Riyaziyyat, Çoxüzlülər, onların səthi və həcmi

Prizma, piramida və kəsik piramidanın həcmi: bir düstur, üç fiqur

Prizmanın, piramidanın və kəsik piramidanın həcmini tapmağı, maili prizmada hündürlüyü düzgün götürməyi və litrlə verilmiş həcmi kub santimetrə çevirməyi öyrənəcəksən.

3 dəqiqəlik oxu

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masanın üstündəki şüşə akvariuma qabdan su tökülür.

Oturacaqları eyni, hündürlükləri də eyni olan iki qab təsəvvür et: biri prizma, o biri piramida formasındadır. Piramidanı su ilə doldurub prizmaya töksən, prizmanı doldurmaq üçün bunu düz üç dəfə etməli olacaqsan.

Bu «üçdə bir» təsadüf deyil, bu mövzunun əsas fikridir. Piramidanın təpəsini oturacağa paralel müstəvi ilə kəsib atsan, kəsik piramida qalır. Onun da öz düsturu var, bu düstur da elə həmin iki düsturun üstündə qurulub.

Akvariuma neçə litr su sığır, qutuya nə qədər qum gedir: bunların hamısı eyni sualdır. Oturacağın sahəsi nə qədərdir, hündürlük nə qədərdir?

Niyə lazımdır

Burada əslində bir düstur yadda saxlayırsan: oturacağın sahəsi vurulsun hündürlüyə. Piramida bunun üçdə biridir. Kəsik piramidada isə iki oturacaq sahəsi, bir də onların hasilinin kökü işə düşür. Bu əlaqəni görəndə üç düsturu ayrı-ayrı əzbərləməyə ehtiyac qalmır.

Düsturdan əvvəlki addımda da səhv etmək olar: hündürlüyü səhv götürmək və vahidi çevirməyi unutmaq səhv cavaba gətirir. Ona görə qayda ilə yanaşı bu addımları da yoxlamağı vərdiş et.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Əsas tapşırıq prizmanın həcm düsturunu iki istiqamətdə işlətməkdir: oturacağın sahəsi və hündürlüyə görə həcmi tapmaq, ya da həcmi və hündürlüyü bilib oturacağın sahəsini hesablamaq. Qab və ya akvarium məsələlərində litrlə verilmiş su həcmindən suyun qatının hündürlüyü tapılır, bəzən faizlə soruşulur. Ali səviyyəli tapşırıqlarda maili prizma, piramida və kəsik piramida da gəlir.

Qayda

Düzbucaqlı paralelepiped: $V=a\times b\times c$ . Kub: $V=a^3$ .
İstənilən prizma (düz və ya maili): $V=S_{ot}\times h$ . Burada $h$ iki oturacaq müstəvisi arasındakı məsafədir. Düz prizmada $h$ yan tilə bərabərdir. Maili prizmada yan til $l$ oturacaq müstəvisi ilə $\alpha$ bucağı əmələ gətirirsə, $h=l\times\sin\alpha$ .
Piramida: $V=\dfrac13\,S_{ot}\times h$ .
Kəsik piramida: $V=\dfrac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right)$ , burada $S_1$ və $S_2$ oturacaqların sahələridir.
Ölçü vahidləri: $1\ \text{l}=1000\ \text{sm}^3$ .

Həcm düsturları
Fiqur	Həcm
Prizma	$S_{ot}h$
Piramida	$\frac13 S_{ot}h$
Kəsik piramida	$\frac h3(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})$

Bu mövzunun tapşırıqlarındakı düsturlar

Öyrənilməli düstur

V=S_{\text{ot}}\times h,\quad S_{\text{ot}}=\frac{V}{h}

Düz üçbucaqlı prizma: oturacağın sahəsi Sot, hündürlüyü h.

$V$ prizmanın həcmi, $S_{\text{ot}}$ oturacağın sahəsi, $h$ isə hündürlükdür. Həcm və hündürlük məlum olduqda oturacağın sahəsi həcmin hündürlüyə bölünməsi ilə tapılır.

Öyrənilməli düstur

V=S_{\text{ot}}\times h,\quad h=\dfrac{V}{S_{\text{ot}}}

$V$ həcm, $S_{\text{ot}}$ oturacağın sahəsi, $h$ isə hündürlükdür. Əvvəlcə litri $\text{sm}^3$ -ə çevir ( $1\ \text{l}=1000\ \text{sm}^3$ ), sonra su qatının hündürlüyünü tap.

Üç fiqur, bir oturacaq

Aşağı oturacaq tərəfi $a$ olan kvadratdır, hündürlük $h$ -dır. $b>0$ olanda kəsik piramidanın yuxarı oturacağı tərəfi $b$ olan kvadratdır. Sürgüləri tərpət və üç həcmi müqayisə et.

Nümunələr

Maili prizmanın oturacağının sahəsi

20\ \text{sm}^2

, yan tili 10 sm-dir və oturacaq müstəvisi ilə

30^\circ

bucaq əmələ gətirir. Həcmi tapaq.

Həllə bax

$h=10\times\sin 30^\circ=10\times\dfrac12=5$ sm. $V=20\times 5=100\ \text{sm}^3$ .

Oturacağı tərəfi 6 olan kvadrat, hündürlüyü 9 olan piramidanın həcmini tapaq.

Həllə bax

$S_{ot}=6^2=36$ . $V=\dfrac13\times 36\times 9=108$ .

Kəsik piramidanın oturacaqlarının sahələri 16 və 4, hündürlüyü 6-dır. Həcmi tapaq.

Həllə bax

$\sqrt{16\times 4}=8$ . $V=\dfrac63\,(16+4+8)=2\times 28=56$ .

Oturacağının tərəfi 20 sm, hündürlüyü 40 sm olan düzgün dördbucaqlı prizma formasında boş qaba 8 l su tökülür. Su qatının hündürlüyü qabın hündürlüyünün neçə faizidir?

Həllə bax

$S_{ot}=20\times 20=400\ \text{sm}^2$ , $V=8\ \text{l}=8000\ \text{sm}^3$ . Su da prizma əmələ gətirir: $h=8000:400=20$ sm. Faiz: $\dfrac{20}{40}\times 100\%=50\%$ .

Tipik səhv

Nümunə 1-də: $V=S_{ot}\times l=20\times 10=200\ \text{sm}^3$ .

$h=l\times\sin\alpha=10\times\sin 30^\circ=5$ sm, $V=20\times 5=100\ \text{sm}^3$ .

Maili prizmada yan tilin uzunluğu hündürlük deyil. Hündürlük iki oturacaq müstəvisi arasındakı məsafədir, ona görə əvvəlcə onu $h=l\times\sin\alpha$ düsturu ilə tap.

Piramidada isə $\dfrac13$ vuruğunu unutmaq səhv cavaba gətirir. Litrlə verilmiş həcmi sm³-ə çevirməyi də yoxla: nümunə 4-də 8 l əvəzinə 8 götürsən, cavab 1000 dəfə kiçik çıxar. Nümunə 4-dəki kimi su qatının qabın hündürlüyünün hansı hissəsi olduğu soruşulanda 20 sm-lik cavabda dayanma, qabın hündürlüyünə nisbətini də tap.

Özünü yoxla

Maili prizmanın həcmi $144\ \text{sm}^3$ , hündürlüyü $6\ \text{sm}$ , yan tilinin uzunluğu isə $8\ \text{sm}$ -dir. Oturacağının sahəsini tap.

Piramidanın həcmi $60\ \text{sm}^3$ , oturacağının sahəsi $30\ \text{sm}^2$ -dir. Hündürlüyünü tap.

Kəsik piramidanın oturacaqlarının sahələri $25\ \text{sm}^2$ və $9\ \text{sm}^2$ , hündürlüyü $3\ \text{sm}$ -dir. Həcmini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

RiyaziyyatPrizma, piramida və kəsik piramidanın səthiDüz prizmanın yan səthini oturacağın perimetri ilə hündürlüyə görə, tam səthini isə yan səth və oturacağın…

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Prizmanın həcmi», səh. 219
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Piramidanın həcmi», səh. 228
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Kəsik piramidanın həcmi», səh. 237
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 7.3 «Düz prizmanın həcmi», səh. 71