Riyaziyyat, Üstlü və loqarifmik tənliklər. Üstlü və loqarifmik bərabərsizliklər

Loqarifmik tənliklər: kökü tap, sonra yoxla

Loqarifmik tənliyi sadə tənliyə çevirməyi, kökləri tapmağı və kənar kökü vaxtında atmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Loqarifm əslində bir sualdır: 2-ni hansı qüvvətə yüksəltsən, 8 alınar? Cavab 3-dür, yəni $\log_2 8=3$ . Eyni sual 1024 üçün də verilə bilər, cavab 10-dur, çünki $2^{10}=1024$ .

Loqarifmik tənlikdə gizlənən isə loqarifmin içindəki ədəddir. Onu tapmaq çətin deyil: loqarifmi qüvvətə çevirirsən və adi tənlik alırsan. Amma burada kiçik bir tələ var.

Loqarifmlərin cəmini hasilin loqarifmi ilə əvəz edəndə tənlik bir az “genişlənir”. Yeni tənlik elə bir kök də verə bilər ki, ilkin tənlikdə loqarifmin içi mənfi olur. Belə kök kağızda düzgün görünür, amma əslində cavab deyil.

Niyə lazımdır

Bu mövzu sənə iki şeyi birlikdə öyrədir: düsturla tənliyi sadələşdirməyi və hər addımdan sonra şərtə baxmağı. Kvadrat tənlik bilgin burada ikinci dəfə işə yarayır, çünki bəzi loqarifmik tənliklər sonda kvadrat tənliyə gətirilir.

Kənar kökü də hesablamaya daxil etsən, köklərin cəmini və ya hasilini səhv taparsan. Şərti yoxlamağı unutsan, tam düzgün həll etdiyin tənliyə səhv cavab verərsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda loqarifmik tənliyin köklərini tapmaq, köklərin cəmini və ya hasilini hesablamaq tələb olunur. Tənliklər sadə $\log_a f(x)=c$ şəklində, loqarifmlərin cəmi və ya fərqi ilə, yaxud $\log_2^2x-3\log_2x+4=8$ kimi kvadrat tənliyə gətirilən quruluşda verilir. İki məchullu loqarifmik tənliklər sistemində də $x$ və $y$ cütü və ya onların hasili soruşulur.

Qayda

$a>0$ , $a\neq1$ olduqda $\log_a f(x)=\log_a g(x)$ tənliyi $f(x)=g(x)$ tənliyinə gətirilir, lakin $f(x)>0$ və $g(x)>0$ şərtləri ödənməlidir.
$\log_a f(x)=c$ tənliyindən $f(x)=a^c$ alınır.
Xassələr ( $u>0$ , $v>0$ ): $\log_a(uv)=\log_a u+\log_a v$ , $\log_a\dfrac{u}{v}=\log_a u-\log_a v$ , $\log_a u^k=k\log_a u$ .
Kvadrat tənliyə gətirmək üçün $t=\log_a x$ əvəzləməsi aparılır. $t$ istənilən həqiqi ədəd ola bilər, çünki loqarifm mənfi də ola bilər.
Mütləq yoxlama: tapılan hər kök loqarifmin işarəsi altındakı bütün ifadələri müsbət etməlidir, əks halda kənar kökdür.

Tapşırıqlarda işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

\log_a f(x)=b\ \Leftrightarrow\ f(x)=a^{b},\quad a>0,\ a\ne1

Loqarifmin işarəsini aradan qaldırmaq üçün ifadəni əsasın qüvvəti ilə əvəz et: $\log_2(\ldots)=3$ olduqda mötərizənin içi $2^3$ -ə bərabərdir. Sonra $\log_2x=t$ əvəzləməsi ilə kvadrat tənlik alınır.

Özün həll et

Hər tənliyin cavabını yaz. Kənar kökləri yoxlamağı unutma.

Nümunələr

\log_3x+\log_3(x-8)=2

tənliyini həll et.

Həllə bax

Arqumentlər müsbət olmalıdır: $x>8$ . Onda $\log_3\bigl(x(x-8)\bigr)=2$ , $x^2-8x=9$ , $x^2-8x-9=0$ , kökləri $9$ və $-1$ . Yalnız $9>8$ uyğundur: $\log_39+\log_31=2$ .

$x>8$ şərtinə görə köklərin seçilməsi
Kök	Şərt	Nəticə
$9$	$9>8$	Uyğundur
$-1$	$-1<8$	Kənar kökdür

$\log_2^2x-3\log_2x+2=0$ tənliyini həll et.

Həllə bax

$\log_2x=t$ yazılır: $t^2-3t+2=0$ , $t=1$ və $t=2$ . Buradan $\log_2x=1$ olduqda $x=2$ , $\log_2x=2$ olduqda $x=4$ . Burada $x>0$ şərti hər iki kök üçün ödənir, köklərin hasili $8$ -dir.

$\begin{cases}x-y=3\\\log_2x+\log_2y=2\end{cases}$ sistemini həll et.

Həllə bax

$x>0$ , $y>0$ olmalıdır. İkinci tənlikdən $xy=4$ , birincidən $x=y+3$ . Onda $y^2+3y-4=0$ , $y=1$ və ya $y=-4$ . Mənfi $y$ uyğun deyil, deməli, $y=1$ , $x=4$ .

Tipik səhv

$\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3 \Rightarrow (x-1)(x-3)=8 \Rightarrow x^2-4x-5=0$ , cavab: $x=5$ və $x=-1$ .

Əvvəlcə şərtlər: $x-1>0$ , $x-3>0$ , yəni $x>3$ . Kökləri $5$ və $-1$ -dir, amma $x=-1$ üçün $x-1=-2$ və $x-3=-4$ mənfidir, ona görə bu kök uyğun deyil. Cavab yalnız $x=5$ -dir.

Şagirdlər kvadrat tənliyin hər iki kökünü cavab kimi yazırlar. Halbuki cəbri tənlik burada bir kökü “artırır”, çünki loqarifm funksiyası yalnız müsbət ədədlər üçün təyin olunub.

Tənliyi həll etməzdən əvvəl $x-1>0$ və $x-3>0$ şərtlərini yaz, sonda isə kökləri onlarla yoxla.

Özünü yoxla

$\log_3(x-2)=3$ tənliyinin kökünü tap.

$\log_2(x+2)+\log_2(x-1)=2$ tənliyinin bütün köklərini göstərən variantı seç.

$\log_2^2x+\log_2x-2=0$ tənliyinin köklərinin hasilini tap.

Mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Loqarifmik tənliklər sistemi», səh. 290
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Loqarifmik tənliklər», səh. 271