Riyaziyyat, Tənliklər və funksiyalar

Bərabərsizliklər: həll aralığını addım-addım tapmaq

Xətti, kvadrat, kəsrli və köklü bərabərsizliklərin həllini tapıb aralıqla düzgün yazmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: təpələrin arasından keçən boş kənd yolu və yolun kənarında yandan görünən dairəvi yol nişanı.

Yolun kənarında qırmızı haşiyəli dairəvi nişan görürsən, içində bir ədəd yazılıb. Bu nişan sürətin məhz o ədəd olmasını tələb etmir: ondan az və ya ona bərabər istənilən sürət qaydaya uyğundur. Yəni nişan əslində bir bərabərsizlikdir: $v\le$ həmin ədəd.

Tənliyin cavabı adətən bir-iki ədəd olur. Bərabərsizliyin həlli isə çox vaxt ədəd oxunda bir və ya bir neçə aralıq olur. Bəzən bu, bütün oxdur, bəzən heç nə, bəzən də tək bir nöqtə: məsələn, $x^2\le0$ yalnız $x=0$ olanda doğrudur. Bu mövzuda bütün iş həmin çoxluğu tapmaq və düzgün yazmaqdır.

Kiçik bir tələ də var: $2<3$ doğrudur, amma hər tərəfi $-1$ -ə vurub $-2<-3$ yazsan, yanlış olar. Doğrusu $-2>-3$ -dür. Bərabərsizlik tənliyə çox oxşayır, amma belə sürprizlər hər addımda ola bilər.

Niyə lazımdır

Bərabərsizlik «nə qədər olmalıdır ki, …» sualını riyaziyyatın dilində yazmaqdır. Pulun neçə əşyaya çatdığını hesablayanda da, funksiyanın təyin oblastını tapanda da (kökaltı ifadə mənfi olmasın, məxrəc sıfır olmasın) eyni işi görürsən.

İmtahanda bərabərsizlik çox vaxt başqa bir sualın içində gizlənir. Cavab variantları bəzən yalnız bir mötərizə ilə fərqlənir, ona görə sərhədə diqqət etmək birbaşa bal deməkdir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda verilən aralıqdakı natural ədədləri seçib hasilini hesablayırsan, ifadənin hansı qiymətlərdə müsbət və ya mənfi olduğunu araşdırırsan. Xətti, kvadrat, kəsrli və sadə köklü bərabərsizliklərin həllini tapıb aralıqla göstərirsən. Bəzən sadələşdirmə nəticəsində heç bir həllin olmadığını müəyyən etməlisən.

Qayda

Aralıq yazılışında dairəvi mötərizə sərhədin daxil edilmədiyini, kvadrat mötərizə daxil edildiyini göstərir. $a<x\le b$ şərti $(a;b]$ şəklində yazılır. Sonsuzluğun yanında dairəvi mötərizə işlət. Natural ədədlərin hasili soruşulursa, əvvəlcə aralığa düşən natural ədədləri sadala.
Xətti bərabərsizlik üçün mötərizələri aç, oxşar hədləri birləşdir. Hər iki tərəfə eyni ədədi əlavə etmək işarəni dəyişmir. Müsbət ədədə vuranda və ya böləndə işarəni saxla, mənfi ədədə vuranda və ya böləndə əksinə çevir. Dəyişən ixtisar olunarsa, qalan ədədi müqayisəni yoxla: doğru olduqda bütün həqiqi ədədlər həldir, yanlış olduqda həll yoxdur.
İntervallar üsulu ilə əvvəlcə bir tərəfdə sıfır saxla. Çoxhədlinin, kəsrdə isə surətin və məxrəcin sıfırlarını ədəd oxunda qeyd et. Yaranan hər intervaldan bir qiymət seçərək ifadənin işarəsini yoxla və tələb olunan işarəyə uyğun aralıqları götür.
Kvadrat üçhədli iki müxtəlif həqiqi kökə malikdirsə, işarəsi köklər arasında baş əmsalın işarəsinə əks, kənarda isə onunla eynidir. İfadənin sıfır olduğu nöqtələri yalnız $\le$ və $\ge$ işarələrində daxil et.
Məxrəc sıfır ola bilməz. Surətin sıfır olduğu qiymət yalnız məxrəc sıfır deyilsə və bərabərliyə icazə verilirsə həllə daxildir.
Kvadrat kök üçün kökaltı ifadə mənfi olmamalıdır. Kökün özü də mənfi deyil. Buna görə $u\sqrt{v}>0$ yalnız $u>0$ və $v>0$ birlikdə ödənəndə doğrudur; bu şərtlərin ortaq həllini götür.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

a>0,\quad r<s:\quad a\times(x-r)\times(x-s)<0\iff r<x<s

$a$ müsbət baş əmsal, $r$ və $s$ isə uyğun kvadrat tənliyin müxtəlif kökləridir. İfadəni vuruqlara ayırıb kökləri tap, mənfi qiymətlər üçün köklərin arasını götür və ucları daxil etmə.

Öyrənilməli düstur

a>0:\quad |x|<a\iff -a<x<a

Burada $a$ müsbət sərhəd, $x$ isə modul daxilindəki ədəddir. Modullu şərti ikiqat bərabərsizliyə çevir və sərhədləri daxil etmədən aralıqdakı tam ədədləri say.

Öyrənilməli düstur

c>0:\quad |u|\geq c\iff u\leq -c\;\text{və ya}\;u\geq c

Burada $u$ modul daxilindəki ifadə, $c$ isə müsbət ədəddir. İki xətti bərabərsizliyi ayrıca həll et və həll çoxluqlarını birləşdir; bərabərliyə uyğun sərhəd nöqtələrini də daxil et.

Öyrənilməli qayda

$a\le x\le b$ yazılışında $a$ və $b$ sərhədləri də aralığa daxildir. Bu şərtə uyğun natural ədədləri seç və hasil üçün onları bir-birinə vur.

Öyrənilməli qayda

İkiqat bərabərsizliyin bütün tərəflərini eyni müsbət ədədə böldükdə işarələrin istiqaməti dəyişmir. Bərabərlikdən bir dəyişəni digəri ilə ifadə edib yerinə yaz, sonra alınan açıq aralıqdakı ən kiçik tam ədədi seç.

Öyrənilməli qayda

Kəsrin mənfi olmaması üçün surətlə məxrəc eyni işarəli olmalı, yaxud surət sıfır, məxrəc isə sıfırdan fərqli olmalıdır. Sərhəd nöqtələri arasındakı işarələri araşdır, surətin sıfır olduğu qiyməti məxrəc sıfır deyilsə daxil et, məxrəcin sıfır olduğu qiyməti isə çıxar.

Öyrənilməli qayda

Rasional bərabərsizlikdə ortaq vuruğu ixtisar etdikdə ilkin məxrəcin sıfırdan fərqli olması şərti qüvvədə qalır. Surəti vuruqlara ayırıb kəsri sadələşdir, alınan bərabərsizliyi həll et və qadağan olunmuş qiyməti çıxardıqdan sonra natural həlləri topla.

Öyrənilməli qayda

Həqiqi qiyməti olan kvadrat kök mənfi olmadığından, onun başqa vuruqla hasili yalnız hər iki vuruq müsbət olduqda müsbətdir. Kökaltı ifadənin və digər vuruğun müsbət olması şərtlərini yaz, sonra bu şərtlərin ortaq həllini tap.

Öyrənilməli qayda

Xətti bərabərsizliyi $x<c$ şəklinə gətirdikdə həllər $(-\infty;c)$ aralığını təşkil edir, burada $c$ sağ sərhəddir. Sadələşdirmədən alınan sərhəd ifadəsini verilmiş aralığın sağ ucuna bərabər tutaraq parametri tap.

Öyrənilməli qayda

Bərabərsizliyin tərəflərini mənfi ədədə böləndə kiçiklik işarəsi böyüklük işarəsinə, böyüklük işarəsi isə kiçiklik işarəsinə çevrilir. Dəyişəni təklikdə saxlayıb həll aralığının sol sərhədini verilmiş sərhədlə eyniləşdir və parametri hesabla.

Öyrənilməli qayda

Məxrəcdəki dəyişənə vurmazdan əvvəl onun sıfırdan fərqli olduğunu və işarəsini nəzərə al: müsbət olduqda bərabərsizlik işarəsi qalır, mənfi olduqda əksinə çevrilir. Mənfi və müsbət məxrəc hallarını ayrı araşdır, sonra uyğun tam ədədləri say.

Öyrənilməli qayda

Kəsr surət və məxrəc əks işarəli olduqda mənfidir, surət sıfır, məxrəc isə sıfırdan fərqli olduqda sıfıra bərabərdir. Müsbət olmayan qiymətləri seçərkən bu iki halı götür, məxrəci sıfır edən qiyməti isə həllə daxil etmə.

Öyrənilməli qayda

Eynigüclü çevirmələrdən sonra dəyişən ixtisar olunarsa, qalan ədədi bərabərsizliyin doğruluğunu yoxla. Yanlış hökm alınarsa heç bir həll yoxdur, doğru hökm alınarsa bütün həqiqi ədədlər həll olur.

Öyrənilməli qayda

Kvadrat vuruq sıfırdan fərqli olduqda müsbətdir və ifadənin işarəsini dəyişmir, lakin onun sıfır olduğu qiyməti ayrıca yoxlamalısan. Əvvəl bu qiyməti ilkin bərabərsizlikdə yoxla, sonra qalan kəsrin işarəsini araşdır və məxrəci sıfır edən qiyməti çıxar.

Öyrənilməli qayda

Müsbət vuruq ifadənin işarəsini dəyişmir, kəsr isə surətlə məxrəc əks işarəli olduqda mənfidir. Bu xassələrlə uyğun aralığı tap, surəti və ya məxrəci sıfıra çevirən qiymətləri çıxar, sonra aralıqdakı tam ədədləri topla.

Həll aralığını seç

Bərabərsizliyə bax və həllər çoxluğunu göstərən aralığı seç. Mötərizələrə diqqət et.

Nümunələr

3(x+2)\ge3x+10

bərabərsizliyini həll et.

Həllə bax

Həlli: Mötərizəni açdıqda $3x+6\ge3x+10$ alınır. Hər iki tərəfdən $3x$ çıxsaq, $6\ge10$ qalar. Bu müqayisə yanlışdır, deməli, həllər çoxluğu $\varnothing$ olur.

$x^2-8x+15\le0$ şərtini ödəyən natural ədədlərin hasilini hesabla.

Həllə bax

Həlli: $(x-3)(x-5)\le0$ yaz. Baş əmsal müsbətdir, hasil köklərin arasında mənfidir, köklərdə sıfırdır. Həll $[3;5]$ aralığıdır. Buradakı natural ədədlər $3$ , $4$ , $5$ , onların hasili isə $3\times4\times5=60$ olur.

$\dfrac{x+6}{x-1}\le0$ bərabərsizliyini həll et.

Həllə bax

Həlli: Sərhədlər $-6$ və $1$ olur. Soldan sağa intervallarda işarələr müsbət, mənfi, müsbətdir. $x=-6$ həldir, $x=1$ isə məxrəci sıfır edir. Cavab: $[-6;1)$ .

Tipik səhv

$\dfrac{x-3}{x+1}\le0$ . İşarə $\le$ -dir, deməli, hər iki sərhəd daxildir: $[-1;3]$ .

Sərhədlər $-1$ və $3$ -dür. Soldan sağa intervallarda işarələr müsbət, mənfi, müsbətdir. $x=3$ kəsri sıfır edir, ona görə həldir. $x=-1$ isə məxrəci sıfır edir, həll deyil. Cavab: $(-1;3]$ .

$\le$ işarəsini görüb bütün sərhədləri daxil etmə: məxrəcin sıfırları həmişə kənarda qalır. Həmçinin işarəsi bilinməyən məxrəcə vurmaqla kəsri aradan qaldırma: $x<-1$ olanda $x+1$ mənfidir və işarə çevrilməlidir.

Əvvəl işarələri intervallarda araşdır, sonra sərhədləri ayrıca yoxla.

Özünü yoxla

$7-3x\le16$ bərabərsizliyinin həll aralığını seç.

$\dfrac{x^2-9}{x-3}\ge0$ bərabərsizliyinin həll çoxluğunu seç.

$(5-x)\sqrt{x+1}>0$ bərabərsizliyinin həll aralığını seç.

Bu mövzuda sınaq yaz

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi çoxluqlar və təqdim formaları», səh. 10
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Xətti bərabərsizliklər sistemi. Bərabərsizliklər heyəti», səh. 139
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Modullu bərabərsizliklər», səh. 143
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kvadrat bərabərsizliklər», səh. 145
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Rasional bərabərsizliklərin intervallar üsulu ilə həlli», səh. 155
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 8.2 «Birdəyişənli xətti bərabərsizlik», səh. 79