Riyaziyyat, Tənliklər və funksiyalar

Kvadratik funksiya və parabola: təpəni və sıfırları tapmaq

Parabolanın düsturuna baxıb təpəsini, sıfırlarını və azalma aralığını qrafik çəkmədən tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: parkdakı fəvvarədən qalxıb daş hovuza enən su qövsləri.

Fəvvarədən fışqıran suya yandan bax. Su yuxarı qalxır, ən hündür nöqtədə sanki bir anlıq dayanır, sonra aşağı enir. Havanın müqaviməti nəzərə alınmasa, həm suyun, həm də atdığın topun yolu eyni cür əyridir: enən hissə qalxan hissənin güzgü əksi olur. Bu əyrinin adı parabola.

Riyaziyyatda bu əyri $y=ax^2+bx+c$ düsturundan alınır. Ən maraqlısı odur ki, düsturdakı üç ədədə baxıb qövsün yuxarı, yoxsa aşağı açıldığını, zirvəsinin harada olduğunu və oxları harada kəsdiyini qrafiki çəkmədən deyə bilərsən. Bunun necə edildiyi aşağıdadır.

Niyə lazımdır

Funksiyanın ən kiçik və ya ən böyük qiyməti parabolanın təpəsinin ordinatıdır. Ona görə «ən hündür nöqtə hansıdır» və ya «ən az nə qədər olar» tipli suallar əslində təpəni tapmaq sualıdır. Kvadrat bərabərsizlikləri həll edəndə də bu qrafikdən istifadə edəcəksən.

İmtahanda qrafiki dəqiq çəkməyə vaxt olmur. Düsturdan bir-iki sətirlə təpəni və kökləri tapa bilsən, variantlar arasından düzgününü tez seçərsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzunun tapşırıqlarında əsasən parabola ilə işləyirsən: oxlarla kəsişmələri müəyyənləşdirir, təpənin koordinatlarını tapır və funksiyanın harada azaldığını seçirsən. Bəzən verilən qrafikə uyğun düsturu tanımalısan. Bunun üçün qolların istiqamətini, sıfırları və qrafikdə göstərilən əlavə nöqtəni birlikdə nəzərə al.

Qayda

Koordinatlar $(x;y)$ qaydasında yazılır: əvvəl absis, sonra ordinat gəlir. Qrafikdəki nöqtəni yoxlamaq üçün onun absisini düsturda yerinə qoy; nəticə ordinatla eyni olmalıdır.
Parabola $y=ax^2+bx+c$ kvadratik funksiyasının qrafikidir; burada $a\ne0$ . Qolların istiqamətini $a$ müəyyənləşdirir: müsbət əmsal yuxarıya, mənfi əmsal aşağıya yönəlmiş qollar verir.
Təpə nöqtəsi $y=a(x-m)^2+n$ yazılışında $(m;n)$ olur, simmetriya oxunun tənliyi isə $x=m$ şəklindədir. Çünki kvadrat ifadə $x=m$ üçün sıfır olur. $a>0$ halında ən kiçik qiymət, $a<0$ halında ən böyük qiymət $n$ olur. Xüsusi olaraq, $y=x^2+n$ üçün təpə $(0;n)$ nöqtəsidir.
Ümumi yazılışdan təpəni taparkən əvvəl $m=-\dfrac{b}{2a}$ hesabla, sonra həmin absisə uyğun ordinatı $n=f(m)$ ilə müəyyənləşdir.
Azalma aralığı taparkən qrafiki soldan sağa izlə. $y=a(x-m)^2+n$ üçün $a>0$ olduqda funksiya $(-\infty;m]$ aralığında azalır, $[m;+\infty)$ aralığında artır. $a<0$ halında isə bu iki aralıqda davranış əksinə olur.
Sıfırlar funksiyanın qiymətini sıfıra çevirən arqumentlərdir. Absis oxundakı kəsişmələri tapmaq üçün $f(x)=0$ tənliyini həll et və hər kökü $(x;0)$ şəklində yaz. Ordinat oxu ilə kəsişməni isə $x=0$ qoyaraq tap.
Parabolanın iki müxtəlif sıfırı $r$ və $s$ məlumdursa, $y=a(x-r)(x-s)$ yaz. $a$ əmsalını hesablamaq üçün sıfırlardan fərqli bir qrafik nöqtəsinin koordinatlarını bu bərabərlikdə yerinə qoy.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}y=a(x-m)^2+n,\quad a>0\\[6pt]x_{\min}=m,\quad y_{\min}=n\end{gathered}

Burada $a$ müsbət əmsaldır, $m$ və $n$ parabolanın ən aşağı nöqtəsinin müvafiq olaraq absisi və ordinatıdır. Mötərizədəki ifadəni $x-m$ ilə müqayisə edərək $m$ ədədinin işarəsinə diqqət et.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}y=ax^2+n,\quad a\ne0\\[6pt]T=(0;n)\end{gathered}

Burada $a$ kvadrat həddin əmsalı, $n$ sabit hədd, $T$ isə parabolanın təpəsidir. Verilən ifadədə sabit həddi müəyyən edib təpənin ordinatı kimi götür.

Öyrənilməli qayda

Absis oxundakı nöqtələrin ordinatı sıfır olduğuna görə parabolanın bu oxla kəsişmələrini $y=0$ şərti ilə tapırsan. Alınan kvadrat tənliyin hər həqiqi kökünü nöqtənin birinci koordinatı, sıfırı isə ikinci koordinatı kimi yaz.

Öyrənilməli qayda

Qrafik üzərindəki nöqtənin $x$ absisi və $y$ ordinatı funksiyanın düsturunu ödəməlidir. Müsbət koordinatlarda absis ordinatdan $k$ dəfə kiçikdirsə, $y=kx$ əlaqəsini düsturda yerinə qoy, koordinatları tapıb topla.

Öyrənilməli qayda

$y=a(x-m)^2+n$ şəklində $m$ təpənin absisidir: $a>0$ olarsa, funksiya təpəyə qədər azalır və ən böyük azalma aralığı $(-\infty;m]$ olur. Verilən aralığın sağ ucunu $m$ ilə müqayisə et və yalnız müsbət $a$ əmsallı ifadələri seç.

Öyrənilməli qayda

Qrafikin absis oxunu kəsdiyi yerlərdə $y=0$ , ordinat oxunu kəsdiyi yerdə isə $x=0$ olur. Şəkildə işarələnmiş nöqtələrin koordinatlarını variantlardakı düsturlarda yoxla: uyğun düstur onların hamısı üçün doğru bərabərlik verməlidir.

Öyrənilməli qayda

$y=a(x-m)^2+n$ ifadəsində $a<0$ olarsa, parabola aşağı açılır və funksiya təpənin sağında azalır. Burada $m$ təpənin absisidir; onu müəyyən edərək ən böyük azalma aralığını $[m;+\infty)$ şəklində yaz.

Öyrənilməli qayda

İki qrafikin ortaq nöqtəsində eyni absisə uyğun funksiya qiymətləri bərabərdir. Əvvəl $f(x)=g(x)$ tənliyindən absisləri tap, sonra hər birini funksiyalardan birində yerinə qoyaraq uyğun ordinatı hesabla.

Düsturdan qrafikə

Qrafik çəkmədən yalnız düsturla hesabla. Cavabı ədəd kimi yaz.

Nümunələr

y=x^2-x-12

parabolasının absis oxundakı nöqtələrini tap.

Həllə bax

Həlli: $y=0$ götürərək $(x-4)(x+3)=0$ alırsan. Köklər $4$ və $-3$ olduğundan axtarılan nöqtələr $(4;0)$ və $(-3;0)$ olur.

$y=2(x+2)^2-5$ üçün ən aşağı nöqtəni və azalma aralığını müəyyənləşdir.

Həllə bax

Həlli: $x+2=0$ bərabərliyi $x=-2$ verir. Kvadrat sıfır olanda $y=-5$ alınır. Deməli, təpə $(-2;-5)$ nöqtəsidir. Əmsal müsbətdir, buna görə funksiya $(-\infty;-2]$ aralığında azalır.

Parabolanın sıfırları $-1$ və $5$ -dir, qrafik $(0;10)$ nöqtəsindən keçir. Düsturu tap.

Həllə bax

Həlli: $y=a(x+1)(x-5)$ yazaraq $10=-5a$ , buradan $a=-2$ alırsan. Düstur $y=-2(x+1)(x-5)$ olur. Yoxlama: hər iki kökdə nəticə sıfırdır, $x=0$ üçün isə $y=10$ alınır.

y=x^2

və

y=x+2

qrafiklərinin ortaq nöqtələrini tap.

Həllə bax

Ortaq nöqtədə eyni absisə uyğun qiymətlər bərabərdir, ona görə $x^2=x+2$ yaz.
Hər şeyi bir tərəfə keçir: $x^2-x-2=0$ , yəni $(x-2)(x+1)=0$ . Absislər $2$ və $-1$ olur.
Ordinatları $y=x+2$ düsturundan tap: $x=2$ üçün $y=4$ , $x=-1$ üçün $y=1$ .
Yoxlama: $2^2=4$ və $(-1)^2=1$ , deməli hər iki nöqtə parabolanın da üzərindədir.

$(2;4)$ və $(-1;1)$

Tipik səhv

$y=-(x+2)^2+3$ : təpə $(2;3)$ , funksiya $(-\infty;2]$ aralığında azalır.

$x+2=x-(-2)$ olduğundan təpə $(-2;3)$ olur. Əmsal $-1$ , yəni mənfidir, ona görə funksiya $[-2;+\infty)$ aralığında azalır.

Mötərizədəki işarəni təpənin absisinə olduğu kimi köçürmə: absis mötərizədəki $x+2$ ifadəsini sıfıra bərabər edən ədəddir, burada $-2$ . Azalma aralığını yalnız təpəyə görə seçmə, əmsalın işarəsini də yoxla: mənfi əmsallı parabolada azalma təpədən sağdadır.

Özünü yoxla

$y=2x^2-4x-1$ parabolasının təpə nöqtəsini tap.

$y=-3(x-4)^2+2$ funksiyasının ən böyük azalma aralığını seç.

$y=x^2+x-6$ parabolası absis oxunu hansı nöqtələrdə kəsir?

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kvadratik funksiya və onun qrafiki», səh. 51
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «y = ax² + bx + c funksiyasının qrafikinin qurulması», səh. 62
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 6.2 «Funksiyanın qrafiki», səh. 11