Riyaziyyat, Ölçmə. Statistikanın elementləri. Çoxluqlar. Birləşmələr nəzəriyyəsinin və ehtimal nəzəriyyəsinin elementləri

Ehtimal nəzəriyyəsi: birləşmələrlə ehtimalın hesablanması

Bu səhifədən sonra qutudan, torbadan və ya siyahıdan təsadüfi seçimin ehtimalını kombinezonla, halları tək-tək yazmadan hesablaya biləcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: boş sinif otağı, müəllim masasının üstündə qatlanmış kağız parçaları ilə dolu şüşə qab, yanında əski və suvarma qabı.

Tutaq ki, sinifdə 30 şagird var və növbətçilik üçün təsadüfən iki nəfər seçilir. Sənin bu cütə düşmə şansın nə qədərdir? Bütün cütləri bir-bir yazmağa başlasan, tez yorulacaqsan: belə cütlər düz 435 dənədir.

Birləşmələr bu sayı bir sətirdə verir: ${}_{30}C_{2}=\dfrac{30\times29}{2}=435$ . Sənin olduğun cütlər isə 29 dənədir, çünki yanına qalan 29 nəfərdən biri düşə bilər. Deməli, şansın $\dfrac{29}{435}=\dfrac{1}{15}$ -dir.

Mövzunun bütün mahiyyəti budur: halları əllə saymırsan, hesablayırsan. Sonra iki ədədi bir-birinə bölürsən, vəssalam.

Niyə lazımdır

Kart oyunlarında, lotereyada, püşkatmada qərarlar ehtimala söykənir. Lotereyada udmaq şansının nə qədər kiçik olduğunu da eyni hesabla görə bilərsən. Seçimdə sıra önəmli olmayanda və çıxarılan geri qoyulmayanda kombinezon halları saymağın rahat yoludur.

İmtahanda bu tapşırıqlar bir neçə addımdan ibarətdir: bütün halları say, əlverişli halları say, böl. Addımlardan biri səhv olsa, cavab da səhv çıxır. Ona görə ən vacibi hər iki sayı eyni üsulla tapmaqdır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlarda qutudan, torbadan və ya sinif siyahısından bir neçə obyekt təsadüfən seçilir, müəyyən tərkibin alınması ehtimalı soruşulur. Obyektlərin sayı çox vaxt mətndə, bəzən isə sütunlu və ya dairəvi diaqramda verilir. Tipik suallar: seçilənlərin hamısının eyni növdən olması, birinin bir növdən, digərinin başqa növdən olması, "ən azı biri" şərti.

Qayda

Bütün nəticələr eyni imkanlıdırsa, $P(A)=\dfrac{\text{əlverişli halların sayı}}{\text{mümkün halların sayı}}$ .
Təkrarsız seçimdə sıra əhəmiyyətsizdirsə, hər iki sayı kombinezonla tap: $N$ obyektdən $k$ obyektin seçilməsinin mümkün halları ${}_{N}C_{k}$ olur. Müxtəlif qruplardan seçmə vurma qaydası ilə hesablanır: məsələn, ${}_{a}C_{1}\times {}_{b}C_{1}$ .
Əks (tamamlayıcı) hadisə üçün $P(\overline{A})=1-P(A)$ . "Ən azı biri" hadisəsinin ehtimalını "heç biri olmasın" hadisəsinin ehtimalını tapıb $1$ -dən çıxmaqla hesablamaq əlverişlidir.
Obyektlər geri qaytarılmadan ardıcıl çıxarılırsa, ikinci çıxarışda ümumi say bir vahid azalır. $P(A)>0$ olduqda $P(A\text{ və }B)=P(A)\times P(B/A)$ . Burada $P(B/A)$ — $A$ hadisəsi baş verdikdə $B$ hadisəsinin ehtimalıdır.

Tapşırıqlarda işlənən formullar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}P=\frac{m}{N}\\[6pt] C_n^k=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\end{gathered}

$m$ əlverişli halların, $N$ isə mümkün halların sayıdır; hər ikisi $n$ elementdən $k$ element seçmə sayı ilə tapılır. Burada $A\setminus B$ çoxluğunun 5 elementindən 2-si, $A$ -nın 9 elementindən 2-si seçilir.

Öyrənilməli düstur

P=\frac{{}_{m}C_{1}\times {}_{k}C_{1}}{{}_{N}C_{2}}

$N$ zərfdən 2-si seçilir; $m$ və $k$ lazım olan iki növ kuponun sayıdır, hər növdən bir zərf götürülür. Kuponların sayı əvvəlcə tənliklə tapılır.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}P=\frac{C_a^1\times C_b^1}{C_N^2}\\[6pt] C_N^k=\frac{N!}{k!\,(N-k)!}\end{gathered}

$a$ və $b$ seçilən iki qrupdakı şagirdlərin sayı, $N$ isə sinifdəki bütün şagirdlərin sayıdır. Burada $a=15$ , $b=2$ , $N=30$ götürülür.

Öyrənilməli düstur

P=\frac{C_m^1\times C_k^1}{C_n^2}

$n$ bütün şagirdlərin sayı, $m$ və $k$ isə lazım olan iki qrupun sayıdır; seçmə sırasız olduğu üçün birləşmə götürülür. Tapşırıqda qrupların sayını diaqramdan oxuyub əlverişli halları hasil kimi tapırsan.

Öyrənilməli düstur

P(A)=1-P(\overline{A}),\qquad P=\frac{{}_mC_k}{{}_nC_k}

${}_nC_k$ ədədi $n$ elementdən $k$ elementin seçilmə sayıdır. "Ən azı bir qız" hadisəsinin əksi "hamısı oğlan" olduğundan onun ehtimalını $1$ -dən çıx.

Öyrənilməli düstur

P=\frac{m}{n},\quad {}_nC_k=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Ehtimal əlverişli halların $m$ sayının bütün halların $n$ sayına nisbətidir, $n$ elementdən $k$ elementi isə ${}_nC_k$ üsulla seçmək olar. Burada dillər üzrə $4$ , $3$ və $2$ kitab var, eyni dildən iki kitab seçilir.

Öyrənilməli düstur

P=\frac{m}{n},\quad C_N^k=\frac{N!}{k!\,(N-k)!}

$n$ bütün mümkün, $m$ əlverişli halların sayıdır, hallar birləşmələrlə tapılır. Burada iki ad artıq seçilib, qalan yeri qalan kağızların biri tutur.

Öyrənilməli düstur

P=\frac{m}{n},\qquad C_N^k=\frac{N!}{k!\,(N-k)!}

$n$ bütün halların, $m$ isə əlverişli halların sayıdır, $C_N^k$ isə $N$ elementdən $k$ elementin seçilmə üsullarının sayını verir. Burada $n=C_{12}^2$ , $m$ isə iki halın cəmidir.

Qutudan iki kürə çıxar

Qutuda $a$ ağ və $b$ qara kürə var, təsadüfən 2 kürə çıxarılır. Sürgüləri tərpət və ehtimalların necə dəyişdiyinə bax.

Nümunələr

Qutuda 7 ağ, 5 qara kürə var. Təsadüfən 3 kürə geri qaytarılmadan çıxarılır. Hamısının ağ olması ehtimalı nədir?

Həllə bax

Mümkün halların sayı

{}_{12}C_{3}=220

, əlverişli halların sayı

{}_{7}C_{3}=35

P=\dfrac{35}{220}=\dfrac{7}{44}

Qutuda 6 qırmızı və 5 yaşıl qələm var. Təsadüfən 3 qələm götürülür. Ən azı birinin yaşıl olması ehtimalı nədir?

Həllə bax

Əks hadisə: üçü də qırmızı. $P=\dfrac{{}_{6}C_{3}}{{}_{11}C_{3}}=\dfrac{20}{165}=\dfrac{4}{33}$ . Axtarılan ehtimal $1-\dfrac{4}{33}=\dfrac{29}{33}$ .

Əks hadisə ilə hesablama
Hadisə	Ehtimal
Üçü də qırmızı	$\frac{20}{165}=\frac4{33}$
Ən azı biri yaşıl	$1-\frac4{33}=\frac{29}{33}$

Rəfdə Azərbaycan dilində 8, ingilis dilində 3 kitab var. İki kitab təsadüfən götürülür. Birinin Azərbaycan, digərinin ingilis dilində olması ehtimalı nədir?

Həllə bax

Əlverişli halların sayı ${}_{8}C_{1}\times {}_{3}C_{1}=24$ , mümkün halların sayı ${}_{11}C_{2}=55$ . $P=\dfrac{24}{55}$ .

Torbada 4 qırmızı və 3 göy kürə var. Təsadüfən 2 kürə çıxarılır. İki kürənin eyni rəngdə olması ehtimalı nədir?

Həllə bax

Mümkün halların sayı: ${}_{7}C_{2}=21$ .
Hər ikisi qırmızı: ${}_{4}C_{2}=6$ hal. Hər ikisi göy: ${}_{3}C_{2}=3$ hal.
Bu iki hal eyni anda baş verə bilməz, ona görə onları toplayırsan: $6+3=9$ əlverişli hal.
$P=\dfrac{9}{21}=\dfrac{3}{7}$ .

$\dfrac{3}{7}$

Tipik səhv

Üçüncü nümunədə: $P=\dfrac{24}{{}_{11}P_{2}}=\dfrac{24}{110}$

$P=\dfrac{{}_{8}C_{1}\times{}_{3}C_{1}}{{}_{11}C_{2}}=\dfrac{24}{55}$ və ya sıra ilə $P=\dfrac{24\times2}{110}=\dfrac{24}{55}$

Surətdə sıranı nəzərə almayan kombinezon ( ${}_{n}C_{k}$ ), məxrəcdə isə sıranı nəzərə alan ${}_{n}P_{k}$ sayını işlətmək səhvdir: $\dfrac{24}{110}$ yazanda sıranı surətdə nəzərə almırsan, məxrəcdə isə alırsan.

Hər iki sayı eyni üsulla tap: ya kombinezonla, ya sıra ilə. Hər iki halda ehtimal $\dfrac{24}{55}$ olur.

Özünü yoxla

Üzərində $1$ -dən $6$ -ya qədər ədədlər yazılmış altı kartın hər birində bir ədəd var. Təsadüfən üç kartı geri qaytarmadan seçirsən. Üçündə də cüt ədəd olması ehtimalı nədir?

Qutuda beş ulduzşəkilli və dörd dairəvi nişan var. Təsadüfən iki nişanı geri qaytarmadan seçirsən. Birinin ulduzşəkilli, digərinin dairəvi olması ehtimalı nədir?

Səkkiz biletin ikisi işarələnib. Təsadüfən üç bileti geri qaytarmadan seçirsən. Ən azı bir işarəli bilet seçməyin ehtimalı nədir?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ehtimalın hesablanmasına aid məsələ həlli», səh. 235