Riyaziyyat, Üstlü və loqarifmik funksiyalar

Üstlü funksiya: xassələri, qrafiki, artma və azalma

Əsasa baxıb funksiyanın artdığını ya azaldığını deyəcək, qrafikin harada kəsişdiyini və qiymətlər çoxluğunu tapacaq, üstlü ifadələri müqayisə edəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə bir neçə dəfə qatlanmış ağ vərəq və yanında düz vərəqlər.

Bir vərəqi ortadan qatla, iki qat olur. Bir də qatla, dörd qat olur, sonra səkkiz, on altı. Hər qatlamada eyni şey baş verir: qatların sayı ikiyə vurulur. On dəfə qatlaya bilsən, $2^{10}=1024$ qat alınar.

İndi tərsinə et: şokoladın yarısını ye, sonra qalanın yarısını, sonra yenə qalanın yarısını. Hər dəfə qalan hissə kiçilir, amma yarıya bölməklə heç vaxt sıfıra düşmür: $\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ həmişə müsbətdir.

Hər iki hal üstlü funksiya ilə təsvir olunur: birində $y=2^{x}$ , digərində $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ . Əsas birdən böyükdürsə funksiya sürətlə artır, birdən kiçikdirsə azalır, amma sıfıra toxunmur. Bu mövzu həmin müşahidəni dəqiq qaydalara çevirir.

Niyə lazımdır

Bankdakı əmanət hər il eyni nisbətdə artanda məbləğ üstlü funksiya kimi böyüyür. Radioaktiv maddənin miqdarı isə azalan üstlü funksiya ilə dəyişir. Belə proseslərdə bilmək lazımdır ki, kəmiyyət artır, yoxsa azalır və hansı həddə yaxınlaşır.

İmtahanda bu mövzu sonrakı mövzuların bünövrəsidir. Üstlü tənlik və bərabərsizlikləri həll edəndə bu artma-azalma qaydasından istifadə edirsən. Loqarifmik funksiya da üstlü funksiyanın tərsidir. Əsası vahidlə müqayisə etməyi burada öyrənsən, sonra çox səhvdən yayınarsan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Test toplularında üstlü funksiyaya aid tapşırıqlar çoxnövlüdür: verilmiş funksiyanın qrafikini seçmək, qrafikin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtəsini tapmaq, əsasa baxıb funksiyanın artan və ya azalan olduğunu demək, təyin oblastını və qiymətlər çoxluğunu yazmaq. Tez-tez qüvvətin üstündə kvadrat üçhədli, modul, kök və ya triqonometrik ifadə olur və funksiyanın ən böyük (ən kiçik) qiyməti soruşulur. Daha çətin tapşırıqlarda əsas parametrdən asılıdır, böyük qüvvətlər müqayisə olunur, üfüqi asimptot və ya bir neçə qrafikin yerləşməsinə görə əsaslar haqqında nəticə çıxarılır.

Qayda

$y=a^{x}$ funksiyası $a>0$ və $a\ne1$ olduqda üstlü funksiyadır.
$D(y)=(-\infty;\,+\infty)$ , $E(y)=(0;\,+\infty)$ ; qrafik $(0;\,1)$ nöqtəsindən keçir, absis oxunu kəsmir və absis oxu onun üfüqi asimptotudur.
$a>1$ olduqda funksiya artır: $a^{m}<a^{n}$ yalnız $m<n$ olduqda. $0<a<1$ olduqda funksiya azalır və bu bərabərsizlikdə işarə dəyişir.
$a^{-x}=\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$ ; $y=a^{x}$ və $y=a^{-x}$ qrafikləri ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir.
$y=k\times a^{x}+b$ qrafiki ordinat oxunu $(0;\,k+b)$ nöqtəsində kəsir, asimptotu $y=b$ düz xəttidir.
$y=a^{g(x)}$ funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətləri $g(x)$ -in uc qiymətlərindən alınır: $a>1$ olduqda eyni nöqtədə, $0<a<1$ olduqda isə əksinə.

Artır, yoxsa azalır?

Əvvəlcə əsası tap və vahidlə müqayisə et. Sonra cavabı seç.

Nümunələr

y=5^{x-2}+3

funksiyasının qiymətlər çoxluğunu və qrafikin ordinat oxunu kəsdiyi nöqtəni tap.

Həllə bax

Həlli: $5^{x-2}>0$ , deməli $y>3$ və $E(y)=(3;\,+\infty)$ . $x=0$ olduqda $y=\frac{1}{25}+3=3{,}04$ , nöqtə $(0;\,3{,}04)$ -dür.

y = 5^(x−2) + 3 qrafiki (mavi), y = 3 asimptotu (qırmızı). Ordinat oxu ilə kəsişmə (0; 3,04), qiymətlər çoxluğu (3; +∞). — $y=5^{x-2}+3$ : mavi qrafik, qırıq qırmızı xətt $y=3$ asimptotudur.

$0{,}7^{\sqrt{5}}$ və $0{,}7^{2{,}2}$ ədədlərini müqayisə et.

Həllə bax

Həlli: $\sqrt{5}\approx2{,}24>2{,}2$ , əsas isə vahiddən kiçikdir və funksiya azalır. Ona görə $0{,}7^{\sqrt{5}}<0{,}7^{2{,}2}$ .

$y=\left(\frac{1}{5}\right)^{\sin x}$ funksiyasının ən böyük qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: $-1\le\sin x\le1$ . Əsas vahiddən kiçik olduğundan ən böyük qiymət $\sin x=-1$ olduqda alınır: $\left(\frac{1}{5}\right)^{-1}=5$ .

Tipik səhv

$y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x^{2}-2x}$ : $x^{2}-2x\ge-1$ , deməli $y\ge\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3$ , ən kiçik qiymət $3$ -dür.

$t=x^{2}-2x$ işarə et. Əsas $\frac{1}{3}<1$ olduğu üçün $\left(\frac{1}{3}\right)^{t}$ ifadəsi $t$ -yə görə azalır: $t\ge-1$ olduğundan $y\le\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3$ . Ən böyük qiymət $3$ -dür, $E(y)=(0;\,3]$ .

Əsas vahiddən kiçikdirsə, $\left(\frac{1}{3}\right)^{g(x)}$ ifadəsinin ən böyük qiyməti $g(x)$ -in ən kiçik qiymətinə uyğundur. Əsas kəsr, kök və ya $\pi$ ilə yazılıbsa, əvvəlcə onu təqribi hesablayıb vahidlə müqayisə et: $\frac{\pi}{4}<1$ , amma $\frac{4}{\pi}>1$ . $a^{-x}$ şəklində yazılmış funksiyanın əsası isə $\frac{1}{a}$ -dır.

Sıfır qiymətlər çoxluğuna daxil deyil, çünki $a^{x}$ heç vaxt sıfıra bərabər olmur, ona görə sərhədi daxil etmə. Sürüşməni də unutma: $y=a^{x}+b$ qrafiki $(0;\,1)$ nöqtəsindən yox, $(0;\,1+b)$ nöqtəsindən keçir, asimptotu isə $y=b$ düz xəttidir.

Özünü yoxla

$f(x)=\left(\frac{3}{5}\right)^x$ verilib. Doğru müqayisəni seç.

$y=3\times2^x-4$ qrafikinin ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsini və üfüqi asimptotunu seç.

$y=\left(\frac{1}{4}\right)^{|x|}$ funksiyasının qiymətlər çoxluğunu tap.

Mövzunu sınaqda yoxla

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Üstlü funksiya», səh. 248