Riyaziyyat, n-ci DƏRƏCƏDƏN KÖK. İRRASİONAL İFADƏLƏR. HƏQİQİ ÜSTLÜ QÜVVƏT

Hesabi kvadrat kökün xassələri: kökləri birləşdir və sadələşdir

Kökləri vurub bölməyi, böyük ədədin kökünü hissələrə ayırıb tapmağı və $\sqrt{x^2}$ ifadəsini düzgün sadələşdirməyi öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəq

Kalkulyator olmadan $\sqrt{2025}$ neçədir? İlk baxışda çətin sual kimi görünür. Amma $2025=81\times25$ olduğunu görsən, iş bir saniyəyə bitir: $\sqrt{81}=9$ , $\sqrt{25}=5$ , cavab $9\times5=45$ . Yoxla: $45\times45=2025$ .

Kəsrlə də eyni fənd işləyir: $\sqrt{\frac{9}{100}}=\frac{3}{10}=0,3$ . Böyük və ya yöndəmsiz ədədi rahat hissələrə bölürsən, sonra hər hissənin kökünü ayrıca çıxarırsan.

Bu fəndin arxasında hesabi kvadrat kökün bir neçə xassəsi dayanır. Onları bilən kökləri qorxmadan birləşdirir, ayırır və sadələşdirir. Amma bir yerdə tələ də var, onu aşağıda görəcəksən.

Niyə lazımdır

Bu xassələr kökü sadə şəklə salmağa kömək edir. Məsələn, katetləri $3$ və $6$ olan düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu $\sqrt{9+36}=\sqrt{45}$ alınır. $45=9\times5$ olduğundan bu, $3\sqrt5$ deməkdir.

İmtahanda cavab variantında $3\sqrt5$ yazılıbsa, sən isə $\sqrt{45}$ almısansa, ikisinin eyni ədəd olduğunu görməlisən. Kökü özün sadələşdirə bilməsən, düz cavab gözünün qabağında olsa belə, onu tanımaya bilərsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqda iki kök bir-birinə vurulur və ya kökaltı ifadə kvadratlar fərqi kimi verilir, məsələn, $\sqrt{7-\sqrt{13}}\times\sqrt{7+\sqrt{13}}$ . Cavabı ədəd olan belə tapşırıqda köklər birləşdirilir, kökaltı ifadə hesablanır və kök çıxarılır. Bundan başqa, böyük ədədin kökünü vuruqlara ayıraraq tapmaq, kəsrin kökünü hesablamaq və $\sqrt{x^2}$ ifadəsini sadələşdirmək tapşırıqları da düşür. Cavab variantları arasında kökaltı ifadənin qiyməti də olur, buna görə sonuncu addıma diqqət yetir.

Qayda

Hasilin kökü: $a\ge 0$ , $b\ge 0$ olduqda $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ . Bərabərlik hər iki istiqamətdə işləyir, məsələn, $\sqrt{18}\times\sqrt{50}=\sqrt{900}=30$ .
Kəsrin kökü: $a\ge 0$ , $b>0$ olduqda $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ .
Qüvvətin kökü: istənilən $x$ üçün $\sqrt{x^2}=|x|$ . Buradan $x\ge 0$ olduqda $\sqrt{x^2}=x$ , $x<0$ olduqda $\sqrt{x^2}=-x$ çıxır. Məsələn, $\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$ , $-6$ deyil.
Kvadratın kökü və işarə
Şərt $\sqrt{x^2}=|x|$
$x\ge0$ $x$
$x<0$ $-x$
Kökaltı ifadə iki ifadənin kvadratlarının fərqidirsə, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ düsturu ilə hasilə çevrilir.
Kökün nəticəsi mənfi olmur, çünki hesabi kvadrat kök mənfi olmayan ədəddir.

Kvadratın kökü və işarə
Şərt	$\sqrt{x^2}=\|x\|$
$x\ge0$	$x$
$x<0$	$-x$

Tapşırıqlarda işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}\\[6pt](m-n)(m+n)=m^2-n^2\end{gathered}

$a\ge0$ və $b\ge0$ olduqda iki kökün hasili hasilin kökünə bərabərdir. Burada kökaltı ifadələr yalnız ikinci həddinin işarəsi ilə fərqlənir, ona görə hasil kvadratlar fərqinə çevrilir.

Kökü özün hesabla

Xassələrdən birini seç, ifadəni sadələşdir və cavabı yaz. Hər cavabın kalkulyatorsuz tapılan tam ədəd olduğunu görəcəksən.

Nümunələr

\sqrt{9-\sqrt{17}}\times\sqrt{9+\sqrt{17}}

ifadəsinin qiymətini tap.

Həllə bax

Köklər bir kök altına yığılır: $\sqrt{(9-\sqrt{17})(9+\sqrt{17})}=\sqrt{81-17}=\sqrt{64}=8$ .

$\sqrt{37^2-12^2}$ ifadəsini hesabla.

Həllə bax

Kvadratlar fərqi düsturu işləyir: $37^2-12^2=(37-12)(37+12)=25\times 49$ . Onda $\sqrt{25\times 49}=\sqrt{25}\times\sqrt{49}=5\times 7=35$ . Böyük kvadratları ayrıca hesablamağa ehtiyac qalmır.

$a<0$ olduqda $\sqrt{16a^2}$ ifadəsini sadələşdir.

Həllə bax

$\sqrt{16a^2}=\sqrt{(4a)^2}=|4a|$ . $a$ mənfi olduğundan $4a$ da mənfidir, deməli $|4a|=-4a$ . Nəticə müsbət ədəddir, çünki mənfi $a$ mənfi işarə ilə vurulur. Yoxlama: $a=-2$ üçün $\sqrt{64}=8$ və $-4\times(-2)=8$ .

Tipik səhv

$\sqrt{9+16}=\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$

$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

Şagirdlər bəzən kökü cəmə də aid edib $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ yazırlar. Bu yanlışdır, çünki hasilin və kəsrin kvadrat kökünün xassələri vurma və bölmə üçün doğrudur, toplama və çıxma üçün isə belə xassə yoxdur. Kökaltında cəm və ya fərq varsa, əvvəlcə onu hesabla, ya da düstur (məsələn, kvadratlar fərqi) vasitəsilə hasilə çevir.

Tez-tez yol verilən digər səhv sonda kökü çıxarmağı unutmaqdır: nümunə 1-də $64$ cavab deyil, $\sqrt{64}=8$ cavabdır.

Özünü yoxla

$\sqrt{6-\sqrt{11}}\times\sqrt{6+\sqrt{11}}$ ifadəsinin qiymətini tap.

$\sqrt{\frac{49}{144}}$ ifadəsini hesabla.

$x<0$ olduqda $\sqrt{x^2}+x$ ifadəsini sadələşdir.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 1.5 «Hesabi kvadrat kökün xassələri», səh. 24