Riyaziyyat, n-ci DƏRƏCƏDƏN KÖK. İRRASİONAL İFADƏLƏR. HƏQİQİ ÜSTLÜ QÜVVƏT

Həqiqi üstlü qüvvət: hesabla, müqayisə et, sadələşdir

Kəsr və irrasional üstlü qüvvətlərin qiymətini xassələrlə tapmağı, onları müqayisə etməyi və ifadələri sadələşdirməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masa üzərində ağ vərəq dəstəsi və yanında ortadan qatlanmış bir vərəq.

Bir A4 vərəqi götür və onu ortadan qatla. Alınan A5 vərəqi kiçikdir, amma forması təxminən eynidir: uzun tərəfin qısa tərəfə nisbəti təxminən eyni qalır. Bu təsadüf deyil. O nisbət təxminən $\sqrt{2}$ -dir, yəni $2^{\frac{1}{2}}$ .

Deməli, üstdə kəsr də dura bilər. Bəs $2^{\sqrt{2}}$ nə deməkdir? 2-ni özünə "kök iki dəfə" vurmaq mümkün deyil. Amma $2^{1,4}$ , $2^{1,41}$ , $2^{1,414}$ ədədlərini hesablasan, onlar getdikcə bir ədədə yaxınlaşır, təxminən $2,665$ -ə. $2^{\sqrt{2}}$ elə odur.

Yaxşı xəbər: belə qüvvətləri əl ilə hesablamaq lazım olmayacaq. Bildiyin xassələr burada da işləyir, sadəcə onları qarışdırmamaq lazımdır.

Niyə lazımdır

Bu xassələr qorxulu görünən ifadəni bir neçə sətirdə tam ədədə çevirir: $\sqrt{2}$ kimi üstlər toplananda və ya vurulanda çox vaxt yox olur. İmtahanda kalkulyator yoxdur, ona görə burada yeganə yol üstlərlə düzgün işləməkdir.

Bu mövzu sonrakı mövzuların da bünövrəsidir: üstlü funksiyada, üstlü tənlik və bərabərsizliklərdə eyni xassələrdən istifadə edəcəksən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Ən çox rast gəlinən sual hesablamadır: üstü irrasional və ya kəsr ədəd olan qüvvətlərdən qurulmuş ifadənin qiymətini xassələrin köməyi ilə tapmaq lazımdır və adətən cavab tam ədəd çıxır. Bundan başqa, bir neçə ədəddən ən böyüyünü seçmək, iki qüvvəti müqayisə etmək, köklü ifadəni əsası $a$ olan bir qüvvət kimi yazmaq, kəsr üstlü hədləri olan kəsri ixtisar edib sadələşdirmək tələb olunur. Uyğunluq və açıq tapşırıqlarda dəyişənin hansı qiymətlərində qüvvətin mənası olduğu, həmçinin $x^{\frac{1}{2}}$ ilə $x^{-\frac{1}{2}}$ arasındakı əlaqədən istifadə edən suallar verilir.

Qayda

$a>0$ üçün $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$ ( $m$ tam, $n\ge2$ natural ədəddir), $a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}$ , $a^{0}=1$ .
Kəsr və irrasional üstlü qüvvət yalnız müsbət əsas üçün təyin olunur. Üst müsbətdirsə $0^{x}=0$ , üst mənfidirsə əsas sıfır ola bilməz.
$a>0$ , $b>0$ və istənilən həqiqi $x$ , $y$ üçün: $a^{x}\times a^{y}=a^{x+y}$ , $a^{x}:a^{y}=a^{x-y}$ , $(a^{x})^{y}=a^{xy}$ , $(ab)^{x}=a^{x}b^{x}$ , $\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}$ .
Əsas 1-dən böyükdürsə, üst artdıqca qüvvət də artır; $0<a<1$ olduqda isə üst artdıqca qüvvət azalır.
$a\ne1$ olduqda $a^{x}=a^{y}$ bərabərliyindən $x=y$ alınır.

Qüvvətlərdə əməlləri ayır
Əməl	Nəticə
$a^x\times a^y$	$a^{x+y}$
$(a^x)^y$	$a^{xy}$
$a^{-x}$	$\frac{1}{a^x}$

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

a^m\times a^n=a^{m+n}

Əsasları eyni olan qüvvətlər vurulanda əsas dəyişmir, üstlər toplanır. Burada $a=16$ və üstlərin cəmi $0{,}5$ olduğundan $16^{0{,}5}=\sqrt{16}$ alınır.

Öyrənilməli düstur

(a^{x})^{y}=a^{x\times y}\quad(a>0)

Qüvvət yenidən qüvvətə yüksəldildikdə üstlər vurulur; bu qayda irrasional üstlər üçün də doğrudur. Burada $x=y=\sqrt{2}$ olduğundan üstlərin hasili $\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2$ olur.

Öyrənilməli düstur

a^x\times a^y=a^{x+y},\ \ (a^x)^y=a^{xy}

$a>0$ olduqda eyni əsaslı qüvvətlər vurulanda üstlər toplanır, qüvvət qüvvətə yüksəldiləndə isə üstlər vurulur. Kök işarəsi altındakı ifadə $\frac{1}{2}$ üstlü qüvvət kimi yazılır.

Öyrənilməli düstur

a^x\times a^y=a^{x+y},\quad \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},\quad (a^x)^y=a^{xy}

$a>0$ olduqda bu xassələr üstlər irrasional ədəd olanda da doğrudur. Əvvəlcə $49$ -u $7$ -nin qüvvəti kimi yaz, sonra üstləri çıx.

Öyrənilməli düstur

a^{m+n}=a^m\times a^n,\quad (a^m)^n=a^{mn}

Üstlər toplananda qüvvətlər vurulur, qüvvət qüvvətə yüksəldildikdə üstlər vurulur. Burada $9=3^2$ olduğundan $9^{\sqrt2}=\left(3^{\sqrt2}\right)^2=a^2$ alınır və $9^1=9$ ilə vurulur.

Öyrənilməli düstur

(a^x)^y=a^{xy}\quad(a>0)

Üstlər həqiqi ədəd, o cümlədən irrasional ola bilər: qüvvət qüvvətə yüksəldildikdə üstlər vurulur. Burada üstlərin hasili $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=2$ olur.

Özün hesabla

Hər ifadənin qiymətini xassələrlə tap və cavabı yaz. Kəsr cavabı onluq kəsr kimi yaz.

Nümunələr

4^{\sqrt{2}+1}\times2^{1-2\sqrt{2}}

ifadəsinin qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: $4^{\sqrt{2}+1}=2^{2\sqrt{2}+2}$ , üstləri toplayırıq: $2^{2\sqrt{2}+2+1-2\sqrt{2}}=2^{3}=8$ .

$0,6^{\sqrt{7}}$ və $0,6^{2,5}$ ədədlərini müqayisə et.

Həllə bax

Həlli: $\sqrt{7}>\sqrt{6,25}=2,5$ , əsas isə 1-dən kiçikdir, ona görə $0,6^{\sqrt{7}}<0,6^{2,5}$ .

$x>0$ olduqda $\sqrt[4]{x^{3}\sqrt{x}}$ ifadəsini qüvvət şəklində yaz.

Həllə bax

Həlli: $x^{3}\times x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{7}{2}}$ , dördüncü dərəcədən kök üstü 4-ə bölür: $x^{\frac{7}{8}}$ .

x>0

olduqda

\frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}+1}

kəsrini ixtisar et.

Həllə bax

$x=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}$ , çünki $\frac{1}{2}\times2=1$ .
Onda surət kvadratlar fərqidir: $x-1=\left(x^{\frac{1}{2}}-1\right)\left(x^{\frac{1}{2}}+1\right)$ .
Məxrəcdəki $x^{\frac{1}{2}}+1$ müsbətdir, kəsri onunla ixtisar edirik.

$x^{\frac{1}{2}}-1$ , yəni $\sqrt{x}-1$

Tipik səhv

$\left(a^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=a^{2\sqrt{2}}$

$\left(a^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=a^{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=a^{2}$ , amma $a^{\sqrt{2}}\times a^{\sqrt{2}}=a^{2\sqrt{2}}$

Xassələri qarışdırma: eyni əsaslı qüvvətləri vurduqda üstlər toplanır, qüvvəti qüvvətə yüksəltdikdə isə vurulur.

Mənfi üst ədədi mənfi etmir: $9^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$ -dir, $-3$ deyil. Müqayisədə əvvəlcə əsasa bax: o, 1-dən kiçikdirsə, bərabərsizliyin işarəsi üstlərin müqayisəsindəkinin əksinə olur. $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^{2}$ kimi ifadənin $\frac{1}{2}$ qüvvəti modula bərabərdir, işarəni şərtdə verilən bərabərsizliyə görə seç. Mənası soruşulan tapşırıqlarda isə unutma: üst mənfi olduqda əsas sıfır ola bilməz, aralığın uc nöqtələri də cavaba düşmür.

Özünü yoxla

$\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}\times2^{-4}$ ifadəsinin qiymətini tap.

Ən böyük ədədi seç.

$x>0$ olduqda $\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x^{\frac{1}{6}}}$ ifadəsini sadələşdir.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Həqiqi üstlü qüvvətə aid tapşırıqları həll et, hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Həqiqi üstlü qüvvət», səh. 245
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Rasional üstlü qüvvət», səh. 21
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Rasional üstlü qüvvətin xassələri», səh. 22