Riyaziyyat, Tənliklər və funksiyalar

Birdəyişənli tənliklər: kəsrlər, mətnli məsələlər və köklər

Kəsrli tənlikləri həll etməyi, mətnli məsələlərə tənlik qurmağı, kvadrat tənliyin müxtəlif köklərini düz saymağı öyrənəcəksən.

Oxu müddəti: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə hündürlüyü fərqli iki yanan ağ şam.

Mətnli məsələlər adətən adi şeylərdən danışır: endirimli alış, iş planı, boşalan qab, yanan şam. Məchul kəmiyyətlərdən birini seçib digərlərini onunla ifadə edirsən.

Şam yandıqca qısalır, çəndən su axdıqca içində az su qalır. Belə dəyişməni bir sətirlə yazmaq olur. İki şamın hündürlüyü nə vaxt eyni olacaq? Bu sualın cavabını tənlik verir.

Tənlik naməlumu tapmağın qısa yoludur. Sözləri bərabərliyə çevirirsən, sonra kəsrləri və mötərizələri bir-bir aradan qaldırırsan. Bu səhifə məhz həmin yolu göstərir.

Niyə lazımdır

Birdəyişənli tənlik riyaziyyatın çox yerində alət kimi işləyir. Funksiyada, həndəsədə, hərəkət məsələsində axırda yenə bir tənlik həll edirsən. Kəsrləri ortaq məxrəclə təmizləməyi və işarələri düz açmağı bir dəfə yaxşı öyrənsən, sonrakı mövzular xeyli yüngülləşir.

İmtahanda bir işarə səhvi bütün həlli yanlış cavaba aparır. Sualın soruşmadığı kəmiyyəti cavab kimi yazmaq da eyni nəticəni verir. Tapdığın kökü ilkin tənliyə yazıb yoxlamaq bir neçə saniyə çəkir və bu səhvlərin çoxunu tutur.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Sən məxrəcləri ədəd olan tənlikləri həll edir, mətnlə verilən münasibətləri tənliyə çevirirsən. Ardıcıl ədədlər, alışın ümumi məbləği və görülən işin miqdarı haqqında məsələlərə rast gələ bilərsən. Qrafikdən dəyişmə sürətini tapmaq, iki kəmiyyətin nə vaxt bərabərləşdiyini hesablamaq və kvadrat tənliyin müxtəlif həqiqi köklərini saymaq da tələb olunur.

Qayda

Kök məchulun elə qiymətidir ki, onu yerinə yazanda tənliyin tərəfləri bərabər alınır. Cavabını ilkin tənlikdə yoxla.
Xətti tənlik həllində mötərizələri aç, oxşar hədləri birləşdir. Həddi qarşı tərəfə keçirərkən işarəsini dəyiş. $ax=b$ alınarsa və $a\ne0$ olarsa, $x=\dfrac{b}{a}$ . Burada $a$ məchulun əmsalı, $b$ isə sağ tərəfdəki ədəddir.
Ortaq məxrəc seçərək kəsrləri aradan qaldır: məxrəclər sıfırdan fərqli ədədlərdirsə, bərabərliyin bütün hədlərini həmin məxrəcə vur. Surət bir neçə həddən ibarətdirsə, onu mötərizədə saxla.
Tənlik qurmaq üçün əvvəlcə $x$ ilə nəyi göstərdiyini yaz. Eyni məbləği və ya iş miqdarını ifadə edən hasilləri bərabərləşdir: məbləğ qiymətlə sayın, iş miqdarı isə gündəlik işlə gün sayının hasilidir. Sonda məsələnin məhz hansı kəmiyyəti soruşduğuna bax.
Ardıcıl ədədlər bir vahid fərqlənir. Kiçik tam ədəd $x$ olarsa, sonrakılar $x+1$ , $x+2$ , $x+3$ olar. Bir hasil digərindən kiçikdirsə, fərqi böyük hasildən kiçiyi çıxmaqla yaz.
Qrafik sabit sürətlə boşalan qabı göstərirsə, başlanğıc həcmi boşalma müddətinə bölərək sürəti tap. $V=V_0-qt$ düsturunda $V_0$ ilkin həcm, $q$ bir dəqiqədə axan həcm, $t$ vaxtdır. Həcmləri bərabərləşdir, tapılan vaxtın hər iki qabın boşalmasına qədərki müddətə uyğunluğunu yoxla.
Tam kvadrat şəklinə gətirilən $a(x-r)^2=0$ tənliyində $a\ne0$ olduqda yalnız $x=r$ mümkündür. Burada $a$ əmsal, $r$ kökdür; eyni qiyməti iki müxtəlif kök kimi sayma.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0\\[6pt]D=b^2-4ac,\qquad x_1=x_2\iff D=0\end{gathered}

Burada $a$ , $b$ , $c$ tənliyin əmsalları, $D$ diskriminant, $x_1$ və $x_2$ isə köklərdir. Əmsalları düsturda yerinə yaz və bərabər köklər şərtindən istifadə edərək parametrə görə alınan tənliyi həll et.

Öyrənilməli düstur

ax+b=c,\quad a\ne0\qquad\Rightarrow\qquad x=\frac{c-b}{a}

Burada $x$ məchul, $a$ , $b$ , $c$ verilmiş ədədlərdir və $a$ sıfırdan fərqlidir. Məchulu tapmaq üçün əvvəl sərbəst toplananı sağ tərəfdən çıx, sonra alınan fərqi məchulun əmsalına böl.

Öyrənilməli qayda

Ardıcıl tam ədədlərin hər sonrakısı əvvəlkindən bir vahid böyükdür. Kiçik ədədi $x$ götürüb qalanlarını onunla ifadə et və böyük hasildən kiçik hasili çıxaraq verilmiş fərqə uyğun tənlik qur.

Öyrənilməli qayda

Alışa sərf olunan pul vahid qiymətlə alınan miqdarın hasilidir. Endirim məbləğini manatla ifadə et və pul dəyişmədiyi üçün əvvəlki və yeni qiymətlə hesablanan ümumi məbləğləri bərabərləşdir.

Öyrənilməli qayda

İki qiymətdən biri digərinin müəyyən hissəsidirsə, kiçik qiyməti məchul seçib böyük qiyməti onun misli ilə ifadə edə bilərsən. Biletlərin qiymətlərini eyni məchulla yaz və cəmlərini ödənilən məbləğə bərabərləşdir.

Öyrənilməli qayda

Düzbucaqlını əhatə edən bərabərenli cığır xarici düzbucaqlının hər ölçüsünü cığırın eninin iki misli qədər artırır, cığırın sahəsi isə xarici və daxili düzbucaqlıların sahələri fərqidir. Eni məchul götürüb sahələr fərqinə əsasən kvadrat tənlik qur və alınan köklərdən müsbət olanı seç.

Öyrənilməli qayda

Tənliyin tərəflərini eyni sıfırdan fərqli ədədə vurmaq onun köklərini dəyişmir. Məxrəclərin ən kiçik ortaq bölünəninə vuraraq kəsrləri aradan qaldır, sonra mötərizələri açıb məchulu ayır.

Öyrənilməli qayda

Ardıcıl götürmələrdə qalıq əvvəlki miqdardan götürülən miqdarı çıxmaqla hesablanır. Başlanğıc sayı məchul seç, kəsr hissəni ilk götürmədən sonrakı qalıqdan hesabla və son qalığı başlanğıc sayın yarısına bərabərləşdir.

Öyrənilməli qayda

Sabit sürətlə boşalan qabdakı qalıq həcm başlanğıc həcmdən boşalma sürəti ilə keçən vaxtın hasilini çıxmaqla tapılır. Qrafikdən hər qabın başlanğıc həcmini və tam boşalma vaxtını oxuyub sürətləri hesabla, sonra eyni vaxt üçün qalıq həcmləri bərabərləşdir.

Öyrənilməli qayda

Eyni qiymətli malların ümumi dəyəri birinin qiyməti ilə sayının hasilinə bərabərdir. Əvvəlki qiyməti məchul götür, endirimi çıxmaqla yeni qiyməti ifadə et və ayrılan pul dəyişmədiyinə görə iki alışın dəyərini bərabərləşdir.

Öyrənilməli qayda

Hər gün eyni miqdarda iş görüldükdə ümumi iş gündəlik miqdarın günlərin sayına hasilidir. Planlaşdırılan gündəlik sayı məchul seç və ümumi fotoşəkil sayı dəyişmədiyi üçün planla faktiki işi ifadə edən hasilləri bərabərləşdir.

Öyrənilməli qayda

Sıfıra bərabər hasildə ən azı bir vuruq sıfır olmalıdır; eyni vuruğun təkrarlanması yeni kök yaratmır. Sol tərəfi vuruqlara ayır və tapdığın köklərdən yalnız müxtəlif olanları say.

Öyrənilməli qayda

Bərabər sürətlə qısalan şamın hündürlüyü başlanğıc hündürlükdən saatlıq qısalma ilə keçən vaxtın hasilini çıxmaqla hesablanır. Qrafikdən hər şamın saatlıq qısalmasını tap, hündürlükləri bərabərləşdirən tənlik qur və tapılan vaxtın hər iki yanma müddətindən kiçik olduğunu yoxla.

Öyrənilməli qayda

Tənliyin hər iki tərəfini eyni sıfırdan fərqli ədədə vurduqda köklər dəyişmir. Məxrəclərin ən kiçik ortaq bölünəninə vurmaqla kəsrləri aradan qaldır, sonra məchullu hədləri bir tərəfdə, sabit hədləri digər tərəfdə toplayıb məchulu tap.

Öyrənilməli qayda

Əldəki pulu tapmaq üçün alışın dəyərinə qalan pulu əlavə et, pul çatmadıqda isə alışın dəyərindən çatışmayan məbləği çıx. Dəftərin qiymətini məchul seçərək hər iki alış halı üçün əldəki pulu ifadə et və bu ifadələri bərabərləşdir.

Özün həll et

Hər tapşırıqda soruşulan cavabı yaz. Səhv etsən, həllin addımlarına bax.

Nümunələr

\dfrac{x+5}{4}-\dfrac{x-1}{6}=2

tənliyini həll et.

Həllə bax

Həlli: Hədləri $12$ -yə vur: $3(x+5)-2(x-1)=24$ . Buradan $3x+15-2x+2=24$ , $x=7$ . Yoxlama: $3-1=2$ .

Usta sifarişi gündə eyni sayda detal hazırlamaqla $10$ günə bitirməli idi. Gündə $6$ detal artıq hazırlayıb işi $8$ günə tamamladı. Sifariş neçə detaldır?

Həllə bax

Həlli: Planlaşdırılan gündəlik sayı $x$ götür: $10x=8(x+6)$ . Buradan $2x=48$ , $x=24$ . Sifariş $10\times24=240$ detaldır. Yoxlama: $8\times30=240$ .

$2x^2+20x+50=0$ tənliyinin neçə müxtəlif həqiqi kökü var?

Həllə bax

Həlli: $2(x+5)^2=0$ , deməli, $x=-5$ . Yalnız bir müxtəlif kök var.

Tipik səhv

$\dfrac{x+3}{2}-\dfrac{x-4}{3}=3 \;\Rightarrow\; 3x+9-2x-8=18$

$3(x+3)-2(x-4)=18 \;\Rightarrow\; 3x+9-2x+8=18$ , deməli, $x=1$ . Yoxlama: $2-(-1)=3$ .

Kəsrin qarşısındakı mənfini surətin yalnız ilk həddinə tətbiq etmək işarə səhvidir. Mənfi surətin bütün hədlərinə aiddir: $-2(x-4)=-2x+8$ olduğunu nəzərə al. Buna görə surəti əvvəlcə mötərizədə saxla, sonra aç.

Mətnli məsələdə də oxşar tələ var: tapdığın $x$ gündəlik saydırsa, ümumi sayı almaq üçün onu günlərin sayına vur.

Özünü yoxla

$\dfrac{x-2}{3}-\dfrac{x+1}{6}=2$ tənliyinin kökünü tap.

Dörd ardıcıl tam ədədin ən kiçiyi $x$ -dir. Ən böyük iki ədədin hasili ən kiçik iki ədədin hasilindən $26$ vahid böyükdür. Hansı tənliyi qurmalısan?

$5(x+4)^2=0$ tənliyinin kökləri haqqında doğru fikri seç.

Mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 3.2 «Kvadrat tənliyin vuruqlara ayırma üsulu ilə həlli», səh. 73
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 3.4 «Kvadrat tənliyin kökləri düsturu», səh. 79
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 3.6 «Kvadrat tənliklərin köməyi ilə məsələ həlli», səh. 87
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 8.1 «Birdəyişənli xətti tənlik», səh. 51
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 6.5 «Tənlik qurmaqla məsələ həlli», səh. 41