Riyaziyyat, n-ci DƏRƏCƏDƏN KÖK. İRRASİONAL İFADƏLƏR. HƏQİQİ ÜSTLÜ QÜVVƏT

Qüvvətlərin müqayisəsi: hansı ədəd böyükdür?

Eyni əsaslı və eyni üstlü qüvvətləri, müxtəlif dərəcəli kökləri uzun hesab aparmadan müqayisə etməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Hansı böyükdür: $2^{100}$ , yoxsa $3^{60}$ ? Bu ədədlərin hər biri onlarla rəqəmdən ibarətdir, onları axıra qədər hesablayıb tutuşdurmaq yorucu işdir.

Amma bir sətirlik yol var: $2^{100}=(2^5)^{20}=32^{20}$ , $3^{60}=(3^3)^{20}=27^{20}$ . İndi üstlər eynidir, $32>27$ , deməli, $2^{100}$ daha böyükdür. Bir dənə də uzun vurma yoxdur.

Bəzən isə ədədlər hiylə işlədir: $0{,}5^{3}=0{,}125$ ədədi $0{,}5^{2}=0{,}25$ ədədindən kiçikdir, halbuki üstü böyükdür. Bu mövzu nə vaxt hansı qüvvətin qalib gəldiyini əvvəlcədən deməyi öyrədir.

Niyə lazımdır

Bu bacarıq üstlü bərabərsizliklərin də əsasıdır: əsas 1-dən böyükdürsə, bərabərsizlik işarəsi üstlərə keçəndə saxlanılır, 1-dən kiçikdirsə, dəyişir. Funksiyanın artan və ya azalan olduğunu anlamaq da elə buradan başlayır.

İmtahanda belə tapşırıqlar hesabla yox, düzgün üsulu seçməklə həll olunur. Əsası 1 ilə tutuşdurmaq, ortaq əsas və ya ortaq üst tapmaq adətən bir-iki sətir çəkir, yəni vaxta qənaət edirsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda bir neçə qüvvət və ya kök verilir: onlardan ən böyüyünü və ya ən kiçiyini seçmək, ədədləri artan sıra ilə düzmək, doğru bərabərsizliyi tapmaq tələb olunur. Bəzən qüvvəti 1 ilə müqayisə etmək, bəzən də verilmiş bərabərsizliyə görə əsasın 1-dən böyük, yoxsa kiçik olduğunu müəyyənləşdirmək lazım gəlir. Uyğunluq tapşırıqlarında müxtəlif dərəcəli köklərdən hansının böyük olduğu, qrafikli tapşırıqlarda isə $y=a^x$ əyrilərinə görə əsasların müqayisəsi soruşulur. Bir qüvvətin hansı iki ardıcıl tam ədəd arasında yerləşdiyini tapmaq və ya bərabərsizliyi ödəyən natural ədədləri saymaq da bu mövzuya aiddir.

Qayda

Eyni əsaslı qüvvətlər: $a>1$ olduqda $x>y$ şərtindən $a^x>a^y$ alınır; $0<a<1$ olduqda isə $a^x<a^y$ olur.
Eyni üstlü qüvvətlər ( $a>b>0$ ): $x>0$ olduqda $a^x>b^x$ , $x<0$ olduqda $a^x<b^x$ .
1 ilə müqayisə: $a^0=1$ ; $a^x>1$ bərabərsizliyi yalnız iki halda doğrudur: $a>1$ və $x>0$ , ya da $0<a<1$ və $x<0$ .
Əsaslar da, üstlər də fərqlidirsə, ədədləri ortaq əsasa ( $8^{0{,}5}=2^{1{,}5}$ ) və ya ortaq üstə ( $2^{40}=16^{10}$ , $3^{30}=27^{10}$ ) gətir. Müxtəlif dərəcəli kökləri müqayisə etmək üçün hər ikisini kök göstəricilərinin ən kiçik ortaq bölünəninə bərabər qüvvətə yüksəlt.
Bu üsullar kömək etmirsə, aralıq ədəd seç: $p<c$ və $c<q$ olarsa, $p<q$ .

Eyni əsaslı qüvvətlərin müqayisəsi
Əsas	$x>y$ olduqda
$a>1$	$a^x>a^y$
$0<a<1$	$a^x<a^y$

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

0\lt a\lt 1,\ x\lt y \ \Rightarrow\ a^{x}\gt a^{y}

Əsas $1$ -dən kiçik olduqda üst böyüdükcə qüvvət azalır. Üstləri irrasional ədədlərin təqribi qiymətləri ilə müqayisə et, sonra qüvvətləri tərs sıra ilə düz.

Hansı böyükdür?

Hər cütdə böyük olanı seç. Əvvəlcə əsasa və üstün işarəsinə bax, sonra qərar ver.

Nümunələr

0{,}4^{\sqrt6}

və

0{,}4^{2{,}5}

ədədlərini müqayisə et.

Həllə bax

Həlli: $6<6{,}25$ olduğundan $\sqrt6<2{,}5$ . Əsas 1-dən kiçikdir, ona görə kiçik üstə böyük qiymət uyğundur: $0{,}4^{\sqrt6}>0{,}4^{2{,}5}$ .

$7^{-\sqrt2}$ və $5^{-\sqrt2}$ ədədlərindən hansı böyükdür?

Həllə bax

Həlli: üstlər eyni və mənfidir, $7>5$ olduğundan $7^{-\sqrt2}<5^{-\sqrt2}$ ; böyük olan $5^{-\sqrt2}$ ədədidir.

$\sqrt2$ və $\sqrt[5]{5}$ ədədlərini müqayisə et.

Həllə bax

Həlli: hər ikisini 10-cu qüvvətə yüksəldək: $\left(\sqrt2\right)^{10}=32$ , $\left(\sqrt[5]{5}\right)^{10}=25$ . $32>25$ olduğundan $\sqrt2>\sqrt[5]{5}$ .

Tipik səhv

$0{,}5^{3}>0{,}5^{2}$ , çünki $3>2$ .

$0<0{,}5<1$ olduğundan böyük üst kiçik ədəd verir: $0{,}5^{3}<0{,}5^{2}$ , yəni $0{,}125<0{,}25$ .

Ən çox rast gəlinən səhv qüvvətləri yalnız üstlərinə və ya yalnız əsaslarına görə müqayisə etməkdir: əvvəlcə əsasın 1-dən böyük olub-olmadığını yoxla, $0<a<1$ olduqda böyük üst kiçik ədəd verir; eyni üstlü qüvvətlərdə üstün işarəsinə bax, mənfi üstdə böyük əsas kiçik ədəd verir; əsas $\sqrt3-1$ və ya $\frac{1}{\sqrt5}$ kimi ifadədirsə, əvvəlcə onu 1 ilə müqayisə et.

Kökləri müqayisə edərkən yalnız kökaltı ədədlərə baxmaq olmaz: $\sqrt[3]{11}<\sqrt5$ , çünki altıncı qüvvətdə $121<125$ alınır; nəhayət, $a^0=1$ ədədinin 1-dən böyük olmadığını unutma.

Özünü yoxla

Ən böyük ədədi seç.

$4^{-3}$ , $6^{-3}$ və $9^{-3}$ ədədlərinin artan sırasını seç.

$\sqrt7$ və $\sqrt[3]{18}$ ədədlərini müqayisə et.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Həqiqi üstlü qüvvət», səh. 245
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Üstlü funksiya», səh. 248