Riyaziyyat, Çoxüzlülər, onların səthi və həcmi

Paralelepiped və onun diaqonalı: qutuya nə sığar?

Paralelepipedin növünü tanımağı, üz diaqonalını fəza diaqonalından ayırmağı və diaqonalın uzunluğunu hesablamağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: açıq karton qutunun içində dibin bir küncündən qarşı yuxarı küncə çəpəki qoyulmuş uzun, nazik taxta çubuq.

Uzun, nazik bir çubuğu qutuya qoymaq istəyirsən, amma qutunun dibinə sığmır. Onu dibdə bir küncdən qarşı küncə çəpəki qoyursan. Bu dəfə yer çoxalır, çünki dibin diaqonalı onun hər iki tərəfindən uzundur.

Yenə də sığmırsa, hələ tələsmə. Çubuğun bir ucunu dibin küncündə saxla, o biri ucunu isə qarşı tərəfdəki yuxarı küncə qaldır. Qutunun içində bundan uzun düz parça yoxdur. Bu parça paralelepipedin diaqonalıdır. Onu ölçmədən, təkcə üç ölçüyə baxıb hesablamaq olar.

Niyə lazımdır

Bu bacarıq hər dəfə “sığarmı?” sualı yarananda işə yarayır: qutuya, şkafa, ya da otağa uzun bir əşya sığacaqmı? Həndəsədə də fəza diaqonalı çox vaxt daha böyük məsələnin bir addımı olur. Onu tapmaq üçün fəzadakı məsələni iki düzbucaqlı üçbucağa bölürsən.

İmtahanda bu mövzu Pifaqor teoremini fəzada işlətməyi yoxlayır. Burada diqqət hesablamadan da vacibdir: hansı üçbucağa baxırsan və hansı parça onun hipotenuzudur.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda düzbucaqlı paralelepipedə aid məsələdə verilən ölçülərlə həcmi hesablamaq, açılışdan qutunun ölçülərini müəyyənləşdirmək və üzlərin sahələrinə əsasən tam səthin sahəsini tapmaq tələb oluna bilər. Bu mövzuda fiqurun quruluşunu tanımalı, üz diaqonalını paralelepipedin diaqonalından ayırmalı və diaqonalın uzunluğunu hesablamağı bacarmalısan.

Qayda

Paralelepiped paraleloqram oturacaqlı prizmadır. Onun altı üzü, on iki tili və səkkiz təpəsi var. Üzlərinin hamısı paraleloqramdır; qarşı üzlər həm paraleldir, həm də bir-biri ilə konqruyentdir.
Düz paralelepiped üçün yan tillər oturacaq müstəvisinə perpendikulyardır. Belə fiqurun hündürlüyünü yan tilin uzunluğu ilə ifadə edə bilərsən. Oturacaq isə mütləq düzbucaqlı olmur.
Düz paralelepipedin oturacağı düzbucaqlıdırsa, fiqur düzbucaqlı paralelepiped adlanır. Bir təpədə görüşən üç til qarşılıqlı perpendikulyardır; onların uzunluqları fiqurun üç ölçüsüdür.
Diaqonal ortaq üzü olmayan iki təpə arasındakı parçadır. Paralelepipeddə dörd belə diaqonal var. Üzün diaqonalı isə həmin üzün qarşı təpələrini birləşdirir və bütövlükdə fiqurun diaqonalı sayılmır.
Düz paralelepipeddə oturacaq diaqonalını $q$ , hündürlüyü $h$ ilə işarə et. Bunlar uyğun fəza diaqonalı ilə düzbucaqlı üçbucaq yaradır. Pifaqor teoreminə görə $d^2=q^2+h^2$ . Oturacağın iki diaqonalı fərqlidirsə, onları ayrıca nəzərə al.
Düzbucaqlı paralelepipeddə ölçülər $a,b,c$ olduqda əvvəlcə oturacaqda $q^2=a^2+b^2$ , sonra $d^2=q^2+c^2$ yazırsan. Beləliklə, $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ . Bu fiqurun dörd diaqonalının uzunluqları bərabərdir.

Qutunun ölçülərini dəyiş

Düzbucaqlı paralelepipedin üç ölçüsünü sürüşdür. Oturacaq diaqonalı və fəza diaqonalı dərhal yenidən hesablanır.

Nümunələr

Düzbucaqlı paralelepipedin oturacağının tərəfləri

9

sm və

12

sm, hündürlüyü

20

sm-dir. Oturacaq və fəza diaqonallarını tap.

Həllə bax

Oturacaqda $q=\sqrt{9^2+12^2}=15$ sm. Sonra $d=\sqrt{15^2+20^2}=25$ sm alırsan.

Kubun tili $3$ sm-dir. Onun diaqonalını tap.

Həllə bax

Kubun üç ölçüsü də eynidir. Buna görə $d=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=3\sqrt3$ sm. Üz diaqonalı isə yalnız iki tilə görə hesablanır: $q=3\sqrt2$ sm.

Düz paralelepipedin oturacaq diaqonalları $5$ sm və $9$ sm, yan tili $12$ sm-dir. Fəza diaqonallarının uzunluqlarını tap.

Həllə bax

Hündürlük $12$ sm olduğundan $d_1=\sqrt{5^2+12^2}=13$ sm və $d_2=\sqrt{9^2+12^2}=15$ sm. Deməli, burada iki müxtəlif uzunluq alınır.

Tipik səhv

Düz paralelepipedin oturacağı tərəfləri $4$ sm və $5$ sm olan paraleloqramdır, kiçik oturacaq diaqonalı $5$ sm, yan tili $12$ sm. Şagird yazır: $d=\sqrt{4^2+5^2+12^2}=\sqrt{185}$ sm.

Oturacaq düzbucaqlı deyil, buna görə uyğun oturacaq diaqonalından başlayırsan: $d_1=\sqrt{5^2+12^2}=13$ sm. İkinci fəza diaqonalını oturacağın o biri diaqonalı ilə ayrıca hesablayırsan.

Üç tilin kvadratlarını hər paralelepipeddə toplama: bu üsul düzbucaqlı paralelepiped üçündür. Əvvəl fiqurun növünü müəyyənləşdir. Düz paralelepipeddə oturacaq paraleloqramdırsa, onun uyğun diaqonalından başla.

Hesabladığın parçanın üzdə yerləşdiyini, yoxsa fiqurun daxilindən keçdiyini də yoxla: üz diaqonalı fiqurun diaqonalı deyil.

Özünü yoxla

Paralelepipedin fəza diaqonalı hansı parçadır?

Düzbucaqlı paralelepipedin fəza diaqonalı $7$ sm, iki ölçüsü $2$ sm və $3$ sm-dir. Üçüncü ölçünü tap.

Düz paralelepipedin oturacağı düzbucaqlı olmayan paraleloqramdır. Oturacaq diaqonallarından biri $8$ sm, yan til $6$ sm-dir. Bu oturacaq diaqonalına uyğun fəza diaqonalını tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Prizmalar», səh. 170