğunu, divarın pəncərədən qalan hissəsinə nə qədər boya gedəcəyini hesablayanda eyni fikirdən istifadə edirsən: bütöv sahədən hissənin sahəsini çıxırsan.

İmtahanda bu tapşırıqlar qısadır, amma bir addımdakı səhv cavabı tamam dəyişir: radiusun yerinə diametr yazırsan, ya da nisbətin özünün yerinə kvadratını götürürsən. Qaydaları dəqiq bilsən, belə tapşırığı bir-iki sətirlə həll edərsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda fiqurun məlum sahəsindən bir hissənin sahəsini çıxır, üçbucağın sahəsini oturacaq hissələrinin nisbətinə görə bölürsən. Rombun perimetri və bucağı ilə sahəsini hesablamaq, oxşar düzgün çoxbucaqlıların sahələrini müqayisə etmək də tələb olunur. Dairədə isə diametri müəyyənləşdirib verilən sektorun və ya ondan kənarda qalan hissənin sahəsini tapırsan.

Qayda

Sahələrin cəmi: fiquru daxili hissələri üst-üstə düşməyən parçalara ayırdıqda sahələri topla. İki hissə üçün $S=S_1+S_2$ yazılır. Bütün sahə və bir hissə məlumdursa, digərini $S_2=S-S_1$ ilə hesabla.
Ortaq hündürlük: üçbucaqda $S=\frac{ah}{2}$ , burada $a$ oturacaq, $h$ həmin oturacağa çəkilən hündürlükdür. Eyni təpədən qarşı tərəfin hissələrinə qurulan üçbucaqların hündürlüyü ortaqdır. Buna görə $S_1:S_2=a_1:a_2$ olur. Oturacaq hissələrinin nisbəti $m:n$ verilirsə, birinci sahə ümumi sahənin $\frac{m}{m+n}$ hissəsidir.
Romb: dörd tərəfi bərabər olduğundan $a=\frac{P}{4}$ , sahəsi isə $S=a^2\sin\alpha$ olur. Burada $P$ perimetr, $a$ tərəf, $\alpha$ rombun daxili bucağıdır. Bucaq $30^\circ$ olduqda $\sin30^\circ=\frac12$ götür.
Oxşar fiqurlar: uyğun uzunluqların nisbəti $k$ olduqda sahələrin nisbəti $k^2$ olur. Eyni sayda tərəfi olan düzgün çoxbucaqlılar oxşardır. Onlarda $\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^2$ yaz. İndekslər eyni ardıcıllıqla seçilmiş fiqurları göstərir.
Dairə sektoru: dairənin sahəsi $S=\pi r^2$ , mərkəzi bucağı $\alpha$ olan sektorun sahəsi $S_{\text{sektor}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2$ olur. Burada $r$ radiusdur. Ən uzun vətər diametrdir: $d=2r$ . Ştrixlənmiş sahəni taparkən hansı sektorun ayrıldığına bax. Radiuslar perpendikulyardırsa, kiçik sektor dairənin dörddə birini tutur.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

S=\frac{d_1\times d_2}{2}

$d_1$ və $d_2$ rombun diaqonallarının tam uzunluqları, $S$ isə sahəsidir. Kəsişmə nöqtəsi hər diaqonalı iki bərabər parçaya ayırır, ona görə verilən məsafələri ikiqat artırıb düsturda yerinə yaz.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a=\frac{P}{4}\\[6pt]S=a^2\times\sin\alpha\end{gathered}

Burada $P$ rombun perimetri, $a$ tərəfinin uzunluğu, $\alpha$ daxili bucağı, $S$ isə sahəsidir. Əvvəl perimetrdən tərəfi tap, sonra tərəfin kvadratını verilən bucağın sinusuna vur.

Öyrənilməli düstur

\frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^2

Eyni sayda tərəfi olan iki düzgün çoxbucaqlı oxşar fiqurlardır; $P_1$ , $P_2$ onların perimetrlərini, $S_1$ , $S_2$ isə sahələrini göstərir. Sahələri müqayisə etmək üçün verilmiş perimetrlər nisbətinin kvadratını hesabla və ardıcıllığı saxla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}S=\frac{a\times h}{2}\\[6pt]\frac{S_1}{S_2}=\frac{a_1}{a_2}\quad(h_1=h_2)\end{gathered}

$a$ oturacağın uzunluğu, $h$ ona çəkilən hündürlük, $S$ sahədir; hündürlüklər bərabər olduqda iki üçbucağın sahələri oturacaqları ilə düz mütənasibdir. Burada hündürlük ortaqdır, ona görə bütöv sahəni oturacaqların nisbətinə uyğun böl.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}r=\frac{d}{2}\\[6pt]S_{\text{sektor}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\times\pi\times r^2\end{gathered}

$d$ diametr, $r$ radius, $\alpha$ sektorun mərkəzi bucağı, $S_{\text{sektor}}$ onun sahəsidir. Ən uzun vətər diametrdir; radiusu tapdıqdan sonra ştrixlənmiş böyük sektorun bucağını tam bucaqdan ağ sektorun bucağını çıxmaqla müəyyən et və düsturu tətbiq et.

Öyrənilməli düstur

S=\frac{a+b}{2}\times h

$a$ və $b$ trapesiyanın oturacaqlarının uzunluqları, $h$ hündürlüyü, $S$ sahəsidir. Şəkildə $UT$ və $TV$ uyğun üçbucaqların orta xətləri olduğundan hər biri uyğun oturacağın yarısıdır; onların nisbətindən böyük oturacağı tapıb sahəni hesabla.

Öyrənilməli qayda

Fiquru daxili hissələri üst-üstə düşməyən parçalara ayırdıqda sahə dəyişmir: parçaların sahələrini toplamaqla bütöv fiqurun sahəsini alırsan. Axtarılan parçanın sahəsi üçün bütövün sahəsindən verilən parçanın sahəsini çıx.

Öyrənilməli qayda

Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfdəki daxili nöqtə ilə birləşdirdikdə alınan iki üçbucağın sahələrini toplamaqla bütövün sahəsini alırsan. Bütövün sahəsindən verilən hissənin sahəsini çıxaraq digər hissənin sahəsini hesabla.

Dairədən sektor ayır

Radiusu və sektorun mərkəzi bucağını dəyiş, sahələrin necə dəyişdiyinə bax. Başlanğıc qiymətlər 3-cü nümunədəki ədədlərdir.

Nümunələr

ABC

üçbucağında

D

nöqtəsi

AB

üzərindədir,

AD:DB=2:3

, ümumi sahə

35\ \text{sm}^2

-dir. Hər hissənin sahəsini tap.

Həllə bax

Həlli: ortaq hündürlüyə görə $S_{ADC}=35\times\frac{2}{5}=14\ \text{sm}^2$ . Digər hissə üçün $S_{DBC}=35-14=21\ \text{sm}^2$ alırsan.

Rombun perimetri $40$ sm, iti bucağı $30^\circ$ -dir. Sahəni hesabla.

Həllə bax

Həlli: əvvəl tərəfi tap: $a=40:4=10$ sm. Sonra $S=10^2\times\frac12=50\ \text{sm}^2$ hesabla.

Diametri $10$ sm olan dairədən $72^\circ$ bucaqlı sektor ayrılır. Qalan sahəni tap.

Həllə bax

Həlli: $r=5$ sm, dairənin sahəsi $25\pi\ \text{sm}^2$ -dir. Ayrılan sektorun sahəsi $\frac{72}{360}\times25\pi=5\pi\ \text{sm}^2$ , qalan sahə isə $25\pi-5\pi=20\pi\ \text{sm}^2$ olur.

İki düzgün altıbucaqlının perimetrləri

2:3

nisbətindədir. Kiçiyinin sahəsi

20\ \text{sm}^2

-dir. Böyüyünün sahəsini tap.

Həllə bax

Hər ikisi düzgün altıbucaqlıdır, deməli, oxşardırlar.
Perimetrlərin nisbəti: $\frac{P_2}{P_1}=\frac32$ .
Sahələrin nisbəti bu ədədin kvadratıdır: $\left(\frac32\right)^2=\frac94$ .
$S_2=20\times\frac94=45\ \text{sm}^2$ .

$45\ \text{sm}^2$

Tipik səhv

Diametr $10$ sm-dir, ona görə $S=\pi\times10^2=100\pi$ sm.

$r=10:2=5$ sm, ona görə $S=\pi\times5^2=25\pi\ \text{sm}^2$ .

Dairənin sahə düsturuna diametri yazma, əvvəl onu yarıya böl, sahənin vahidini də kvadratla göstər.

Nisbətlərdə də diqqətli ol: ortaq hündürlüklü üçbucaqlarda oturacaqların nisbətini olduğu kimi götür, oxşar fiqurlarda isə uzunluqların nisbətini kvadrata yüksəlt; bu iki qaydanı qarışdırma.

Özünü yoxla

$ABC$ üçbucağında $D$ nöqtəsi $AB$ tərəfinin daxilindədir və $AD:DB=3:4$ -dür. $ADC$ üçbucağının sahəsi $18\ \text{sm}^2$ olarsa, $DBC$ üçbucağının sahəsini tap.

İki düzgün beşbucaqlının sahələri $S_1:S_2=9:25$ nisbətindədir. Perimetrlərinin $P_1:P_2$ nisbətini tap.

Dairənin ən uzun vətəri $12$ sm-dir. Bir-birinə perpendikulyar iki radiusun ayırdığı kiçik sektor çıxarılır. Qalan hissənin sahəsini tap.

Bu mövzunun sınağı

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Dairə sektoru və seqmentin sahəsi», səh. 90
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Sahə aksiomları», səh. 116
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 7.2 «Paraleloqramın və trapesiyanın sahəsi», səh. 59
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 8.1 «Üçbucağın sahəsi», səh. 81