Riyaziyyat, Üstlü və loqarifmik tənliklər. Üstlü və loqarifmik bərabərsizliklər

Loqarifmik bərabərsizliklər: əsas 1-dən kiçikdirsə, işarə çevrilir

Loqarifmik bərabərsizlikdə əsasa baxıb işarəni nə vaxt saxlamağı, nə vaxt çevirməyi və təyin oblastını cavaba qoşmağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masada bir stəkan limon suyu, kəsilmiş limonlar və yanında indikator kağızı zolağı.

Kimya dərsində turşuluğu pH ilə ölçürlər. pH əslində loqarifmdir: $\text{pH}=-\lg c$ . Burada $c$ məhluldakı hidrogen ionlarının qatılığıdır (mol/l). Limon suyu turşdur, sabunlu su isə qələvidir.

Məhlul nə vaxt turş sayılır? Otaq temperaturunda pH $7$ -dən kiçik olanda. Bunu bərabərsizlik kimi yazaq. $-\lg c=\log_{0{,}1}c$ olduğu üçün şərt $\log_{0{,}1}c<7$ şəklinə düşür. Əsas $1$ -dən kiçikdir, ona görə işarə çevrilir və $c>10^{-7}$ alınır. Yəni pH kiçikdirsə, qatılıq böyükdür.

Loqarifmik bərabərsizliyin bütün sirri elə budur: əvvəl əsasa bax, sonra işarəni ya saxla, ya da çevir. Bir də loqarifmin altındakı ifadəni unutma, çünki o, müsbət olmalıdır.

Niyə lazımdır

Bu mövzu təkcə loqarifmlə bağlı deyil, aralıqlarla işləməyi də öyrədir. Bir neçə şərti yan-yana yazırsan: təyin oblastını, əsasın halını və bərabərsizliyin özünü. Sonra onların ortaq hissəsini tapırsan. Bu bacarıq kvadrat və üstlü bərabərsizliklərdə də lazım olur.

İmtahanda variantlar bir-birindən cəmi bir mötərizə və ya bir şərtlə fərqlənə bilər. Ona görə burada balı diqqət qazandırır. Əsasa baxdınsa, işarəni düz qoydunsa və təyin oblastını unutmadınsa, tapşırığı düz həll etmisən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Test toplularında loqarifmik bərabərsizlik bir neçə şəkildə verilir. Ən çox $\log_a f(x)$ ifadəsini ədədlə və ya başqa loqarifmlə müqayisə edən bərabərsizliyi həll edib cavab aralığını seçmək, yaxud həllərin ən kiçik və ya ən böyük tam qiymətini, tam həllərin sayını və ya cəmini tapmaq tələb olunur. Bəzən iki loqarifm müqayisə edilir və əsasın hansı şərti ödədiyi soruşulur. Kök altında loqarifm olan funksiyanın təyin oblastı, $\log_a^2 x$ daxil olan və əvəzləmə ilə həll edilən bərabərsizliklər, əsası dəyişən olan loqarifmlər isə daha çətin tapşırıqlar sayılır.

Qayda

Həllə həmişə təyin oblastından başla: loqarifm altındakı ifadə müsbət, əsas isə müsbət və $1$ -dən fərqli olmalıdır. Sonra ədədi eyni əsaslı loqarifm kimi yaz: $c=\log_a a^c$ . Bundan sonra hər şey əsasdan asılıdır:

$a>1$ olduqda $y=\log_a x$ artandır və işarə saxlanılır: $\log_a f(x)>\log_a g(x)$ $\Leftrightarrow$ $f(x)>g(x)>0$ ;
$0<a<1$ olduqda funksiya azalandır və işarə əksinə çevrilir: $\log_a f(x)>\log_a g(x)$ $\Leftrightarrow$ $0<f(x)<g(x)$ ;
əsas dəyişəndirsə, $h(x)>1$ və $0<h(x)<1$ halları ayrıca həll olunur və cavablar birləşdirilir.

Loqarifmlərin cəmini hasilin loqarifmi ilə əvəz etdikdə təyin oblastı genişlənə bilər, ona görə hər loqarifmin şərti əvvəlcədən yazılır.

Əsasa bax, aralığı seç

Hər bərabərsizlik üçün düz cavabı seç. Əvvəl əsasa bax, sonra təyin oblastını unutma.

Nümunələr

\log_{0{,}2}(2x-1)\ge-1

Həllə bax

Həlli: $-1=\log_{0{,}2}5$ , əsas $1$ -dən kiçikdir: $0<2x-1\le5$ , yəni $0{,}5<x\le3$ . Cavab: $(0{,}5;3]$ .

Birinci nümunənin həlli (0,5; 3]: 0,5 boş dairə ilə çıxarılıb, 3 dolu dairə ilə daxildir. — $(0{,}5;3]$ : sol uc daxil deyil, sağ uc daxildir.

$\log_2(x^2-4x)<5$ .

Həllə bax

Həlli: $0<x^2-4x<32$ . Birinci şərtdən $x<0$ və ya $x>4$ , ikincidən $(x-8)(x+4)<0$ , yəni $-4<x<8$ . Cavab: $(-4;0)\cup(4;8)$ .

İkinci nümunənin həlli (−4; 0) və (4; 8) aralıqlarının birləşməsidir. Dörd uc da boş dairə ilə çıxarılıb. — $(-4;0)\cup(4;8)$ : boş dairələrlə göstərilən uclar daxil deyil.

$\lg^2 x-\lg x-2>0$ .

Həllə bax

Həlli: $x>0$ , $t=\lg x$ ilə $t^2-t-2>0$ , $t<-1$ və ya $t>2$ . Buradan $0<x<0{,}1$ və ya $x>100$ .

\log_x 4>1

bərabərsizliyini həll et.

Həllə bax

Təyin oblastı: $x>0$ , $x\ne1$ . Əsas dəyişəndir, ona görə $1=\log_x x$ yazırıq və iki halı ayrıca həll edirik.
$x>1$ olduqda işarə saxlanılır: $4>x$ . Bu halın öz şərti ilə birlikdə $1<x<4$ alınır.
$0<x<1$ olduqda işarə çevrilir: $4<x$ . Amma bu halda $x<1$ -dir, deməli, burada həll yoxdur.
Halları birləşdiririk: yalnız birinci haldan $1<x<4$ qalır. Yoxlama: $x=2$ üçün $\log_2 4=2>1$ , doğrudur.

$(1;4)$

Tipik səhv

$\log_{0{,}5}x>3$ , deməli, $x>\frac{1}{8}$

$3=\log_{0{,}5}\frac{1}{8}$ , əsas $1$ -dən kiçikdir, ona görə $0<x<\frac{1}{8}$

Ən çox iki səhv edilir. Birincisi, əsas $1$ -dən kiçik olanda işarəni çevirməyi unutmaqdır, yuxarıdakı kimi. İkincisi, təyin oblastını atmaqdır: $\log_2(x-1)<3$ üçün cavab $x<9$ deyil, $1<x<9$ -dur. Tam həllər sayılanda bu fərq cavabı tamamilə dəyişir.

Özünü yoxlamaq üçün aralığın içindən və sərhədin o biri tərəfindən bir ədəd götürüb yerinə qoy. Bir də yadda saxla: $\log_a^2 x$ yazılışı $(\log_a x)^2$ deməkdir, $\log_a x^2$ yox. $\log_a x^2=2\log_a x$ bərabərliyi isə yalnız $x>0$ olduqda doğrudur.

Özünü yoxla

$\log_2(3x-2)\le2$ bərabərsizliyinin həll aralığını seç.

$\log_{0{,}5}(x+2)>\log_{0{,}5}(6-x)$ bərabərsizliyini həll et.

$\log_x 9\le2$ bərabərsizliyinin həllini seç.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Loqarifmik bərabərsizliklər», səh. 277