Riyaziyyat, Ədədlər və ifadələr

Rasional ifadələr: kəsri vuruqlara ayır və sadələşdir

Rasional kəsri vuruqlara ayırıb ixtisar etməyi, kəsrləri bölməyi və uzun hesablamanı iki sətrə endirməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün təxminən 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: pəncərə yanında taxta masa, üstündə açıq boş dama-dama dəftər, karandaş və pozan.

Kalkulyatorsuz $101^2-99^2$ ifadəsini hesabla. Düz yolla getsən, iki dənə dörd-beşrəqəmli ədəd alırsan, sonra birini o birindən çıxırsan: $10201-9801=400$ . Bir az uzundur, səhv etmək də asandır.

İndi başqa cür bax: $(101-99)(101+99)=2\times200=400$ . Eyni cavabı daha az hesablama ilə aldın. Fərq ondadır ki, birinci yolda ədədlərlə, ikincidə isə ifadənin quruluşu ilə işləyirsən.

$\dfrac{12}{18}$ kəsrini $\dfrac{2}{3}$ şəklinə salanda da elə edirsən: hər iki ədəddə $6$ vuruğunu görüb atırsan. Rasional kəsrləri ixtisar edəndə də eyni üsulu işlədirsən: surətdə və məxrəcdə sıfırdan fərqli ortaq vuruğu tapıb atırsan, sadəcə bu vuruqlar çox vaxt hərflərlə yazılmış çoxhədlilər olur.

Niyə lazımdır

Fizikada, həndəsədə və cəbrin sonrakı mövzularında düsturlar tez-tez kəsr şəklində gəlir. Belə düsturları sadələşdirmək hesablamanı qısalda bilər. Kəsrli tənliklər və funksiyalar da birbaşa bu bacarığa söykənir.

İmtahanda isə ifadəni əvvəlcə sadələşdirmək hesablamanı qısaldır və vaxt qazandıra bilər. Çevirməni düz görsən, kvadratları və böyük hasilləri ayrıca hesablamağa ehtiyac qalmır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda sən çoxhədlini vuruqların hasili şəklində yazır, rasional kəsri ixtisar edir və iki kəsrin bölünməsini yerinə yetirirsən. Ədədi ifadənin qiymətini taparkən də kvadratlar fərqi və ortaq vuruqdan istifadə lazım olur. Əsas bacarıq uzun hesablamaya başlamazdan əvvəl ifadənin quruluşunu görmək, uyğun çevirməni seçmək və işarəni düzgün saxlamaqdır.

Qayda

Rasional kəsr çoxhədli olan surətin çoxhədli olan məxrəcə nisbətidir. Rasional kəsrlər və onlarla dörd hesab əməli vasitəsilə qurulan ifadələr rasional ifadələrdir.
Mümkün qiymətlər üçün ilkin ifadənin heç bir məxrəci sıfır olmamalıdır. Bölmə varsa, bölən kəsrin də qiyməti sıfırdan fərqli olmalıdır. İxtisardan sonra bu şərtlər qüvvədə qalır.
Ortaq vuruq hər həddə varsa, onu mötərizədən kənara çıxar: $AB+AC=A(B+C)$ . Burada $A$ ortaq vuruqdur; mötərizədə hər həddin ona bölünməsindən alınan ifadə qalır. Nəticəni mötərizəni açaraq yoxla.
Kvadratlar fərqi üçün $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ düsturunu tətbiq et. Burada $a$ və $b$ kvadrata yüksəldilən ədədlər və ya ifadələrdir. Əvvəl ortaq vuruğu çıxarmaq lazım gələ bilər.
İxtisar zamanı surətdə və məxrəcdə eyni, sıfırdan fərqli vuruğu aradan götürürsən. Vuruqlar əks işarəlidirsə, əvvəl $a-b=-(b-a)$ bərabərliyindən yararlan.
Bölmə üçün $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\times\dfrac{D}{C}$ yaz. Burada $A,B,C,D$ çoxhədlilərdir, $B\ne0$ , $C\ne0$ , $D\ne0$ . Sonra surətləri və məxrəcləri ayrı-ayrılıqda vur, ortaq vuruqları ixtisar et.
Qüvvətləri bölərkən $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ qaydasından istifadə edə bilərsən; burada $a\ne0$ , $m>n$ və üstlər natural ədədlərdir. Eyni qüvvətlərin nisbəti isə $1$ olur.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

a^2-b^2=(a-b)\times(a+b)

2 tapşırıqda

$a$ və $b$ kvadratları çıxılan ədədlərdir. Surətdə və məxrəcdə bu düsturla hasillər qur, sonra məxrəcdə ortaq vuruğu ayırıb kəsri ixtisar et.

$a$ və $b$ kvadrata yüksəldilən ifadələrdir. Əvvəlcə hədlərdəki ortaq vuruğu ayır, sonra mötərizədə alınan kvadratlar fərqini düstura əsasən hasilə çevir.

Öyrənilməli düstur

ma-mb=m\times(a-b)

$m$ hər iki həddin ortaq vuruğunu, $a$ və $b$ isə qalan vuruqları bildirir. Verilmiş ifadədə ortaq hərfi vuruğu mötərizənin qarşısına çıxar, mötərizədə qalan hədlərin fərqini yaz.

Öyrənilməli düstur

a-b=-(b-a)

$a$ və $b$ çıxmada iştirak edən ifadələrdir, onların yerini dəyişəndə fərqin işarəsi dəyişir. Surətdəki fərqi bu düsturla yaz, sonra şərtə görə sıfır olmayan ortaq vuruğu ixtisar et.

Öyrənilməli düstur

\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}=\frac{A\times D}{B\times C},\quad B\ne0,\ C\ne0,\ D\ne0

$A$ , $B$ , $C$ və $D$ kəsrlərin surət və məxrəcindəki ifadələrdir, bölən kəsir sıfır ola bilməz. Bölməni bölənin tərsi ilə vurma kimi yazıb ortaq ədədi və hərfi vuruqları ixtisar et.

Öyrənilməli qayda

Standart şəkildəki sıfırdan fərqli birhədlinin dərəcəsini dəyişənlərin qüvvət üstlərini toplamaqla tap, standart şəkildəki çoxhədli üçün isə hədlərin dərəcələrindən ən böyüyünü seç. Parametri tapmaq üçün verilmiş birhədlinin dərəcəsini çoxhədlinin dərəcəsinə bərabərləşdir.

Əvvəl quruluşu gör, sonra hesabla

Hər ifadənin qiymətini tap. Uzun hesablamaya girmə: əvvəl ortaq vuruğa, kvadratlar fərqinə və ya işarəyə bax.

Nümunələr

\dfrac{38^2-22^2}{60\times8}

ifadəsinin qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: Surətdə kvadratlar fərqini hasilə çevir: $\dfrac{(38-22)(38+22)}{60\times8}=\dfrac{16\times60}{60\times8}=2$ . Beləliklə, kvadratları ayrıca hesablamağa ehtiyac qalmır.

$x\ne3$ olduqda $\dfrac{4ax^2-36a}{3(3-x)}$ kəsrini sadələşdir.

Həllə bax

Həlli: Surəti mərhələlərlə vuruqlara ayır: $4ax^2-36a=4a(x^2-9)=4a(x-3)(x+3)$ . Məxrəcdə $3-x=-(x-3)$ yazdıqda nəticə $-\dfrac{4a(x+3)}{3}$ olur. İlkin $x\ne3$ şərtini saxla.

$s\ne0$ , $t\ne0$ üçün $\dfrac{8s^3}{t^2}:\dfrac{4s}{3t}$ ifadəsini sadələşdir.

Həllə bax

Həlli: Bölən kəsrin surəti ilə məxrəcinin yerini dəyişərək vur: $\dfrac{8s^3}{t^2}\times\dfrac{3t}{4s}=\dfrac{6s^2}{t}$ . Burada $\dfrac{s^3}{s}=s^2$ və $\dfrac{t}{t^2}=\dfrac1t$ alınır.

Tipik səhv

$\dfrac{x+4}{x}=4$

$\dfrac{x+4}{x}$ ixtisar olunmur, çünki surətdə $x$ vuruq yox, toplanandır. Amma $\dfrac{x(x+4)}{x}=x+4$ , burada $x\ne0$ .

Cəmdəki ayrı-ayrı hədləri ixtisar etmə: ixtisardan əvvəl bütün surətin və bütün məxrəcin hasil şəklində yazıldığına bax. Yalnız hər iki tərəfdə olan ortaq vuruğu atmaq olar.

Fərqin hədlərinin yerini dəyişəndə yaranan mənfi işarəni də unutma: $\dfrac{x-3}{3-x}=-1$ , $1$ deyil. Bölmədə isə yalnız bölən kəsri tərsinə çevir, birinci kəsr olduğu kimi qalır.

Özünü yoxla

$x\ne-3$ olduqda $\dfrac{6x+18}{2x+6}$ kəsrini sadələşdir.

$y\ne7$ olduqda $\dfrac{y^2-49}{7-y}$ kəsrini sadələşdir.

$\dfrac{x+1}{x-2}:\dfrac{x+1}{3}$ ifadəsini sadələşdir və ilkin ifadənin mümkün qiymətlərini nəzərə alan cavabı seç.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 5.1 «Rasional kəsrlər», səh. 7
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 5.2 «Rasional kəsrlərin vurulması və bölünməsi», səh. 11
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 3.2 «Çoxhədlilər», səh. 63
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.2 «İki ədədin cəmi ilə fərqinin hasili», səh. 87
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.4 «Çoxhədlilərin vuruqlara ayrılması», səh. 96
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.5 «Müxtəsər vurma düsturlarının köməyi ilə vuruqlara ayırma», səh. 99