Riyaziyyat, Funksiyalar və qrafiklər

Əsas funksiyalar və qrafikləri: parabola, hiperbola və başqaları

Parabolanın təpəsini, köklərini və əmsallarını şəkildən tapmağı, hiperbolanı və digər əsas qrafikləri isə ilk baxışdan tanımağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün təxminən 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: parkdakı fəvvarədən çıxan su şırnağı havada qövs çəkib daş hovuza düşür.

Basketbol topunu səbətə atanda o, düz xətt üzrə uçmur: əvvəl qalxır, ən hündür nöqtəyə çatır, sonra enməyə başlayır. Fəvvarədən çıxan su şırnağı da havada belə bir qövs çəkir. Hava müqavimətini nəzərə almasaq, bu yol riyaziyyatda adı olan bir əyridir: parabola.

Parabolanın ən xoş tərəfi odur ki, onun ən hündür və ya ən alçaq nöqtəsini, absis oxunu harada kəsdiyini əvvəlcədən hesablamaq olur. Bunun üçün düsturdakı üç əmsal kifayət edir.

Bu mövzuda parabolanın yanında başqa tanış qrafiklər də var: iki qollu hiperbola, $V$ hərfinə bənzəyən $y=|x|$ və başqaları. Hamısını şəklindən tanımağı öyrənəcəksən.

Niyə lazımdır

Parabola imtahanda çox vaxt şəkil kimi gəlir və bir şəkildən bir neçə sual çıxır. Təpənin düsturunu və köklərlə yazılışı bilsən, şəkildəki üç müxtəlif absisli nöqtədən bütün funksiyanı bərpa edə bilərsən.

Digər qrafikləri tanımaq isə tez həll olunan işdir: $k$ -nın işarəsinə və ya funksiyanın harada təyin olunduğuna baxıb düzgün şəkli bir neçə saniyəyə seçirsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda əsasən parabolanın şəkli verilir. Şəkildəki məlumatlara görə parabolanın təpəsini, absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrini və ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsini tapmaq, düsturun əmsallarını müəyyən etmək, parabola və düz xətt arasındakı üçbucağın və ya kvadratın sahəsini hesablamaq tələb olunur. Tunel, körpü qövsü kimi real parabola məsələləri də gəlir. Digər funksiyalar üzrə qrafikin necə göründüyü və hansı rüblərdə yerləşdiyi soruşula bilər.

Qayda

Kvadratik funksiya $y=ax^2+bx+c$ ( $a\neq0$ ): qrafiki parabola. $a>0$ olduqda qolları yuxarı, $a<0$ olduqda aşağı yönəlir.
Ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsi $(0;\,c)$ . Absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin absisləri $ax^2+bx+c=0$ tənliyinin kökləridir.
Təpənin absisi $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ , ordinatı $y_0=y(x_0)$ . Simmetriya oxu $x=x_0$ düz xəttidir. Kökləri $x_1$ və $x_2$ olarsa, $x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ və $y=a(x-x_1)(x-x_2)$ .
$y=\dfrac{k}{x}$ ( $k\neq0$ , $x\neq0$ ): hiperbola, iki qolu var. $k>0$ olduqda I və III rübdə, $k<0$ olduqda II və IV rübdə yerləşir.
$y=\sqrt{x}$ : $x\geq0$ üçün təyin olunub, $(0;\,0)$ nöqtəsindən başlayır və artandır.
$y=|x|$ : $V$ şəklindədir, təpəsi $(0;\,0)$ , ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir. $y=x^3$ : $(0;\,0)$ nöqtəsindən keçir və artandır.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}y=a(x-x_1)(x-x_2)\\[6pt] m=\frac{x_1+x_2}{2},\quad n=y(m)\end{gathered}

$x_1$ və $x_2$ parabolanın absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrinin absisləridir. Təpənin absisi $m$ bu iki ədədin ədədi ortasıdır, ordinatı $n$ isə $m$ -i düsturda yerinə yazmaqla tapılır; əmsal $a$ əlavə nöqtədən hesablanır.

Öyrənilməli düstur

y=a(x-m)^2+n,\quad m=-\frac{b}{2a},\ n=c-\frac{b^2}{4a}

Parabolanın təpə nöqtəsi $(m;\,n)$ , simmetriya oxu isə $x=m$ düz xəttidir. Tunelin qövsü ordinat oxuna nəzərən simmetrik olduğundan $b=0$ , $m=0$ və axtarılan hündürlük $n=c$ -yə bərabərdir.

Öyrənilməli düstur

m=-\frac{b}{2a},\ n=\frac{4ac-b^2}{4a}

$(m;n)$ parabolanın təpə nöqtəsidir. Burada $a=1$ və $c$ düz xəttin ordinat oxu ilə kəsişməsindən tapılır, təpənin düz xətt üzərində olması isə $b$ -ni verir.

Öyrənilməli düstur

y=a(x-m)^2+n,\quad m=-\frac{b}{2a},\ n=-\frac{D}{4a}

$(m;\,n)$ parabolanın təpəsi, $x=m$ simmetriya oxu, $D=b^2-4ac$ isə diskriminantdır. Burada təpə $M(4;\,8)$ olduğundan funksiya $y=-(x-4)^2+8$ yazılır, eyni ordinatlı iki nöqtə isə $x=4$ oxuna nəzərən simmetrikdir.

Öyrənilməli düstur

y=a(x-m)^2+n,\quad m=-\frac{b}{2a},\ n=\frac{4ac-b^2}{4a}

$(m;\,n)$ parabolanın təpə nöqtəsidir, simmetriya oxu isə $x=m$ düz xəttidir. Absis oxu ilə kəsişmə nöqtələri bu oxdan eyni məsafədə yerləşir; tapşırıqda təpənin koordinatları və $a$ əmsalı buradan tapılır.

Özün hesabla

Hər sualda bir ədəd tap və yaz. Sonra həllin addımlarına bax.

Nümunələr

y=x^2-6x+5

parabolasının təpəsini və absis oxu ilə kəsişmə nöqtələrini tap, təpə ilə həmin nöqtələrin əmələ gətirdiyi üçbucağın sahəsini hesabla.

Həllə bax

$x_0=-\dfrac{-6}{2}=3$ , $y_0=9-18+5=-4$ , təpə $(3;\,-4)$ . Tənlik $x^2-6x+5=0$ olduqda $x=1$ və $x=5$ . Əsas $4$ , hündürlük $|y_0|=4$ olduğundan sahə $\dfrac{4\times4}{2}=8$ .

y = x² − 6x + 5 parabolası: köklər 1 və 5, təpə (3; −4). Təpə absis oxundan 4 vahid aşağıdadır. — $y=x^2-6x+5$

Parabola absis oxunu $2$ və $8$ nöqtələrində kəsir və $(0;\,8)$ nöqtəsindən keçir. Təpənin ordinatını tap.

Həllə bax

$y=a(x-2)(x-8)$ və $8=a\times16$ olduğundan $a=0{,}5$ . $x_0=\dfrac{2+8}{2}=5$ , $y_0=0{,}5\times3\times(-3)=-4{,}5$ .

$y=\dfrac{k}{x}$ qrafiki $(2;\,-3)$ nöqtəsindən keçirsə, $k$ -nı tap.

Həllə bax

$k=2\times(-3)=-6<0$ , qrafik II və IV rübdədir.

y = −6/x hiperbolasının qolları II və IV rüblərdədir. Qrafik (2; −3) nöqtəsindən keçir. — $y=-6/x$

Tipik səhv

$y=x^2-6x+5$ üçün $x_0=\dfrac{b}{2a}=-3$ ; hündürlük $y_0=-4$ , sahə $\dfrac{4\times(-4)}{2}=-8$ .

$x_0=-\dfrac{b}{2a}=3$ ; hündürlük $|y_0|=4$ , sahə $\dfrac{4\times4}{2}=8$ .

Təpənin absisini yazanda düsturdakı mənfi işarə unudulur: düzgün düstur $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ -dır.

İkinci səhv sahədə olur: təpənin ordinatı mənfidir, amma hündürlük uzunluqdur və mənfi ola bilməz, ona görə $|y_0|=4$ götürülür.

Özünü yoxla

$y=3x^2-18x+4$ parabolasının simmetriya oxunu seç.

$y=-\dfrac{15}{x}$ hiperbolasının qolları hansı rüblərdə yerləşir?

Yalnız $x\geq0$ üçün təyin olunan funksiyanı seç.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kvadratik funksiya və onun qrafiki», səh. 51
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «y = ax² + bx + c funksiyasının qrafikinin qurulması», səh. 62
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «y = |x| funksiyası və onun qrafiki», səh. 70
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «y = x³ funksiyası və onun qrafiki», səh. 74
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 1.4 «y = √x funksiyası və onun qrafiki», səh. 22
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 6.3 «y = k/x funksiyası və onun qrafiki», səh. 46