Riyaziyyat, Üstlü və loqarifmik funksiyalar

Üstlü və loqarifmik ifadələrin çevrilməsi: loqarifm necə sadələşir

Bu səhifədən sonra qüvvət və loqarifm qarışıq yazılmış ifadəni bir neçə sətirdə sadələşdirib qiymətini tapa biləcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Kalkulyator hələ yox idi, amma dənizçilər, mühəndislər və astronomlar böyük ədədləri hər gün vururdular. Bunu qalın loqarifm cədvəlləri ilə edirdilər. Ədədlərin loqarifmini cədvəldən tapır, onları toplayır, sonra bu cəmə uyğun ədədi yenə cədvəldə axtarırdılar. Çətin vurma beləcə asan toplamaya çevrilirdi.

Loqarifmik xətkeş də eyni fikirlə işləyirdi: bir şkalanı o birinin üstündə sürüşdürürsən, iki uzunluq toplanır, hasili isə şkaladan oxuyursan. Bütün bu üsulların arxasında bu səhifədəki xassələr dayanır.

Bu gün kalkulyator telefonundadır, amma imtahanda onu işlətmək olmur. Burada xassələr sənə kömək edir: məsələn, $\log_2 40-\log_2 5$ ilk baxışdan çətin görünür, amma əslində $\log_2 8$ -dir, yəni $3$ .

Niyə lazımdır

Loqarifmik tənlik və bərabərsizliklərin demək olar hamısı burada öyrəndiyin çevrilmələrlə başlayır. Əvvəlcə ifadəni bir əsasa, bir loqarifmə gətirirsən, qalan həll isə asanlaşır. Bu addımları tanımasan, sonrakı mövzular sənə olduğundan çətin görünəcək.

İmtahanda bu tapşırıqlar uzun hesab tələb etmir: lazım olan xassəni görsən, cavab iki-üç sətirdə çıxır, görməsən, vaxt itirirsən. Ona görə məqsəd xassələri sadəcə əzbərləmək deyil. İfadəyə baxan kimi hansı xassənin işə yarayacağını tanımalısan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzunun tapşırıqlarında adətən qüvvət və loqarifm qarışıq yazılmış ifadənin qiymətini tapmaq lazım gəlir: üstündə loqarifm duran qüvvət, loqarifmlərin cəmi, fərqi, hasili və nisbəti, əsası və ya arqumenti kök olan loqarifm, bir-birinin içinə yazılmış loqarifmlər. Bəzi suallarda bir loqarifm hərflə verilir və başqa loqarifmi həmin hərflə ifadə etmək, iki-üç loqarifmi müqayisə etmək və ya verilmiş bərabərliklərdən hansının doğru olduğunu seçmək tələb olunur. Üstlü ifadələrdə isə müxtəlif əsaslı qüvvətləri bir əsasa gətirmək, məlum $3^{x}$ kimi qüvvət vasitəsilə başqa qüvvəti hesablamaq soruşulur. Kodlaşdırılan cavablı tapşırıqlarda nəticə tam ədəd və ya sonlu onluq kəsr çıxır.

Qayda

Aşağıda $a>0$ , $a\ne1$ , $c>0$ , $c\ne1$ , $x>0$ , $y>0$ hesab olunur:

istənilən həqiqi $m$ və $n$ üçün $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ , $a^{m}:a^{n}=a^{m-n}$ , $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$ ;
əsas loqarifmik eynilik: $a^{\log_a x}=x$ ;
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ , $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ , $\log_a x^{p}=p\log_a x$ ;
əsas qüvvət olduqda: $\log_{a^{k}}x=\frac{1}{k}\log_a x$ ( $k\ne0$ );
yeni əsasa keçid: $\log_a x=\frac{\log_c x}{\log_c a}$ ; buradan $\log_a x\times\log_x a=1$ ( $x\ne1$ ) və $\log_a x\times\log_x y=\log_a y$ .

Ədədin özünü də loqarifm kimi yazmaq olar: $p=\log_a a^{p}$ , məsələn, $3=\log_2 8$ , $1=\lg 10$ .

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}m^2-n^2=(m-n)(m+n)\\[6pt]\log_a a^k=k\end{gathered}

Surətdəki fərq düsturla hasil olur və $24$ ilə ixtisar edilir. Qalan $\log_2 4$ ifadəsində $4=2^2$ olduğundan nəticə qüvvət üstünə bərabərdir ( $a>0$ , $a\ne1$ ).

Özünü yoxla

Hər ifadənin qiymətini kalkulyatorsuz tap və yaz. Cavabdan sonra həll addımları açılacaq.

Nümunələr

25^{\log_5 3+0{,}5}

ifadəsinin qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: üstlərin cəmini hasilə çeviririk: $25^{\log_5 3}\times25^{0{,}5}=\left(5^{\log_5 3}\right)^{2}\times5=9\times5=45$ .

$\lg 2=m$ və $\lg 3=n$ olarsa, $\log_5 6$ -nı $m$ və $n$ ilə ifadə et.

Həllə bax

Həlli: onluq loqarifmə keçirik. $\lg 6=\lg(2\times3)=m+n$ , $\lg 5=\lg\frac{10}{2}=1-m$ , deməli $\log_5 6=\frac{m+n}{1-m}$ .

Onluq loqarifmə keçid
İfadə	Məlum hərflərlə
$\lg 6$	$m+n$
$\lg 5$	$1-m$
$\log_5 6$	$\frac{m+n}{1-m}$

$\frac{\lg 8+\lg 18}{2\lg 2+\lg 3}$ kəsrini hesabla.

Həllə bax

Həlli: surət $\lg 144=2\lg 12$ , məxrəc $\lg 12$ -dir, cavab $2$ .

Tipik səhv

$\log_2(4+4)=\log_2 4+\log_2 4=2+2=4$

$\log_2(4+4)=\log_2 8=3$ . Cəm hasil kimi açılmır; $\log_2(4\times4)=\log_2 4+\log_2 4=4$ isə doğrudur.

Ən çox rast gəlinən səhv loqarifmi adi mötərizə kimi açmaqdır: ümumi halda $\log_a(x+y)$ ədədi $\log_a x+\log_a y$ -ə bərabər deyil, $\frac{\log_a x}{\log_a y}$ nisbəti də $\log_a\frac{x}{y}$ -ə bərabər deyil, $\left(\log_a x\right)^{p}$ ilə $p\log_a x$ da fərqli ədədlərdir.

Başqa tələlər də var. Birincisi, əsasdakı qüvvəti vuruq kimi çıxarmaq: $\log_{8}5=\frac{1}{3}\log_2 5$ , $3\log_2 5$ yox. İkincisi, əsasları müxtəlif olan loqarifmləri yalnız arqumentlərinə görə müqayisə etmək: əvvəlcə onları bir əsasa gətir. Üçüncüsü, mənfi üst: əsas kəsr olduqda ( $\frac{1}{a}=a^{-1}$ ) cavabın işarəsi dəyişir, yəni $\log_{\frac{1}{a}}x=-\log_a x$ . Hər çevrilmədən sonra nəticəni kalkulyatorsuz, yuxarıdakı kimi sadə bir xüsusi qiymətlə yoxlasan, bu səhvlərin çoxunu tutarsan.

Qısa test

$9^{\log_3 4}$ ifadəsinin qiymətini tap.

$2\log_3 6-\log_3 4$ ifadəsini hesabla.

$\frac{\log_2 81}{\log_2 3}$ nisbətinin qiymətini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Həqiqi üstlü qüvvət», səh. 245
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Loqarifmin xassələri», səh. 262