Riyaziyyat, Çoxüzlülər, onların səthi və həcmi

Düzgün çoxüzlülər: niyə onların cəmi beş növü var

Beş düzgün çoxüzlünü tanıyacaq, onların üz, til və təpə saylarını tez tapacaq və Eyler düsturu ilə yoxlayacaqsan.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Adi oyun zəri kubdur. Stolüstü rol oyunlarında isə dörd, səkkiz, on iki və iyirmi üzlü zərlər də işlənir. Bunlar tetraedr, oktaedr, dodekaedr və ikosaedrdir. Kubla birlikdə beş fiqur alınır.

Bu fiqurların üzləri konqruyent düzgün çoxbucaqlılardır, hər təpəsində də eyni sayda til birləşir. Ona görə forma heç bir üzə üstünlük vermir; zərin özünün ədalətli olması isə həm də onun necə hazırlandığından asılıdır. Qəribəsi budur: bu cür altıncı fiqur yoxdur, nə qədər axtarsan da tapmayacaqsan. Bunun səbəbini aşağıdakı qayda bir cümlə ilə izah edir.

Niyə lazımdır

Bu mövzu sənə cismə baxıb onun neçə üzü, tili və təpəsi olduğunu əzbər bilmədən də hesablamağa kömək edir. Üzlərin tərəflərini sayıb ikiyə bölürsən, sonra Eyler düsturu ilə özünü yoxlayırsan. Bərabərlik ödənmirsə, saymada səhv var; ödənməsi isə bütün sayların düzgün olduğunu hələ təsdiqləmir.

Həcm məsələsində isə ilk addım fiquru tanımaqdır. Düzgün tetraedrin hər üzünün bərabərtərəfli üçbucaq olduğunu bilsən, onu oturacağı da, yan üzləri də eyni olan piramida kimi görürsən və piramidanın həcm düsturunu rahat tətbiq edirsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda düzgün tetraedrin tilinin uzunluğu verilərək həcmini hesablamaq istənilə bilər. Belə məsələdə əvvəlcə fiquru tanımalı, onun üzlərinin hansı çoxbucaqlı olduğunu bilməlisən. Bu izah düzgün çoxüzlülərin quruluşunu anlamağa, üz, til və təpə saylarını müəyyənləşdirməyə kömək edir; həcm hesablaması üçün isə piramidaya aid biliklərini də tətbiq etməlisən.

Qayda

Düzgün çoxüzlü qabarıq cisimdir: üzləri bir-birinə konqruyent düzgün çoxbucaqlılardır, təpələrinin hər birində isə eyni sayda til birləşir. Deməli, yalnız üzlərin düzgün çoxbucaqlı olması kifayət etmir.
Til qonşu üzlərin ortaq tərəfidir. Tillərin birləşdiyi nöqtələr təpələrdir. Üzlərin tərəflərini ayrı-ayrılıqda saydıqda hər til iki dəfə hesaba düşür; nəticəni ikiyə bölməlisən.
Tetraedr düzgün olduqda dörd üzü də bərabərtərəfli üçbucaqdır. Onun dörd təpəsi və altı tili var; hər təpədə üç til görüşür.
Kub altı kvadrat üzdən qurulur. Səkkiz təpəsinin hər birində üç til birləşir; ümumilikdə on iki tili var.
Oktaedr düzgün olduqda səkkiz bərabərtərəfli üçbucaq üzdən ibarətdir. Altı təpəsi, on iki tili var; bir təpədə dörd til görüşür.
Dodekaedr düzgün olduqda on iki üzü konqruyent düzgün beşbucaqlılardır. İyirmi təpəsi, otuz tili var; hər təpədə üç til birləşir.
İkosaedr düzgün olduqda iyirmi üzü konqruyent bərabərtərəfli üçbucaqlardır. On iki təpəsi, otuz tili var; hər təpədə beş til görüşür.
Eyler düsturu qabarıq çoxüzlü üçün $F+V=E+2$ şəklindədir. Burada $F$ üzlərin, $V$ təpələrin, $E$ tillərin sayını göstərir.
Qabarıq çoxüzlünün bir təpəsində görüşən üzlərin həmin təpədəki daxili bucaqlarını topladıqda $360^\circ$ -dən kiçik nəticə alınmalıdır. Bu şərt düzgün çoxüzlülərin yalnız beş növünə imkan verir.

Özün say

Üzlərin tərəflərini say, ikiyə böl, lazım olsa Eyler düsturundan istifadə et.

Nümunələr

Düzgün tetraedrin üzlərinə əsasən til və təpə saylarını hesabla.

Həllə bax

Dörd üçbucağın tərəflərini sayıb ikiyə böl:

E=4\times3:2=6

. Eyler düsturunda

4+V=6+2

yazaraq

V=4

alırsan.

Düzgün ikosaedrin hər tili $2$ sm-dir. Bütün tillərinin uzunluqları cəmini tap.

Həllə bax

İyirmi üçbucaq üzün tərəflərindən $E=20\times3:2=30$ alınır. Axtarılan cəm $30\times2=60$ sm-dir.

Üzləri konqruyent düzgün altıbucaqlılar olan düzgün çoxüzlü varmı?

Həllə bax

Düzgün altıbucaqlının daxili bucağı $120^\circ$ -dir.
Çoxüzlünün hər təpəsində ən azı üç üz görüşür.
Üç altıbucaq bir təpədə görüşsə, bucaqların cəmi $3\times120^\circ=360^\circ$ olur.
Qaydaya görə bu cəm $360^\circ$ -dən kiçik olmalıdır, $360^\circ$ isə kiçik deyil. Belə üç altıbucaq yalnız müstəvi üzərində yan-yana düzülür, cisim yaranmır.
Müqayisə üçün: düzgün beşbucaqlının bucağı $108^\circ$ -dir və $3\times108^\circ=324^\circ<360^\circ$ olur, bu da dodekaedri verir.

Yoxdur: üç altıbucağın bir təpədəki bucaqlarının cəmi $360^\circ$ -ə bərabərdir, bu cəm isə $360^\circ$ -dən kiçik olmalı idi.

Tipik səhv

Düzgün dördbucaqlı piramida düzgün çoxüzlüdür, çünki adında «düzgün» sözü var.

Düzgün dördbucaqlı piramidanın oturacağı kvadrat, yan üzləri üçbucaqdır. Bütün üzləri konqruyent deyil, deməli, bu piramida düzgün çoxüzlü deyil.

Adında «düzgün» olan hər piramidanı düzgün çoxüzlü sayma. Bu piramidada təpələr də eyni deyil: zirvədə dörd til, oturacağın hər təpəsində isə üç til birləşir.

Həm üzlərin formasını, həm də təpələrdə birləşən tillərin sayını yoxla.

Özünü yoxla

Düzgün oktaedrin səkkiz üçbucaq üzünün tərəflərini ayrı-ayrılıqda saydıqda $24$ alınır. Oktaedrin neçə tili var?

Düzgün çoxüzlünün $20$ təpəsi və $30$ tili var. Eyler düsturu ilə üzlərinin sayını tap.

Qabarıq düzgün çoxüzlünün bir təpəsində dörd kvadrat üz görüşə bilərmi?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Çoxüzlülər», səh. 166