Riyaziyyat, Çevrə və dairə

Çevrədə vətərlər: kəsişən vətərlər, kəsənlər və toxunan

Verilənlərə əsasən vətərlərin, kəsən və toxunan parçalarının naməlum uzunluqlarını tapmağı və mərkəzi bucağı vətərlərə görə hesablamağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəq

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə sınmış ağ dairəvi boşqabın əyri kənarlı böyük bir qırığı.

Dairəvi boşqab sınıb, əlində kənarından yalnız bir qırıq qalıb. Bütöv boşqabın ölçüsü nə qədər idi? Qırığın kənarı çevrənin bir qövsüdür, başqa heç nə yoxdur.

Qövsün iki ucunu düz xətlə birləşdir: bu parça vətərdir. Sonra vətərin ortasından qövsə qədər düz bucaq altında hündürlüyü ölç. Bu iki ədəd radiusu tapmağa bəs edir. Səbəb odur ki, iki vətər kəsişəndə onların parçaları arasında dəqiq bir hasil bərabərliyi var.

Yəni bir qırıqdan bütöv boşqabı hesablamaq sehr deyil, bu mövzunun bir qaydasıdır. Aşağıda özün də yoxlaya bilərsən.

Niyə lazımdır

Vətər həndəsədə hər yerdə çıxır: çevrəyə daxil olan üçbucaqda, trapesiyada, toxunan məsələlərində. Diametr olmayan vətərin uclarını mərkəzlə birləşdirəndə bərabəryanlı üçbucaq alırsan və çevrə məsələsi adi üçbucaq məsələsinə çevrilir.

İmtahanda bu qaydalarla hesab çox vaxt bir-iki sətir çəkir: düzgün parçaları cütləşdirsən, cavab bir bölmə ilə gəlir. Səhv cüt də hansısa ədəd verir, ona görə səhvini cavabdan görə bilməzsən. Ən çox vaxt aparan yer məhz cütü seçməkdir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda vətərlərin bərabərliyinə görə mərkəzi bucağı müəyyənləşdirmək, vətərin uzunluğunu radiusla müqayisə edib yaranan üçbucağın bucağını hesablamaq tələb oluna bilər. Belə tapşırıqda vətərin uclarını mərkəzlə birləşdirərək bərabər radiuslardan istifadə et. Mövzunun hesablama qaydaları isə vətər və kəsən parçalarının naməlum uzunluqlarını tapmağa kömək edir.

Qayda

Vətər çevrə üzərindəki iki nöqtəni birləşdirən parçadır. Mərkəzdən keçən vətər diametrdir; diametr çevrənin ən uzun vətəridir. Kəsən isə çevrə ilə iki ortaq nöqtəsi olan düz xətdir.
Radiuslar bərabər olduğundan $AOB$ üçbucağında $OA=OB$ və oturacaq bucaqları bərabərdir. $AB$ də radius uzunluğundadırsa, üçbucaq bərabərtərəflidir və hər bucağı $60^\circ$ olur.
Perpendikulyar diametr vətəri iki bərabər hissəyə bölür, həmçinin onun ayırdığı hər iki qövsü yarılayır. Diametr olmayan vətərin ortasından keçən diametr həmin vətərlə düz bucaq əmələ gətirir.
Bərabər vətərlər eyni çevrədə mərkəzdən bərabər uzaqlıqdadır; uyğun kiçik qövsləri və mərkəzi bucaqları da bərabərdir. Mərkəzdən vətərə məsafə perpendikulyarla ölçülür. Bu məsafələri bərabər olan vətərlərin uzunluqları da bərabərdir.
Eyni çevrədə iki müxtəlif uzunluqlu vətərdən mərkəzə daha yaxın olanı daha uzundur.
Kəsişən vətərlər üçün: $AB$ və $CD$ çevrənin daxilində $K$ nöqtəsində kəsişirsə, $KA\times KB=KC\times KD$ . Hər hasildə eyni vətərin iki hissəsi iştirak edir.
İki kəsən üçün: xaricdəki $P$ nöqtəsindən çıxan şüalarda nöqtələr $P,A,B$ və $P,C,D$ ardıcıllığındadırsa, $PA\times PB=PC\times PD$ . Burada $A,B,C,D$ çevrədədir; $PA,PC$ xarici hissələr, $PB,PD$ bütöv kəsən parçalardır.
Toxunan və kəsən üçün: əvvəlki yerləşmədə $PT$ toxunan parçası, $T$ toxunma nöqtəsidirsə, $PT^2=PA\times PB$ .

Özün hesabla

Hər sualda ədədi yaz və yoxla. Əvvəlcə hansı parçaların cütləşdiyini düşün.

Nümunələr

Mərkəzi

O

olan çevrədə

AB=AC

\angle ABO=54^\circ

verilib.

\angle AOC

neçə dərəcədir?

OA=OB

olduğundan

\angle BAO=54^\circ

. Buna görə

\angle AOB=180^\circ-2\times54^\circ=72^\circ

. Bərabər vətərlərə uyğun mərkəzi bucaqlar bərabərdir:

\angle AOC=72^\circ

Çevrə daxilində $K$ nöqtəsində kəsişən $AB$ və $CD$ vətərlərində $KA=4$ , $KB=9$ , $KC=6$ sm-dir. $CD$ uzunluğunu tap. $4\times9=6\times KD$ bərabərliyindən $KD=6$ sm alınır. Bütöv vətər $CD=6+6=12$ sm-dir.

Xaricdəki $P$ nöqtəsindən çəkilən kəsənlərdə sıra $P,A,B$ və $P,C,D$ kimidir; $A,B,C,D$ çevrədədir. $PA=3$ , $AB=9$ , $PC=2$ sm olarsa, $CD$ neçədir? Əvvəl $PB=3+9=12$ sm hesabla. Sonra $3\times12=2\times PD$ bərabərliyindən $PD=18$ sm, buradan $CD=18-2=16$ sm alınır.

Tipik səhv

$PA=3$ , $AB=9$ , $PC=2$ : $3\times9=2\times CD$ , deməli $CD=13,5$ sm.

$PB=3+9=12$ sm, $3\times12=2\times PD$ , $PD=18$ sm, $CD=18-2=16$ sm.

Kəsənlərdə xarici hissəni yalnız çevrənin daxilində qalan hissəyə vurma: xarici hissə bütöv kəsən parçasına vurulur, ona görə əvvəl xarici və daxili uzunluqları topla.

Vətərlərin kəsişməsində isə kəsişmə nöqtəsindən eyni vətərin uclarına gedən parçaları cütləşdir: $KA\times KB=KC\times KD$ .

Özünü yoxla

Eyni çevrədə mərkəzdən $AB$ vətərinə məsafə $4$ sm, $CD$ vətərinə məsafə $7$ sm-dir. Vətərlərin uzunluqlarını müqayisə et.

$AB$ və $CD$ vətərləri çevrənin daxilində $K$ nöqtəsində kəsişir. $AB=14$ sm, $KA=4$ sm və $KC=5$ sm olarsa, $KD$ neçə santimetrdir?

Çevrənin xaricindəki $P$ nöqtəsindən $PT$ toxunanı və çevrəni $A$ , $B$ nöqtələrində kəsən şüa çəkilib; nöqtələrin sırası $P,A,B$ kimidir. $T$ toxunma nöqtəsi, $PT=10$ sm və $PA=5$ sm olarsa, $AB$ neçə santimetrdir?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Vətərin xassələri», səh. 31
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrədə vətər və kəsənlərin parçalarının mütənasibliyi», səh. 46
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 2.5 «Çevrədə metrik münasibətlər», səh. 57