Riyaziyyat, Üstlü və loqarifmik funksiyalar

Loqarifmik funksiya: təyin oblastı, monotonluq və qrafik

Loqarifmik funksiyanın təyin oblastını tapmağı, əsasa baxıb artan ya azalan olduğunu deməyi və qrafikini tanımağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masada limon şirəsi olan stəkan, limon dilimləri və yanında rəngli turşuluq indikator kağızı zolaqları.

$\lg 10=1$ , $\lg 100=2$ . Bəs $\lg$ dəyəri $6$ olsun deyə arqument nə qədər olmalıdır? Bir milyon. Arqument 100-dən 1000000-a, yəni 10000 dəfə böyüdü, qiymət isə 2-dən 6-ya çatdı.

Belə tənbəl funksiyanın yenə də heç bir “tavanı” yoxdur: istədiyin ədədi götür, kifayət qədər böyük $x$ -də $\lg x$ onu keçəcək. Sol tərəfdə isə qrafik ordinat oxuna nə qədər yaxınlaşsa da, ona heç vaxt toxunmur.

Bu funksiya kimya dərsindən də tanışdır: pH turşuluğu onluq loqarifmlə ölçür. pH bir vahid dəyişəndə hidrogen ionlarının qatılığı on dəfə dəyişir. Böyük fərqləri kiçik ədədlərlə yazmaq loqarifmin əsas hünəridir.

Niyə lazımdır

Loqarifmik funksiyanın xassələri loqarifmik bərabərsizliklərin və tənliklərin özülüdür. Əsas $1$ -dən kiçik olanda bərabərsizlik işarəsinin niyə çevrildiyini məhz monotonluq izah edir. Təyin oblastını yazmağı unutsan, tənlikdə yad kök cavaba girib qalır.

İmtahanda bu mövzu tez-tez başqa tapşırığın içində gizlənir: kök, kəsr və loqarifm bir yerdədirsə, hər birinin şərtini ayrıca yazmaq lazımdır. Qrafiki gözünün önünə gətirə bilən şagird bəzi uyğun olmayan variantları hesablamadan çıxara bilər.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Ən çox rast gəlinən tapşırıq loqarifmik funksiyanın təyin oblastını tapmaqdır: loqarifm altında xətti ifadə, kəsr və ya kvadrat üçhədli olur, bəzən yanında kök və ya məxrəc də olur, cavab isə interval, yaxud oblastdakı tam ədədlərin cəmi kimi soruşulur. Bundan başqa imtahan funksiyanı qrafikinə görə tanımağı, əsasa baxıb funksiyanın artan və ya azalan olduğunu deməyi, qiymətlər çoxluğunu tapmağı, tərs funksiyanı yazmağı, qrafikin verilmiş nöqtədən keçməsinə görə naməlum əmsalı hesablamağı və parametrin uyğun qiymətlərini seçməyi tələb edir. Uyğunluq tapşırıqlarında bir neçə funksiya təyin oblastı, qiymətlər çoxluğu və cütlük-təkliklə tutuşdurulur.

Qayda

$y=\log_a x$ ( $a>0$ , $a\ne1$ ) funksiyası $y=a^x$ funksiyasının tərsidir, ona görə bu iki qrafik $y=x$ düz xəttinə nəzərən simmetrikdir.

Təyin oblastı: $x>0$ . $y=\log_a f(x)$ üçün $f(x)>0$ ; əsasda $x$ varsa, əsas həm müsbət, həm də $1$ -dən fərqli olmalıdır.
Qiymətlər çoxluğu: $(-\infty;+\infty)$ .
$a>1$ olduqda funksiya artan, $0<a<1$ olduqda azalandır.
Qrafik həmişə $(1;0)$ nöqtəsindən keçir, ordinat oxu ( $x=0$ ) onun şaquli asimptotudur.
$a>1$ üçün $0<x<1$ olduqda $\log_a x<0$ , $x>1$ olduqda $\log_a x>0$ ; $0<a<1$ üçün işarələr əksinədir.
$y=\log_a(x-m)+n$ qrafiki $y=\log_a x$ qrafikinin $m$ vahid sağa, $n$ vahid yuxarı sürüşdürülməsidir; asimptotu $x=m$ olur.

Özünü yoxla

Hər sualda bir variant düzdür. Əvvəl əsasa və arqumentə bax, sonra seç.

Nümunələr

y=\log_{\frac{1}{3}}(2x+3)

funksiyasının

[0;12]

parçasında ən kiçik qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: əsas $1$ -dən kiçikdir, funksiya azalandır, deməli ən kiçik qiymət parçanın sağ ucunda alınır: $\log_{\frac{1}{3}}27=-3$ .

$y=\log_2(x^2-9)$ funksiyasının təyin oblastını tap.

Həllə bax

Həlli: $x^2-9>0$ , yəni $(x-3)(x+3)>0$ . Cavab: $(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$ .

y = log₂(x² − 9) üçün təyin oblastı: x −3-dən kiçik və ya 3-dən böyükdür. −3 və 3 boş dairələrlə çıxarılıb. — $(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$ : boş dairələr sərhədlərin daxil olmadığını göstərir.

$\log_{0{,}7}5$ ədədinin işarəsini müəyyən et.

Həllə bax

Həlli: əsas $1$ -dən kiçik, arqument isə $1$ -dən böyükdür, ona görə ədəd mənfidir. Doğrudan da, $0{,}7$ -nin müsbət üstlü qüvvətləri $1$ -dən kiçikdir, $5$ ədədini yalnız mənfi üstlə almaq olar.

y=\log_a x

funksiyasının qrafiki

(9;2)

nöqtəsindən keçir.

a

-nı tap və funksiyanın artan, yoxsa azalan olduğunu de.

Həllə bax

Nöqtənin koordinatlarını yerinə yaz: $\log_a 9=2$ .
Loqarifmin tərifinə görə $a^2=9$ .
Buradan $a=3$ və ya $a=-3$ alınır, amma əsas müsbət olmalıdır, ona görə $a=-3$ uyğun deyil.
$a=3>1$ olduğundan funksiya artandır.

$a=3$ , funksiya artandır.

Tipik səhv

$y=\log_{0{,}3}x$ funksiyası $[1;10]$ parçasında ən böyük qiymətini $x=10$ nöqtəsində alır.

Əsas $0{,}3<1$ olduğundan funksiya azalandır: ən böyük qiymət parçanın sol ucunda, $x=1$ -də alınır və $\log_{0{,}3}1=0$ -dır.

Ən çox yayılmış səhv əsasa baxmadan funksiyanı artan saymaqdır: əsas $\frac{2}{5}$ , $0{,}3$ və ya $\sqrt{2}-1$ kimi $1$ -dən kiçik ədəddirsə, böyük arqumentə kiçik qiymət uyğun gəlir, ona görə qiymətlər çoxluğunu, parçada ən böyük və ən kiçik qiyməti taparkən bunu nəzərə al.

Təyin oblastında da yalnız loqarifm altındakı ifadənin müsbətliyini yazmaq azdır: məxrəcdəki loqarifmin sıfırdan fərqli olmasını, kökaltı ifadənin mənfi olmamasını və əsasın şərtlərini unutma; qrafikin absis oxu ilə kəsişməsini taparkən isə arqumenti sıfıra yox, $1$ -ə bərabər et, çünki loqarifm arqument $1$ olduqda sıfıra bərabərdir.

Özünü sına

$y=\log_{x+2}5$ funksiyasının təyin oblastını tap.

$\log_{\frac{2}{3}}4$ və $\log_{\frac{2}{3}}7$ ədədlərini müqayisə et.

$y=\log_5(x-2)+3$ funksiyasının şaquli asimptotunu və qiymətlər çoxluğunu seç.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Loqarifmik funksiya», səh. 260