Riyaziyyat, Üstlü və loqarifmik tənliklər. Üstlü və loqarifmik bərabərsizliklər

Üstlü tənliklər: məchul üstdə olanda nə etməli

Üstdə məchul olan tənliyi tanımağı, ona uyğun üsulu seçməyi və yad kökü atmağı öyrənəcəksən.

3 dəqiqəlik oxu

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə bir neçə dəfə qatlanmış ağ kağız vərəqi və yanında açıq vərəqlər.

Bir vərəqi ortadan qatla, sonra yenə qatla. Hər qatlamada təbəqələrin sayı iki dəfə artır: $2$ , $4$ , $8$ , $16$ … Neçə qatlamadan sonra $1024$ təbəqə olar? Sual belə yazılır: $2^x=1024$ .

Burada məchul adi yerdə deyil, üstdədir. Onu adi tənlikdəki kimi bir tərəfə keçirib tapa bilməzsən. Amma $1024=2^{10}$ olduğunu görən kimi iş bitir: əsaslar eynidir, deməli üstlər də bərabərdir, $x=10$ .

Üstlü tənliklərin əsas fikri budur: hər iki tərəfi eyni əsasla yaz, sonra üstləri müqayisə et. Qalan üsullar sadəcə tənliyi bu vəziyyətə gətirməyin yollarıdır.

Niyə lazımdır

Bir şey hər addımda eyni sayda dəfə artanda və ya azalanda, məsələn, mürəkkəb artımla böyüyən əmanətdə və ya çoxalan bakteriyalarda, “nə vaxt bu qədər olacaq?” sualı üstlü tənliyə gətirir.

İmtahan üçün də bu mövzu çox sərfəlidir: tapşırıqlar bir neçə tanış üsula bölünür. Tənliyə baxıb hansı üsul olduğunu tanısan, həll bir neçə sətirdə bitir. Əsas iş elə budur ki, üsulu düz seçəsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda üstlü tənliyi həll etmək, kökləri tapıb onların cəmini və ya hasilini hesablamaq tələb olunur. Tənliklər müxtəlif quruluşda gəlir: ortaq vuruğu çıxarmaq lazım olanlar, $25^x-6\times5^x+5=0$ kimi yeni dəyişən tələb edənlər, $4^x$ , $6^x$ , $9^x$ qüvvətləri olan və bölmə ilə həll edilənlər. İkiməchullu üstlü tənliklər sistemində isə $x\times y$ və ya $x+y$ soruşulur.

Qayda

$a>0$ , $a\neq1$ olduqda $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ tənliyi $f(x)=g(x)$ tənliyi ilə eynigüclüdür.
$a^x=c$ tənliyində $c>0$ olarsa, $x=\log_a c$ . $a^x$ ifadəsi istənilən $x$ üçün müsbət olduğundan $c\leq0$ olduqda kök yoxdur.
Üsullar: əsasları eyniləşdirmək; ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarmaq ( $2^{x+3}=8\times2^x$ ); $t=a^x$ əvəzləməsi ilə kvadrat tənliyə gətirmək, burada $t>0$ olmalıdır; əsasları $4$ , $6$ , $9$ kimi olan hallarda hər tərəfi bir qüvvətə bölmək. Məsələn, $4^x+9^x=2\times6^x$ tənliyini $9^x$ -ə bölsək, $\left(\dfrac23\right)^{2x}-2\left(\dfrac23\right)^x+1=0$ alınır, buradan $\left(\dfrac23\right)^x=1$ və $x=0$ .
Sistemdə üstləri bərabərləşdirib adi xətti sistem alınır, yaxud əvəzetmə və cəbri toplama tətbiq olunur.

Alınan kökü ilkin tənlikdə yerinə qoyub yoxlamaq olar, bu da səhvi tez aşkar edir.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

a^{x+n}=a^n\times a^x,\quad a^x=a^m\Rightarrow x=m

Üstdəki cəmi qüvvətlərin hasili kimi yazıb $a^x$ ortaq vuruğunu mötərizədən çıxar. Sonra əsaslar bərabər olduqda üstləri bərabərləşdir.

Öyrənilməli düstur

a^{x+y}=a^x\times a^y,\quad (ab)^x=a^x\times b^x

Qüvvət xassələri ilə tənliyin hər iki tərəfi $2^x$ və $3^x$ vuruqları ilə yazılır, sonra eyni vuruqlar bir tərəfə toplanır. Beləliklə $2^x\times2^x=4^x$ ifadəsi $\frac{3}{2}$ -yə bərabər çıxır.

Öyrənilməli düstur

a^{x+n}=a^n\times a^x,\qquad a^{2x}=\left(a^x\right)^2

Üstdə toplanan hədd ayrılaraq $a^x$ ifadəsi ortaq göstərilir və $t=a^x>0$ əvəzləməsi aparılır. Alınan kvadrat tənliyin kökləri $a^x=t$ bərabərliyinə qaytarılır.

Öyrənilməli düstur

a\,p^{2x}-b\,(pq)^{x}+c\,q^{2x}=0\ \Rightarrow\ at^2-bt+c=0,\ \ t=\left(\frac{p}{q}\right)^{x}

Üç qüvvətin üstü eynidir, əsasları isə $p^2$ , $pq$ , $q^2$ -dir. Tənliyin hər tərəfini $q^{2x}$ -ə böl, $t=\left(\frac{p}{q}\right)^x>0$ yaz və kvadrat tənliyi həll et.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a^x\times b^x=(ab)^x,\quad \frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x\\[6pt] a^u=a^v\iff u=v\quad(a>0,\ a\ne 1)\end{gathered}

Üstləri eyni olan qüvvətlər vurulduqda və ya bölündükdə əsaslar vurulur və ya bölünür, əsasları eyni olan qüvvətlər bərabər olduqda üstlər də bərabərdir. Burada tənlikləri tərəf-tərəfə vurub bölməklə $x+y$ və $x-y$ üçün sadə tənliklər alınır.

Hansı üsul?

Hər turda həll yolundan bir keçid göstərilib. Həmin keçiddə hansı üsuldan istifadə olunduğunu seç. Son turda isə tənlik haqqında düz fikri tap.

Nümunələr

2^{x+3}-2^x=112

tənliyini həll et.

Həllə bax

$2^x(8-1)=112$ , $2^x=16$ , $x=4$ . Yoxlama: $128-16=112$ .

$4^x-6\times2^x+8=0$ tənliyini həll et.

Həllə bax

$4^x=(2^x)^2$ olduğundan $2^x=t>0$ yazsaq, $t^2-6t+8=0$ olur, buradan $t=2$ və $t=4$ . Onda $2^x=2$ və $2^x=4$ , yəni $x=1$ və $x=2$ . Hər iki kök uyğundur, çünki $t=2$ və $t=4$ müsbətdir.

$t=2^x>0$ əvəzləməsindən geri qayıt
$t$	Üstlü tənlik	$x$
$2$	$2^x=2$	$1$
$4$	$2^x=4$	$2$

$\begin{cases}2^{x+y}=32\\3^{x-y}=9\end{cases}$ sistemini həll et.

Həllə bax

Üstləri bərabərləşdirək: $x+y=5$ , $x-y=2$ . Toplasaq $2x=7$ , $x=3{,}5$ , $y=1{,}5$ . Yoxlama: $2^{5}=32$ və $3^{2}=9$ .

Tipik səhv

$9^x-2\times3^x-3=0$ , $3^x=t$ : $t^2-2t-3=0$ , $t=3$ və $t=-1$ , deməli $3^x=3$ və $3^x=-1$ , iki kök var.

$3^x=t$ , $t>0$ : $t^2-2t-3=0$ , $t=3$ və $t=-1$ . $t=-1$ uyğun deyil, çünki $3^x>0$ . $3^x=3$ , buradan $x=1$ .

Şagirdlər əvəzləmədən sonra alınan hər kökü qəbul edirlər, amma $3^x$ heç vaxt mənfi olmur.

Hər əvəzləmədə $t>0$ şərtini yaz, alınan kökləri onunla yoxla, uyğun gəlməyənləri at, qalanlardan isə $x$ -i tap.

Özünü yoxla

$8^{x-1}=4^{x+1}$ tənliyini həll et.

$2^{x+2}+2^x=40$ tənliyində $x$ -i tap.

$4^x+2^x-20=0$ tənliyinin bütün köklərini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Üstlü tənliklərə aid tapşırıqları həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Üstlü tənliklər sistemi», səh. 289
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Üstlü tənliklər», səh. 268