Riyaziyyat, Üstlü və loqarifmik funksiyalar

Loqarifm: ədədin loqarifmi və loqarifmin xassələri

Loqarifmin nə olduğunu başa düşəcək, xassələrlə uzun ifadələri bir-iki sətirdə hesablaya biləcəksən.

Oxumaq üçün təxminən 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə bir neçə dəfə ortadan qatlanmış ağ kağız vərəqi və yanında açıq vərəqlər.

Bir vərəq kağız götür və ortadan qatla: iki qat alınır. Yenə qatla: dörd qat. Hər qatlamada qatların sayı iki dəfə artır, yəni $n$ dəfə qatlasan, $2^n$ qat olur.

İndi sualı tərsinə ver: neçə dəfə qatlamaq lazımdır ki, $1024$ qat alınsın? Burada nəticə məlumdur, üst isə naməlumdur. Cavab $10$ -dur, çünki $2^{10}=1024$ . Bu suala riyaziyyatda qısa bir ad verilib: $\log_2 1024=10$ .

Loqarifm elə budur: hansı qüvvətə yüksəltmək lazımdır? Bunu bir dəfə tutsan, $\lg 1000=3$ kimi bərabərliklər öz-özünə aydın olur.

Niyə lazımdır

Loqarifmin xassələri vurmanı toplamaya, bölməni çıxmaya, qüvvəti isə vurmaya çevirir. Kalkulyatorsuz yazılmış imtahanda bu, böyük işdir: $\log_6 4+\log_6 9$ kimi qorxulu görünən ifadə bir sətirdə $\log_6 36=2$ olur.

Bu bölmənin sonrakı mövzuları da buna söykənir: loqarifmik funksiyanı öyrənəndə, loqarifmik tənlikləri və bərabərsizlikləri həll edəndə bu xassələrdən tez-tez istifadə edəcəksən. Onları indi möhkəm öyrənsən, sonra vaxtın düsturları xatırlamağa getməz.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Test toplularında bu mövzu əsasən hesablama ilə yoxlanılır: loqarifmlərin cəmini, fərqini, hasilini və ya nisbətini tapmaq, $a^{\log_a b}$ şəklində qüvvətləri sadələşdirmək, kök altındakı ifadənin loqarifmini hesablamaq. Bəzən verilmiş bərabərliklərdən doğru olanı (və ya doğru olmayanı) seçmək, loqarifmin yerləşdiyi iki ardıcıl tam ədədi göstərmək, bir loqarifmi məlum $a$ (və ya $a$ və $b$ ) hərfi ilə ifadə etmək lazım gəlir. Çətin tapşırıqlarda müxtəlif əsaslı loqarifmlər, iç-içə loqarifmlər və hərfi ifadələrin sadələşdirilməsi olur; açıq tapşırıqlarda cavab adətən tam ədəd və ya sonlu onluq kəsrdir.

Qayda

$a>0$ , $a\ne1$ , $b>0$ olduqda $\log_a b$ elə $c$ ədədidir ki, $a^c=b$ . Buradan:

$\log_a 1=0$ , $\log_a a=1$ , $a^{\log_a b}=b$ (əsas loqarifmik eynilik);
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ və $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ ( $x>0$ , $y>0$ );
$\log_a x^p=p\log_a x$ , ümumi halda $\log_{a^q}x^p=\frac{p}{q}\log_a x$ ;
yeni əsasa keçid: $\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$ , xüsusi halda $\log_a b\times\log_b a=1$ ;
$\lg$ onluq (əsası 10), $\ln$ isə natural (əsası $e$ ) loqarifmdir.

Loqarifmin xassələri
İfadə	Çevrilmə
$\log_a(xy)$	$\log_a x+\log_a y$
$\log_a\frac{x}{y}$	$\log_a x-\log_a y$
$\log_a x^p$	$p\log_a x$

Həllin ilk addımı çox vaxt ədədləri eyni əsasın qüvvəti kimi yazmaqdır, məsələn, $\sqrt[3]{25}=5^{\frac{2}{3}}$ və ya $0{,}001=10^{-3}$ .

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\log_a b=c\ \Leftrightarrow\ a^{c}=b \\[6pt] \log_a a=1,\quad a>0,\ a\ne1\end{gathered}

Loqarifm $b$ ədədini almaq üçün $a$ əsasının yüksəldilməli olduğu qüvvətdir. $\lg100=2$ , $\log_33=1$ , $\log_24=2$ kimi qiymətləri içəridən çölə doğru hesabla.

Öyrənilməli düstur

\log_{c^{q}} b^{p}=\frac{p}{q}\log_{c} b

Burada $b>0$ , $c>0$ , $c\ne 1$ . Loqarifmin əsasındakı və loqarifmlənən ədədin üstündəki qüvvət üstləri nisbət şəklində çıxır, beləcə hər iki loqarifm $\log_3 2$ ilə ifadə olunur və ixtisar edilir.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\lg a+\lg b=\lg(ab)\\[6pt] \lg\sqrt[n]{10^{m}}=\frac{m}{n}\end{gathered}

Kök işarəsi altındakı $10$ qüvvəti $\frac{m}{n}$ üstlü qüvvət kimi yazılır və loqarifm üstə bərabər olur. Eyni kökdən olan toplananlar qruplaşdırılır: $\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1$ və $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$ .

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\log_c x-\log_c y=\log_c\frac{x}{y}\\[6pt]\log_{\frac{1}{c}}x=-\log_c x\end{gathered}

Burada $c>0$ , $c\neq 1$ , $x>0$ , $y>0$ . Eyni əsaslı iki loqarifmin fərqi bölgünün loqarifmidir, əsasın tərsi isə loqarifmin işarəsini dəyişir.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}n\log_a b=\log_a b^n,\quad \log_a b+\log_a c=\log_a(bc)\\[6pt] a^{\log_a b}=b\end{gathered}

Eyni əsaslı loqarifmlər toplananda ədədlər vurulur, əmsal isə qüvvət üstünə keçir. Əsas loqarifmik eynilikdən istifadə etmək üçün $49$ -u $7^2$ kimi yaz və qüvvətin üstünü ayır.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\lg\frac{x}{y}=\lg x-\lg y\\[6pt] \lg x^n=n\lg x,\quad \lg 10=1\end{gathered}

Nisbətin loqarifmi loqarifmlərin fərqinə, qüvvətin loqarifmi isə üstlə loqarifmin hasilinə bərabərdir. Burada $7{,}2=\frac{2^3\times 3^2}{10}$ yazılır və $\lg 10=1$ nəzərə alınır.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\log_a x^n=n\log_a x,\quad \log_a x+\log_a y=\log_a (xy)\\[6pt] \log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}\end{gathered}

Hər şərtdə $a>0$ , $a\ne 1$ , $x>0$ , $y>0$ . Eyni əsaslı loqarifmləri tək loqarifmə yığ: əmsalı üstə ötür, cəmi hasilə, fərqi nisbətə çevir.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\log_{a^k}b^m=\frac{m}{k}\log_a b\\[6pt] \log_a b\times\log_b a=1\end{gathered}

Loqarifmin əsasındakı və loqarifmlənən ədədin üstündəki qüvvət loqarifmin qarşısına $\frac{m}{k}$ əmsalı kimi çıxır. Burada $9=3^2$ və $125=5^3$ yazılır, sonra qarşılıqlı loqarifmlərin hasili $1$ olur.

Xassələri özün sına

Hər ifadəni xassələrlə sadələşdir və cavabı yaz. Kalkulyator lazım deyil: hər birində cavab tam ədəd və ya sadə onluq kəsrdir.

Nümunələr

2\log_{14}7+\log_{14}4

ifadəsini hesabla.

Həllə bax

Həlli: $2\log_{14}7=\log_{14}49$ , onda cəm $\log_{14}(49\times4)=\log_{14}196=2$ olur, çünki $14^2=196$ .

$25^{\log_5 3-1}$ ifadəsinin qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: $25^{\log_5 3-1}=\frac{25^{\log_5 3}}{25}=\frac{\left(5^{\log_5 3}\right)^2}{25}=\frac{9}{25}=0{,}36$ .

$\log_3 2=a$ olarsa, $\log_6 12$ -ni $a$ ilə ifadə et.

Həllə bax

Həlli: 3 əsasına keçək: $\log_6 12=\frac{\log_3 12}{\log_3 6}=\frac{\log_3 3+\log_3 4}{\log_3 3+\log_3 2}=\frac{1+2a}{1+a}$ .

Tipik səhv

$\log_2(8+8)=\log_2 8+\log_2 8=3+3=6$

$\log_2(8+8)=\log_2 16=4$

Ən çox yayılmış səhv cəmin loqarifmini loqarifmlərin cəmi ilə qarışdırmaqdır. Xassələr yalnız hasil, nisbət və qüvvət üçündür; $\log_a(x+y)$ üçün belə qayda yoxdur, ona görə əvvəlcə mötərizənin içini hesabla.

Eyni ehtiyatla daha bir neçə yerə bax. $(\log_a x)^2$ ilə $\log_a x^2=2\log_a x$ eyni şey deyil. Əsasdakı qüvvət üstü loqarifmin önünə vuruq kimi deyil, məxrəcə keçir: $\log_{a^q}b=\frac{1}{q}\log_a b$ . $a^{\log_a b}=b$ eyniliyində əsaslar eyni olmalıdır: $4^{\log_2 5}$ -i hesablamaq üçün əvvəlcə $4=2^2$ yaz, onda $5$ yox, $25$ alınır. Əsası tapmaq tələb olunan tapşırıqlarda da diqqətli ol: əsas müsbət olmalı və $1$ -ə bərabər olmamalıdır, ona görə mənfi qiyməti və $1$ -i cavabdan çıxar.

Özünü yoxla

$\log_{\frac{1}{3}}27$ ifadəsinin qiymətini tap.

$\log_2 6+\log_2 12-\log_2 9$ ifadəsini hesabla.

$\log_{16}8$ ifadəsinin qiymətini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Ədədin loqarifmi», səh. 258
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Loqarifmin xassələri», səh. 262