Riyaziyyat, Çoxüzlülər, onların səthi və həcmi

Prizma, piramida və kəsik piramidanın səthi: necə hesablanır

Prizmanın, piramidanın və kəsik piramidanın yan və tam səthini tapmağı, apofemi yan tillə qarışdırmamağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masanın üstündə açılıb düz yayılmış karton qutu və onun yanında qapalı eyni qutu.

Evə gələn karton qutunu aç və düz yerə yay. Qarşında bir parça karton qalacaq, kənarlarında da qatlanıb yapışdırılan qulaqcıqlar. Qutunun altı üzü var və hər biri düzbucaqlıdır. Bu altı sahənin cəmi qutunun tam səthidir: qapalı qutuya bundan az karton getməz. Qulaqcıqlar və üst-üstə düşən yerlər isə üstünə bir az da karton aparır.

Hədiyyə qutusunu bükəndə də eyni sual çıxır: kağız ən azı qutunun bütün üzlərini örtməlidir. Piramida şəklində dam isə başqa hekayədir: onun yalnız üçbucaq üzləri örtülür, altdakı oturacağı heç kim kirəmitlə örtmür.

Bu mövzu elə bunu sayır: hansı üzləri toplayırsan və hər üzün sahəsini necə tez taparsan.

Niyə lazımdır

Yan səth və tam səth fərqi gündəlik işdə dərhal görünür: otağın divarlarını rəngləyəndə döşəmə və tavanı saymırsan, qutunu isə bütöv bükürsən. Hər halda iş eynidir: üzləri tanı, sahələrini topla.

İmtahanda bu düsturlar çox vaxt tərsinə işlədilir: səth verilir, hündürlüyü, perimetri və ya apofemi tapırsan. Düsturu yaxşı başa düşən onu istənilən tərəfdən oxuyur və bir neçə sətirdə cavaba çatır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Düz prizmanın yan səthini oturacağın perimetri ilə hündürlüyə görə, tam səthini isə yan səth və oturacağın sahəsinə görə tapmaq, tərsinə isə yan səthdən perimetri və ya hündürlüyü hesablamaq tələb olunur. Düzbucaqlı paralelepipedin ölçülərinin nisbəti və diaqonalı verilir, sonra tam səth soruşulur. Düzgün piramidada açılış şəkli verilir və tam səthə görə apofem tapılır. Bəzən bütün tillərin cəmi verilir, əvvəlcə bir tilin uzunluğunu tapmaq lazım gəlir.

Qayda

Düz prizmanın yan səthi: $S_{yan}=P\times H$ , burada $P$ oturacağın perimetri, $H$ hündürlükdür (yan tilin uzunluğu).
Prizmanın tam səthi: $S_{tam}=2S_{ot}+S_{yan}$ . Düzbucaqlı paralelepipedin ölçüləri $a$ , $b$ , $c$ olarsa, $S=2(ab+bc+ac)$ , kubun tili $a$ olarsa, $S=6a^2$ .
Düzgün piramidanın yan səthi: $S_{yan}=\dfrac12\,P\times h_{ap}$ , burada $h_{ap}$ apofemdir, yəni yan üzün təpədən oturacağın tərəfinə çəkilmiş hündürlüyü. Tam səth: $S_{tam}=S_{yan}+S_{ot}$ .
Düzgün kəsik piramidanın yan səthi: $S_{yan}=\dfrac12(P_1+P_2)\times h_{ap}$ , burada $P_1$ və $P_2$ oturacaqların perimetrləridir. Tam səthə iki oturacağın sahəsi də əlavə olunur.

Yan səthdən tam səthə
Fiqur	Tam səth
Prizma	$S_{yan}+2S_{ot}$
Piramida	$S_{yan}+S_{ot}$

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

S_{\text{yan}}=P\times H

Düz üçbucaqlı prizma: oturacağın perimetri P, hündürlüyü H.

2 tapşırıqda

$P$ oturacağın perimetri, $H$ prizmanın hündürlüyüdür. Düz prizmada yan til hündürlüyə bərabərdir, ona görə perimetri yan tilə vur.

$P$ oturacağın perimetri, $H$ prizmanın hündürlüyüdür. Yan səthin sahəsi və hündürlük məlum olduqda perimetr $P=\frac{S_{\text{yan}}}{H}$ kimi tapılır.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}S_{\text{tam}}=S_{\text{ot}}+S_{\text{yan}},\\[6pt] S_{\text{yan}}=\frac{1}{2}P_{\text{ot}}\times h_{\text{ap}}\end{gathered}

Düzgün dördbucaqlı piramida: oturacağın sahəsi Sot, perimetri Pot, apofemi hap.

$P_{\text{ot}}$ oturacağın perimetri, $h_{\text{ap}}$ düzgün piramidanın apofemidir. Tam səthdən oturacağın sahəsini çıxıb yan səthi tapırıq, sonra apofemi ifadə edirik.

Öyrənilməli düstur

S_{yan}=P_{ot}\times H

Düz üçbucaqlı prizma: oturacağın perimetri Pot, hündürlüyü H.

$P_{ot}$ oturacağın perimetri, $H$ prizmanın hündürlüyüdür. Üçbucaqlı prizmanın 9 tili olduğundan əvvəlcə bir tilin uzunluğu tapılır.

Öyrənilməli düstur

S=2(ab+bc+ac)

Düzbucaqlı paralelepiped: ölçüləri a, b, c, diaqonalı d.

$a$ , $b$ , $c$ düzbucaqlı paralelepipedin ölçüləridir. Əvvəlcə $d^2=a^2+b^2+c^2$ düsturu ilə ölçüləri tap, sonra tam səthi hesabla.

Öyrənilməli düstur

S_{\text{tam}}=2S_{\text{ot}}+P_{\text{ot}}\times H,\quad V=S_{\text{ot}}\times H

Düz üçbucaqlı prizma: oturacağın sahəsi Sot, perimetri Pot, hündürlüyü H.

$S_{\text{ot}}$ və $P_{\text{ot}}$ oturacağın sahəsi və perimetri, $H$ prizmanın hündürlüyüdür. Məlum tam səthdən $H$ -ı tap, sonra həcmi hesabla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}S_{yan}=P_{ot}\times H\\[6pt] V=S_{ot}\times H\end{gathered}

Düz prizmanın yan səthi oturacaq perimetri ilə hündürlüyün hasilinə, həcmi isə oturacağın sahəsi ilə hündürlüyün hasilinə bərabərdir. Burada əvvəlcə $H$ tapılır, sonra trapesiyanın sahəsi hesablanır.

Piramidanı özün qur

Düzgün dördbucaqlı piramidanın oturacağının tərəfini $a$ və apofemini $h$ dəyiş, yan və tam səthin necə dəyişdiyinə bax.

Nümunələr

Oturacağı katetləri 5 və 12, hipotenuzu 13 olan düzbucaqlı üçbucaq şəklində, hündürlüyü 10 olan düz prizmanın tam səthini tapaq.

Həllə bax

P=5+12+13=30

S_{yan}=30\times 10=300

S_{ot}=\dfrac{5\times 12}{2}=30

S_{tam}=2\times 30+300=360

Düzgün dördbucaqlı piramidanın oturacağının tərəfi 8, apofemi 5-dir. Tam səthi tapaq.

Həllə bax

$P=4\times 8=32$ , $S_{yan}=\dfrac12\times 32\times 5=80$ . $S_{ot}=8^2=64$ . $S_{tam}=80+64=144$ .

Düzgün dördbucaqlı prizmanın yan səthi 120, hündürlüyü 6-dır. Tam səthi tapaq.

Həllə bax

$P=\dfrac{120}{6}=20$ , oturacağın tərəfi $20:4=5$ . $S_{ot}=5^2=25$ . $S_{tam}=2\times 25+120=170$ .

Tipik səhv

Düzgün dördbucaqlı piramidanın oturacağının tərəfi 6, yan tili 5, apofemi 4-dür. Tam səth: $S=\dfrac12\times 24\times 5=60$ .

Apofem $h_{ap}=4$ götürülür: $S_{yan}=\dfrac12\times 24\times 4=48$ , $S_{ot}=6^2=36$ , $S_{tam}=48+36=84$ .

Səhv sətirdə düstura apofem əvəzinə yan tilin uzunluğu yazılıb. Apofem yan üzün hündürlüyüdür və yan tildən kiçikdir; düzgün yol yan üzün təpədən oturacağın tərəfinə endirilən hündürlüyünü götürməkdir.

İkinci səhv: tam səth soruşulanda yan səthi hesablayıb dayanmaq. Nümunə 1-də $300$ yan səthdir, tam səth isə iki oturacağı da əlavə edəndən sonra $360$ alınır.

Özünü yoxla

Düz prizmanın tam səthi $162$ , bir oturacağının sahəsi $18$ , oturacağının perimetri isə $18$ -dir. Prizmanın hündürlüyünü tap.

Düzgün dördbucaqlı piramidanın oturacağının tərəfi $10$ , tam səthi $220$ -dir. Apofemi tap.

Düzgün dördbucaqlı kəsik piramidanın oturacaqlarının tərəfləri $6$ və $2$ , apofemi $5$ -dir. Tam səthi tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

RiyaziyyatPrizma, piramida və kəsik piramidanın həcmiƏsas tapşırıq prizmanın həcm düsturunu iki istiqamətdə işlətməkdir: oturacağın sahəsi və hündürlüyə görə…

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Prizmanın səthinin sahəsi», səh. 175
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Piramidanın yan səthinin və tam səthinin sahəsi», səh. 183
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Kəsik piramida», səh. 190
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 7.1 «Kub və kuboidin səthinin sahəsi», səh. 63