Riyaziyyat, Tənliklər və funksiyalar

Tənliklər sistemi: iki şərtdən iki məchulu tapmaq

İki məchullu sistemi əvəzetmə və toplama üsulu ilə həll etməyi, həllərin sayını tapmağı və məsələnin şərtini sistemə çevirməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta piştaxtanın üstündə ayrı-ayrı qoyulmuş iki dəstə dəftər və qələm.

İki məchullu tək bir tənlik az şey deyir. $x+y=10$ yazılıbsa, $(3;7)$ də uyğun gəlir, $(4;6)$ da, $(2,5;7,5)$ də. Belə cütlərin sonu yoxdur.

İkinci şərt gələndə vəziyyət dəyişir. Ona $x-y=4$ əlavə et: indi hər iki şərti eyni vaxtda ödəyən yalnız bir cüt qalır, $(7;3)$ .

Mağazada da belədir. Tutaq ki, iki cür mal almısan və yalnız ödədiyin ümumi məbləği bilirsən. Bu bir tənlikdir və hər malın qiymətini ondan tapa bilməzsən. İndi eyni mallardan ikinci dəfə al: birindən əvvəlkindən çox, o birindən az. Bu alışın da məbləği məlum olanda qiymətlər tapılır. Tənliklər sistemi də elə bu işi görür.

Niyə lazımdır

Yaşlar, alış-veriş, rəflər arasında köçürülən kitablar, iki düz xəttin kəsişmə nöqtəsi: belə məsələləri iki məchullu sistemlə həll etmək rahatdır. Şərtdən iki tənlik yaza bilirsənsə, qalanı texniki işdir.

Bir də hesablamaya qənaət var. Bəzən ədədlərin özünü tapmaq lazım deyil, cəmlə hasil kifayət edir. Bunu bilsən, iki ədədi ayrı-ayrı tapmadan cavaba çatırsan və artıq hesablamadan qurtulursan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda alış şərtindən tənlik qurub qiymətlərin nisbətini tapırsan. İki ədədin cəmi və hasili məlum olduqda fərqin kvadratını və ya modulunu hesablayırsan. Həmçinin xətti və ikidərəcəli tənlikdən ibarət sistemdə həqiqi həllərin sayını müəyyənləşdirir, həllərə uyğun ifadə qiymətlərini müqayisə edirsən.

Qayda

Sistemin həlli bütün tənlikləri eyni vaxtda ödəyən $(x;y)$ cütüdür. Birinci yerdə $x$ , ikinci yerdə $y$ yazılır. Tapdığın cütü sistemdəki bütün tənliklərdə yoxla.
Əvəzetmə üsulu ilə işləyərkən əvvəlcə bir dəyişəni təklikdə saxla. Məsələn, $x+y=s$ olduqda $y=s-x$ ifadəsini digər tənliyə daxil et. Alınan tənliyi həll et, sonra hər kök üçün uyğun ikinci dəyişəni hesabla.
Toplama üsulu üçün bir dəyişənin əmsallarını əks ədədlərə çevir, sonra tənlikləri tərəf-tərəfə topla. Bunun üçün tənliyin hər iki tərəfini eyni, sıfırdan fərqli ədədə vura bilərsən.
Həllərin sayı soruşulanda fərqli cütləri say. Əvəzetmədən sonra $ax^2+bx+c=0$ , $a\ne0$ alınırsa, $D=b^2-4ac$ hesabla. $D>0$ üçün iki kök, $D=0$ üçün bir kök var; $D<0$ üçün həqiqi kök yoxdur. Hər kökə yeganə $y$ uyğun gəlirsə, bu, sistemin də həllər sayıdır.
Cəm və hasil məlumdursa, $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$ eyniliyini tətbiq et. Modul istənəndə $|x-y|=\sqrt{(x+y)^2-4xy}$ yaz. Beləliklə, ədədlərin özünü tapmağa ehtiyac qalmır.
Alış məsələsində hər malın qiymətinə ayrıca hərf ver. Eyni məbləğ xərclənirsə, alışların ümumi qiymətlərini bərabərləşdir. «Neçə dəfə?» sualına uyğun qiymətləri bir-birinə böl.
İfadənin ən böyük qiyməti soruşulursa, onu sistemin hər həllində hesabla və nəticələri müqayisə et.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

|a-b|=\sqrt{(a+b)^2-4ab}

$a$ və $b$ həqiqi ədədlərdir, düstur onların fərqinin modulunu cəm və hasil vasitəsilə ifadə edir. Verilən cəmin kvadratından hasilin dörd mislini çıxıb alınan ədədin kvadrat kökünü tap.

Öyrənilməli düstur

(a-b)^2=(a+b)^2-4ab

$a$ və $b$ verilən ədədləri göstərir, düstur fərqin kvadratını onların cəmi və hasili ilə əlaqələndirir. Ədədləri ayrıca axtarmadan cəmi kvadrata yüksəlt və hasilin dörd mislini çıx.

Öyrənilməli düstur

(u-v)^2=(u+v)^2-4uv

$u$ və $v$ həqiqi ədədlərdir, düstur onların fərqinin kvadratını cəm və hasilə əsasən tapmağa imkan verir. Məlum cəmi kvadrata yüksəldib ondan hasilin dörd mislini çıx.

Öyrənilməli düstur

\begin{cases}x+y=n,\\a\times x+b\times y=V.\end{cases}

$a$ və $b$ dolu qabların tutumları, $x$ və $y$ uyğun qabların sayları, $n$ bütün qabların sayı, $V$ isə mayenin ümumi həcmidir. Bidonların sayı və şirənin həcmi haqqında verilənləri bu sistemdə istifadə edib tələb olunan sayı tap.

Öyrənilməli qayda

Eyni pulun hamısı ilə alınan iki fərqli dəstin ümumi qiymətləri bərabərdir. Hər dəstin qiymətini malların sayı ilə vahid qiymətinin hasilləri cəmi kimi yazıb bərabərləşdir, sonra albomun qiymətini pozanın qiymətinə böl.

Öyrənilməli qayda

Əşyaları bir qrupdan digərinə keçirəndə ümumi say dəyişmir, birindəki azalma digərindəki artıma bərabər olur. İlkin sayların cəmi üçün bir tənlik, köçürmədən sonrakı sayların müqayisəsi üçün isə ikinci tənlik qur.

Öyrənilməli qayda

İki düz xəttin ortaq nöqtəsinin koordinatları onların tənliklərinin hər ikisini ödəyir. Kəsişmə nöqtəsinin absisini $x$ , ordinatını $y$ əvəzinə yazaraq əvvəl $a$ , sonra $b$ əmsalını müəyyən et və hasillərini hesabla.

Öyrənilməli qayda

Eyni müddətdə hər iki şəxsin yaşı eyni qədər artır, buna görə yaş fərqi dəyişmir. Böyüyün indiki yaşını $x$ , kiçiyinkini $y$ götürərək kiçiyin $x$ yaşına çatması üçün keçən müddəti $x-y$ , həmin vaxt böyüyün yaşını $x+(x-y)$ kimi ifadə et və yaşların cəmi ilə birlikdə sistem qur.

Öyrənilməli qayda

Hər ölçüdəki yeşiklərin sayı ilə həmin ölçülü bir yeşikdəki armudun kütləsinin hasili o yeşiklərdəki ümumi kütləni verir. Kiçik və böyük yeşiklərin sayını məchul götür, sayların cəminə və kütlələrin cəminə uyğun iki tənlik qur.

Öyrənilməli qayda

İki qrup arasında yerdəyişmə ümumi sayı dəyişmir, köçürülən miqdar bir qrupdan çıxılır, digərinə əlavə olunur. Rəflərdəki ilkin sayları məchul seçib həm ümumi sayı, həm də yeni saylar arasındakı əlaqəni tənliklə ifadə et.

Öyrənilməli qayda

Birdərəcəli tənlikdən bir məchulu digəri ilə ifadə edib ikidərəcəli tənlikdə onun yerinə yaz. Alınan tənliyin hər həqiqi kökü üçün digər məchulu tap, sonra bütün həll cütlərində soruşulan ifadəni hesablayıb qiymətləri müqayisə et.

Öyrənilməli qayda

İndiki yaşdan keçmişə aid illərin sayı çıxılır, gələcəyə aid illərin sayı isə onun üzərinə əlavə olunur. Hər iki indiki yaşı məchul seç, yaşların cəmini və göstərilən vaxtlardakı yaşların əlaqəsini ayrı tənliklərlə yaz.

Öyrənilməli qayda

Xətti tənlikdən $y$ dəyişənini $x$ vasitəsilə ifadə etdikdə hər $x$ qiymətinə yalnız bir $y$ qiyməti uyğun gəlir. Bu ifadəni ikinci tənlikdə yerinə yaz və alınan tənliyin müxtəlif həqiqi köklərini say, təkrarlanan kökü bir dəfə nəzərə al.

Öyrənilməli qayda

Hər işçinin qazancı onun saatlıq əməkhaqqı ilə işlədiyi saatların sayının hasilidir. İş müddətlərini məchul seçərək saatların cəmi və qazancların cəmi üçün ayrı tənliklər qur.

Öyrənilməli qayda

Bir miqdarın müəyyən hissəsi işlədiləndə qalan hissənin payı həmin payın vahiddən çıxılması ilə tapılır. İlkin uzunluqları məchul seç, onların cəmini verilən ümumi uzunluğa, qalan hissələri isə bir-birinə bərabərləşdir.

Öyrənilməli qayda

Sistemin hər iki tənliyində $y$ ayrıca ifadə olunubsa, həmin ifadələri bərabərləşdirərək $x$ üçün tənlik al. Çənlərdəki həcmlərin bərabərləşdiyi vaxtı belə tap, sonra bu vaxtı həcm düsturlarından birində yerinə yaz.

Özün yoxla

Dörd qısa tapşırıq var. Cavabı yaz və yoxla, sonra həllinə bax.

Nümunələr

Beş dəftər və üç qələm üçün ödənən pul üç dəftər və doqquz qələmin ümumi qiymətinə bərabərdir. Dəftər qələmdən neçə dəfə bahadır?

Həllə bax

Həlli: Qiymətləri

d

və

q

götür:

5d+3q=3d+9q

. Buradan

2d=6q

d/q=3

alınır. Dəftər üç dəfə bahadır.

$x+y=10$ , $xy=21$ olarsa, $|x-y|$ nədir?

Həllə bax

Həlli: Əvvəl $(x-y)^2=10^2-4\times21=16$ hesabla. Deməli, $|x-y|=\sqrt{16}=4$ .

$\begin{cases}x+y=5,\\x^2-y=1\end{cases}$ sistemində $x+2y$ ifadəsinin böyük qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: $y=5-x$ olduğundan $x^2-(5-x)=1$ , yəni $(x+3)(x-2)=0$ alınır. Həll cütləri $(2;3)$ və $(-3;8)$ olur. İfadənin qiymətləri $2+2\times3=8$ və $-3+2\times8=13$ olduğuna görə cavab $13$ -dür.

Tipik səhv

$\begin{cases}x+y=1,\\x^2+y=7\end{cases}$ : $x^2-x-6=0$ , $x=3$ , $y=-2$ . Sistemin bir həlli var.

$x^2-x-6=0$ , yəni $(x-3)(x+2)=0$ : $x_1=3$ , $x_2=-2$ . Həllər $(3;-2)$ və $(-2;3)$ olur, yəni sistemin iki həlli var.

Bir kökü tapıb dayanma: ikinci kök də sistemin həllini verə bilər. Təkrarlanan kökü isə iki ayrı həll sayma: $(x-1)^2=0$ alınırsa, bir $x$ var, deməli, bir həll var.

Fərqin kvadratını onun modulu ilə qarışdırma: modul üçün kvadrat kök almalısan və nəticə mənfi ola bilməz.

Özünü sına

$\begin{cases}3x+2y=16,\\x-2y=0\end{cases}$ sisteminin həllini seç.

$x+y=12$ və $xy=27$ olarsa, $|x-y|$ qiymətini tap.

$\begin{cases}y=4x-4,\\x^2-y=0\end{cases}$ sisteminin neçə həqiqi həlli var?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Tənliklər sistemi üzrə tapşırıqları həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 8.3 «Tənliklər sistemi», səh. 58
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 8.4 «Xətti tənliklər sisteminin əvəzetmə və toplama üsulları ilə həlli», səh. 62
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 8.5 «Tənliklər sisteminin köməyi ilə məsələ həlli», səh. 65