Riyaziyyat, Üstlü və loqarifmik tənliklər. Üstlü və loqarifmik bərabərsizliklər

Üstlü bərabərsizliklərin həlli: işarə nə vaxt çevrilir

Üstlü bərabərsizliyi üstlərin bərabərsizliyinə gətirməyi və işarənin nə vaxt çevrildiyini səhvsiz təyin etməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə bir neçə dəfə yarıya bükülmüş vərəq və onun yanında açıq vərəq.

Bir vərəqi yarıya bük, sonra yenə yarıya bük. Hər bükmədə qatların sayı iki dəfə artır: $x$ dəfə bükəndən sonra $2^x$ qat olur. Neçə bükmədən sonra qatların sayı $1000$ -i keçər? Bu sual elə $2^x>1000$ bərabərsizliyinin özüdür. $2^9=512$ , $2^{10}=1024$ olduğu üçün cavab onuncu bükmədir.

İndi əksinə düşün: bir şeyi hər dəfə yarıya bölürsən və yarısını götürürsən. $x$ addımdan sonra əvvəlkinin $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ hissəsi qalır. Nə vaxt mində birdən az qalar? Bu dəfə qalan hissə kiçildikcə üst böyüyür: qüvvətlər arasındakı «kiçikdir» üstlərə keçəndə «böyükdür» olur.

Üstləri müqayisə edəndə işarənin istiqamətini əsas müəyyənləşdirir: əsas $1$ -dən böyükdürsə, işarə saxlanılır, $0$ ilə $1$ arasındadırsa, çevrilir. Bəzi tapşırıqlarda bundan əvvəl əvəzləmə və ya vuruqlara ayırma da lazım gəlir.

Niyə lazımdır

Üstlü bərabərsizlik başqa tapşırıqların içində də çıxır. Məsələn, kökaltı ifadədə $2^x$ varsa, təyin oblastını tapmaq üçün məhz belə bərabərsizlik həll edirsən. Hər addımda iki dəfə artan və ya yarıya enən kəmiyyət haqqında «neçə addımdan sonra» tipli məsələlər də buna gəlib çıxır.

Bərabərsizlik işarəsinin istiqamətini əsas həll edir, ona görə də əvvəlcə əsasa bax. Hesabı düz aparsan da, çevrilməli olan işarəni saxlasan, bütün cavab səhv çıxır. Əsasa baxıb qərarı bir saniyədə verməyi öyrənsən, xal itirmək əvəzinə vaxt qazanırsan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Test toplularında üstlü bərabərsizlik ya ayrıca verilir, ya da funksiyanın təyin oblastını tapmaq tapşırığının içində olur. Çox vaxt bərabərsizliyi həll edib cavabı aralıq şəklində seçmək, yaxud onun ən kiçik və ya ən böyük tam həllini, tam həllərinin sayını, cəmini və ya hasilini tapmaq lazım gəlir. Qüvvət üstündə kvadrat üçhədli olan, eyni əsaslı bir neçə qüvvətin cəmi verilən, $a^x$ -i yeni dəyişənlə əvəz etməyi tələb edən, müxtəlif əsaslı qüvvətləri müqayisə edən və $x^2\times a^x$ kimi hədləri qruplaşdırmaqla vuruqlara ayrılan bərabərsizliklər də tez-tez verilir. Kodlaşdırılan tapşırıqlarda cavab adətən bir tam ədəddir.

Qayda

$a>1$ olduqda $y=a^x$ artandır: $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ bərabərsizliyi $f(x)>g(x)$ ilə eynigüclüdür, işarə saxlanılır.
$0<a<1$ olduqda $y=a^x$ azalandır: $a^{f(x)}>a^{g(x)}$ bərabərsizliyi $f(x)<g(x)$ ilə eynigüclüdür, işarə əksinə çevrilir.
$a^x>0$ həmişə doğrudur: $c\le0$ olduqda $a^x>c$ bərabərsizliyini istənilən $x$ ödəyir, $a^x<c$ bərabərsizliyinin isə həlli yoxdur.
İş qaydası: hər iki tərəfi eyni əsaslı qüvvət şəklində yazmaq ( $\frac{1}{9}=3^{-2}$ , $0{,}25=2^{-2}$ ); ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarmaq; $t=a^x$ , $t>0$ əvəzləməsi aparmaq; əsasları fərqli, üstləri eyni olan qüvvətlərdə hər tərəfi onlardan birinə bölmək.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

0\lt a\lt 1:\quad a^{f(x)}\lt a^{g(x)}\iff f(x)\gt g(x)

Əsas $0<a<1$ olduqda üstlü funksiya azalır, ona görə üstlərə keçəndə bərabərsizliyin işarəsi dəyişir. Burada hər tərəfi $3^x$ -ə bölüb $a=\frac{2}{3}$ əsasına gətirirsən.

Öyrənilməli düstur

a^{f(x)}\ge a^{g(x)}\ \Rightarrow\ f(x)\le g(x),\ 0<a<1

Əsas $0<a<1$ olduqda üstlü funksiya azalandır, buna görə üstlərə keçəndə bərabərsizliyin işarəsi dəyişir. Burada $\dfrac{5}{2}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}$ yazıb üstləri müqayisə et.

Öyrənilməli düstur

a>1:\quad a^{u}\le a^{v}\iff u\le v

Əsas $1$ -dən böyük olduqda üstlərin bərabərsizlik işarəsi qüvvətlərinki ilə eynidir. Əvvəlcə $2^x=t$ əvəzləməsi ilə $t$ üçün kvadrat bərabərsizlik həll et, sonra aralığı $x$ -ə qaytar.

İşarəni tut

Hər bərabərsizlik üçün düzgün həlli seç. Əvvəlcə əsasa bax.

Nümunələr

0{,}5^{2x-3}\le4

bərabərsizliyini həll et.

Həllə bax

Həlli: $4=0{,}5^{-2}$ . Əsas $0{,}5<1$ olduğundan işarə dəyişir: $2x-3\ge-2$ , $x\ge0{,}5$ . Cavab: $[0{,}5;+\infty)$ .

Birinci nümunənin həlli: [0,5; +∞). 0,5 dolu dairə ilə həllə daxildir. — $[0{,}5;+\infty)$ : sol uc daxildir.

$4^{x}-9\times2^{x}+8\le0$ bərabərsizliyinin tam həllərinin sayını tap.

Həllə bax

Həlli: $t=2^x>0$ olsun: $t^2-9t+8\le0$ , $(t-1)(t-8)\le0$ , $1\le t\le8$ . Onda $2^0\le2^x\le2^3$ , yəni $0\le x\le3$ . Tam həllər $0$ , $1$ , $2$ , $3$ -dür, yəni bərabərsizliyin dörd tam həlli var.

İkinci nümunənin həlli [0; 3]. Uclar dolu dairələrdir; tam həllər 0, 1, 2, 3-dür. — $[0;3]$ : dörd tam həll $0$ , $1$ , $2$ , $3$ .

$7^{x}<5^{x}$ bərabərsizliyini həll et.

Həllə bax

Həlli: hər tərəfi müsbət $5^x$ ədədinə bölək: $\left(\frac{7}{5}\right)^x<1=\left(\frac{7}{5}\right)^0$ . Əsas $1$ -dən böyükdür, deməli $x<0$ .

y=\sqrt{8-2^{x+1}}

funksiyasının təyin oblastını tap.

Həllə bax

Kökaltı ifadə mənfi ola bilməz: $8-2^{x+1}\ge0$ , yəni $2^{x+1}\le8$ .
$8=2^3$ yazırıq: $2^{x+1}\le2^3$ .
Əsas $2>1$ -dir, işarə saxlanılır: $x+1\le3$ , $x\le2$ .
Yoxlama: $x=2$ olduqda $8-2^3=0$ , kök var; $x=3$ olduqda $8-2^4=-8$ , kök yoxdur.

$(-\infty;2]$

Tipik səhv

$\left(\frac{1}{2}\right)^{x}>8=\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\ \Rightarrow\ x>-3$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{x}>\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\ \Rightarrow\ x<-3$ , çünki $0<\frac{1}{2}<1$

Ən çox rast gələn səhv əsasın $1$ -dən kiçik olmasına diqqət etməməkdir. Əsas adi kəsr, onluq kəsr və ya $\sqrt{3}-1$ kimi ədəd olduqda hər dəfə yoxla: $0<a<1$ -dirsə, işarəni çevir.

Daha üç tələ var. Birincisi, yeni dəyişənin müsbət olduğunu unutmaq: $t=a^x$ üçün $t<-2$ kimi şərt alınsa, ondan $x$ tapılmır, o hissə sadəcə atılır. İkincisi, üstdə $x$ mənfi əmsalla gələndə bərabərsizliyin hər tərəfini mənfi ədədə vurub işarəni dəyişməyi unutmaq. Üçüncüsü, vuruqlara ayrılan tapşırıqlarda cavabı ucların yaxınlığında yoxlamamaq: hər iki vuruğun sıfra çevrildiyi ayrıca nöqtə asanlıqla itirilir.

Özünü yoxla

$25^x\ge5^{x+3}$ bərabərsizliyini həll et.

$\left(\frac{1}{4}\right)^{2-x}>16$ bərabərsizliyini həll et.

$4^x+2^x-6\le0$ bərabərsizliyinin həllər çoxluğunu tap.

Bu mövzunun sınağı

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Üstlü bərabərsizliklər», səh. 275