Riyaziyyat, Ədədlər və ifadələr

Kök və qüvvət, irrasional ifadələr: sadələşdirməyi öyrən

Köklü və qüvvətli ifadələri sadələşdirməyi, modulu düzgün açmağı və kökün tam hissəsini kalkulyatorsuz tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə ortadan qatlanmış ağ kağız vərəqləri.

Printerin yanındakı A4 vərəqini götür və eninə ortadan qatla. Alınan yarım vərəq əvvəlkinin kiçildilmiş surətinə bənzəyir: uzun tərəfin qısa tərəfə nisbəti təxminən eyni qalır.

Bu təsadüf deyil. A formatlı vərəqlərdə tərəflərin nisbəti $\sqrt2$ seçilib, millimetrlə verilmiş ölçülərin nisbəti isə bu ədədə çox yaxındır. Tərəflər $1$ və $\sqrt2$ olsa, qatlanmış vərəqin tərəfləri $\frac{\sqrt2}{2}$ və $1$ olur. Onda nisbət $\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2$ alınır, yəni yenə eyni ədəd.

Bunu yoxlamaq üçün kalkulyator lazım deyil. Köklərlə rahat işləməyi bacarmaq kifayətdir, bu səhifə də elə bunu öyrədir.

Niyə lazımdır

Köklər və qüvvətlər riyaziyyatın çox yerində qarşına çıxır. Pifaqor teoremi ilə tərəfi tapanda, kvadrat tənliyin diskriminantından kök alanda, sahəsi məlum olan kvadratın tərəfini hesablayanda belə ifadələr alınır. Onları sadə şəklə salmağı bacaran şagird həlli qısa yazır və hesablamada az səhv edir.

Testdə cavab adətən yığcam şəkildə verilir, məsələn, $3\sqrt2$ . Sən isə $\sqrt{18}$ alıbsansa, onun həmin variant olduğunu tanımalısan: $\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt2$ .

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Köklü cəmin və fərqin kvadratını açmaq, eyni əsaslı qüvvətlərdən ibarət ifadəni sadələşdirmək, iç-içə kökləri hesablamaq tələb olunur. Həmçinin cüt dərəcəli kökdən qüvvəti çıxararkən işarəni müəyyənləşdirir, kvadrat kökün tam hissəsini tapırsan. Burada kökü təqribi hesablamaqdan çox, uyğun qaydanı seçmək işini asanlaşdırır.

Qayda

Kvadrat kök: $a\ge0$ üçün $\sqrt a$ elə mənfi olmayan ədəddir ki, kvadratı $a$ olsun. Buna görə $(\sqrt a)^2=a$ . Həqiqi ədədlər arasında mənfi ədəddən kvadrat kök almaq mümkün deyil.
Köklərin hasili: $a\ge0$ və $b\ge0$ şərti ilə $\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$ . Bu qayda kvadratı açarkən yaranan köklü hasili bir kök altında yazmağa imkan verir.
Cəm üçün $(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$ , fərq üçün $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$ yaz. Burada $u$ və $v$ mötərizədəki ifadələrdir. Köklü həddin əmsalı varsa, onun da kvadratını hesabla. Sonra oxşar hədləri birləşdir.
Tam üst: $a\ne0$ və tam $m,n$ üçün $a^m\times a^n=a^{m+n}$ , $a^m:a^n=a^{m-n}$ . Vurmada üstlər toplanır, bölmədə bölənin üstü çıxılır. Həmçinin $a^0=1$ , natural $n$ üçün $a^{-n}=\frac1{a^n}$ .
Modul: natural $k$ üçün $\sqrt[2k]{u^{2k}}=|u|$ . Əvvəl $u$ ifadəsinin işarəsini yoxla: $u\ge0$ olduqda modul $u$ , $u<0$ olduqda isə $-u$ olur. Tək dərəcədə isə $\sqrt[2k+1]{u^{2k+1}}=u$ .
İç-içə köklərdə hesablamağa ən daxildəki kökdən başla. Alınan qiyməti yerinə yaz, xarici kökün altındakı əməli yerinə yetir, sonra həmin kökü hesabla.
Tam hissə: $N\ge0$ üçün elə mənfi olmayan tam $r$ seç ki, $r^2\le N<(r+1)^2$ olsun. Onda $r\le\sqrt N<r+1$ alınır və axtarılan tam hissə $r$ olur. Kalkulyatora ehtiyac yoxdur.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}(x-y)^2=x^2-2\times x\times y+y^2\\[6pt]\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a,b\geq0)\end{gathered}

$x$ və $y$ fərqin hədlərini, $a$ və $b$ isə mənfi olmayan kökaltı ədədləri göstərir. Fərqi kvadrata yüksəldərkən köklərin hasilini bu qayda ilə hesabla, sonra oxşar hədləri birləşdir.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\\[6pt]a^{-r}=\frac{1}{a^r}\quad(a>0)\end{gathered}

$m$ tam, $n\geq2$ natural, $r$ rasional ədəddir. Onluq kəsrlə verilmiş üstü adi kəsrə çevir, hər qüvvəti hesabla və alınan qiymətləri topla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\sqrt{a^2\times b}=a\times\sqrt b\\[6pt]\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\\[6pt]\frac{c}{\sqrt b}=\frac{c\times\sqrt b}{b}\end{gathered}

Burada $a\geq0$ , $b>0$ , $c$ isə istənilən həqiqi ədəddir. Kökləri bu düsturlarla sadələşdir, bərabər hədlərin əks işarələrlə verildiyini yoxla və qalan kəsrin məxrəcini irrasionallıqdan azad et.

Öyrənilməli düstur

\sqrt[n]{a^n}=a\quad(a\geq0,\ n\in\mathbb{N},\ n\geq2)

2 tapşırıqda

Burada $a$ mənfi olmayan ədəd, $n$ isə kökün dərəcəsidir. Kökaltı hasili bir ədədin dördüncü qüvvəti şəklində yaz və hesabi kökün mənfi qiymət almadığını nəzərə al.

$n$ kökün dərəcəsini, $a$ isə mənfi olmayan ədədi göstərir. Vuruqları eyni əsaslı qüvvətlər şəklində yazıb üstlərini topla, sonra hasili dördüncü qüvvət şəklinə gətir və kökü tap.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}(x+y)^2=x^2+2\times x\times y+y^2\\[6pt]\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a,b\geq0)\end{gathered}

$x$ və $y$ cəmin hədlərini, $a$ və $b$ isə mənfi olmayan kökaltı ədədləri göstərir. Mötərizəni açdıqdan sonra köklərin hasilini hesabla və oxşar hədləri birləşdir.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a^m\times a^n=a^{m+n}\\[6pt]\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a\ne0)\end{gathered}

$a$ qüvvətlərin ortaq əsası, $m$ və $n$ tam üstlərdir. Vurma əməlində üstləri cəmlə, bölmə əməlində isə məxrəcdəki qüvvətin üstünü çıxaraq mənfi işarələrə diqqət et.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\frac{a^r}{b^r}=\left(\frac{a}{b}\right)^r\\[6pt](a^p)^q=a^{p\times q}\end{gathered}

$a,b>0$ , $r,p,q$ isə rasional ədədlərdir. Üstlər bərabər olduğu üçün əsasların nisbətini hesabla, sonra alınan əsası uyğun qüvvət şəklində yazıb üstləri vur.

Öyrənilməli düstur

\sqrt[2n]{x^{2n}}=|x|\quad(n\in\mathbb{N})

$x$ istənilən həqiqi ədəd, $n$ isə müsbət natural ədəddir. Hər kökü mütləq qiymətlə əvəz et, sonra mütləq qiymətin daxilindəki fərqin işarəsini müəyyənləşdir: mənfi deyilsə, özünü, mənfidirsə, əksini götür.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\\[6pt]a^{-r}=\frac{1}{a^r}\\[6pt]a^0=1\quad(a>0)\end{gathered}

$m$ tam, $n\geq2$ natural, $r$ rasional ədəddir. Qarışıq ədədlə verilmiş üstü düzgün olmayan kəsrə çevir, mənfi və sıfır üstlərin qaydalarını tətbiq edib toplananları ayrı hesabla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}(a^p)^q=a^{p\times q}\\[6pt]a^p\times a^q=a^{p+q}\end{gathered}

Burada $a>0$ , $p$ və $q$ isə rasional üstlərdir. Əsasları eyniləşdir, qüvvətin qüvvətində üstləri vur, sonra hasildəki qüvvətlərin üstlərini işarələrinə diqqət edərək topla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\sqrt{a^2+2\times a\times b+b^2}=a+b\\[6pt](a-b)\times(a+b)=a^2-b^2\end{gathered}

Burada $a$ və $b$ mənfi olmayan ədədlərdir. Daxili kökün altındakı ifadəni cəmin kvadratı kimi tanı, kökü sadələşdir və alınan qoşma ifadələrin hasilini kvadratlar fərqi ilə əvəz et.

Öyrənilməli qayda

$n\geq2$ cüt natural ədəd olduqda $x^{-1/n}=1/\sqrt[n]{x}$ ifadəsi yalnız $x>0$ üçün mənalıdır: kökaltı ifadə mənfi ola bilməz, məxrəc də sıfır olmamalıdır. Qüvvətin əsasını müsbət edən şərti yaz və onu ödəyən ən kiçik tam ədədi seç.

Öyrənilməli qayda

Hesabi kvadrat kök kökaltı ədədi kvadratı ilə verən, sıfırdan kiçik olmayan ədəddir. İçəridəki kökün qiymətini tapıb vuruqla vur, sonra alınan hasilin hesabi kvadrat kökünü hesabla.

Öyrənilməli qayda

Kökün dərəcəsi ən azı iki olan natural ədəd olmalıdır; dərəcə cütdürsə, kökaltı ifadə mənfi ola bilməz, təkdirsə, istənilən həqiqi qiymət ala bilər. Əvvəl dərəcəyə görə mümkün natural qiymətləri seç, sonra cüt və tək dərəcələr üçün kökaltı ifadəni yoxla.

Öyrənilməli qayda

$k\geq0$ tam ədəd olduqda $k^2\leq a<(k+1)^2$ şərti $k\leq\sqrt{a}<k+1$ deməkdir və kökün tam hissəsi $k$ olur. Kökaltı ədədi ardıcıl tam ədədlərin kvadratları ilə müqayisə et.

Özün hesabla

Hər ifadənin qiymətini tap və yaz. Cavabı yoxlayandan sonra həllin addımlarını görəcəksən.

Nümunələr

(2\sqrt5-\sqrt3)^2+4\sqrt{15}

ifadəsini hesabla.

Həllə bax

Həlli: Kvadratı açdıqda $20-4\sqrt{15}+3+4\sqrt{15}=23$ alınır. Köklü hədlər qarşılıqlı əks olduğundan cəmləri sıfırdır.

$x\ne0$ üçün $x^8\times x^{-3}:x^{-4}$ ifadəsini sadələşdir.

Həllə bax

Həlli: Nəticənin üstü $8+(-3)-(-4)=9$ olur. Deməli, ifadə $x^9$ şəklinə düşür; mənfi üstü çıxmaq burada müsbət ədəd əlavə etməkdir.

$\sqrt[4]{(3-\sqrt{17})^4}$ ifadəsini sadələşdir.

Həllə bax

Həlli: $16<17<25$ olduğundan $4<\sqrt{17}<5$ . Deməli, $3-\sqrt{17}<0$ və kök $|3-\sqrt{17}|=\sqrt{17}-3$ olur. Bu müqayisə həm də $\sqrt{17}$ ədədinin tam hissəsinin 4 olduğunu göstərir.

Tipik səhv

$\sqrt{(2-\sqrt5)^2}=2-\sqrt5$

$\sqrt{(2-\sqrt5)^2}=|2-\sqrt5|=\sqrt5-2$ , çünki $4<5$ olduğundan $\sqrt5>2$ və $2-\sqrt5<0$ .

$\sqrt{u^2}=u$ yazmağa tələsmə: $u$ mənfi ola bilər, kökün qiyməti isə mənfi deyil, ona görə əvvəl modulu yaz, sonra işarəni araşdır.

Başqa yerlərdə də diqqətli ol: kvadratı açanda ikiqat hasili unutma, bölmədə isə mənfi üstü mötərizəyə al ki, işarəni düzgün dəyişəsən.

Özünü yoxla

$(\sqrt6-\sqrt2)^2$ ifadəsini sadələşdir.

$5^{-2}:5^{-3}\times5^{-2}$ ifadəsinin qiymətini tap.

$x<4$ olduqda $\sqrt{(x-4)^2}$ ifadəsini sadələşdir.

Bu mövzuda sınaq yaz

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «n-ci dərəcədən kök», səh. 12
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Rasional üstlü qüvvətin xassələri», səh. 22
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 1.1 «Kvadrat köklər», səh. 9
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 1.6 «Hesabi kvadrat kökün xassələrinin tətbiqi», səh. 28
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 6.1 «Tam üstlü qüvvət və onun xassələri», səh. 39