Riyaziyyat, Tənliklər sistemi və tənliklər sisteminin tətbiqi ilə məsələ həlli

İkidəyişənli xətti tənliklər sistemi: əvəzetmə və toplama üsulu

İki naməlumlu mətn məsələsindən tənliklər sistemi quracaq, onu əvəzetmə və ya toplama üsulu ilə həll edəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: çəmənlikdə taxta çəpərin yanında bir neçə toyuq və dovşan.

$x+y=5$ tənliyinə bax. Onu ödəyən cütlər çoxdur: $(1;4)$ , $(2;3)$ , $(0;5)$ , hətta $(2,5;2,5)$ . Əslində belə cütlər sonsuz saydadır, çünki bir şərt iki naməlumu bağlamağa yetmir.

İndi bu tapmacanı düşün: həyətdə toyuqlar və dovşanlar var, cəmi 8 baş və 22 ayaq sayılıb. Yalnız başların sayı ilə iş bitmir: 8 baş həm 8 toyuq, həm də 4 toyuq və 4 dovşan ola bilər. Cavabı yeganə edən ikinci şərtdir, yəni ayaqların sayı.

İki naməlum və iki şərt varsa, qarşında tənliklər sistemi var. Bu tapmacanın cavabını aşağıda özün tapacaqsan.

Niyə lazımdır

Gündəlik məsələlərdə iki naməlum tez-tez olur: iki malın qiyməti, iki ədəd, iki qrupun sayı. Hər şərtdən bir tənlik yazırsan, sistemi həll edirsən və hər iki kəmiyyəti birlikdə tapırsan. Mətni tənliyə çevirmək sonrakı siniflərdə də, fizikada da lazım olacaq.

İmtahanda çətin olan adətən hesablama yox, şərti tənliyə çevirməkdir. Hansı kəmiyyəti $x$ , hansını $y$ götürdüyünü əvvəlcədən qeyd et. Onda cavabda soruşulan kəmiyyəti də qarışdırmazsan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlar mətn və ya cədvəl şəklində verilir: iki naməlum kəmiyyətin cəmi, fərqi və ya başqa əlaqəsi bəllidir. İki ədədin cəmi və fərqinə görə böyük ədədi tapmaq, cədvəldə $x$ və $y$ ilə işarələnmiş sayları hesablamaq buna nümunədir. Sistemi özün qurmalı, sonra əvəzetmə ya da toplama üsulu ilə həll etməli, sualın soruşduğu kəmiyyəti cavab kimi yazmalısan.

Qayda

İki xətti tənlik birlikdə tənliklər sistemi əmələ gətirir və fiqurlu mötərizə ilə yazılır.
Sistemin həlli $(x;y)$ ədədlər cütüdür: bu cüt hər iki tənliyi doğru bərabərliyə çevirir.
Əvəzetmə üsulu: bir tənlikdən bir dəyişəni digəri ilə ifadə et, alınan ifadəni ikinci tənlikdə həmin dəyişənin yerinə yaz, birdəyişənli tənliyi həll et.
Toplama üsulu: tənlikləri sıfırdan fərqli elə ədədlərə vur ki, bir dəyişənin əmsalları əks ədədlər olsun, sonra tərəf-tərəfə topla. Beləcə bir dəyişən yox olur.
Bir dəyişən tapılandan sonra onun qiymətini tənliklərdən birində yerinə yaz və digər dəyişəni tap. Cütü hər iki tənlikdə yoxla.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

kb_1+b_2=0\ \Rightarrow\ (ka_1+a_2)x=kc_1+c_2

Sistem $a_1x+b_1y=c_1$ , $a_2x+b_2y=c_2$ şəklindədir. Birinci tənliyi $k$ ədədinə vurub ikincinin üstünə gəldikdə $y$ yox olur və yalnız $x$ qalır.

Öyrənilməli düstur

\begin{cases}a+b=s\\ a-b=d\end{cases}\ \Rightarrow\ a=\frac{s+d}{2},\ b=\frac{s-d}{2}

$s$ iki ədədin cəmi, $d$ isə fərqidir. İki bərabərliyi toplasan $2a=s+d$ , cəmdən fərqi çıxsan $2b=s-d$ alınır; burada $s=137$ , $d=19$ götürülür.

Sistemi özün həll et

Hər sistemdə soruşulan ədədi tap və yaz. Səhv etsən, həllin addımlarını görəcəksən.

Nümunələr

\begin{cases}3x+2y=12\\x+y=5\end{cases}

sistemini toplama üsulu ilə həll et.

Həllə bax

İkinci tənliyi $-2$ -yə vuraq: $-2x-2y=-10$ . Tənlikləri toplayaq: $x=2$ . Onda $y=5-2=3$ . Cavab: $(2;3)$ . Yoxlama: $3\times2+2\times3=12$ və $2+3=5$ .

3x + 2y = 12 və x + y = 5 düz xətləri (2; 3) nöqtəsində kəsişir; həmin cüt hər iki tənliyi ödəyir. — $3x+2y=12$ — bütöv xətt; $x+y=5$ — qırıq xətt.

$\begin{cases}y=2x-1\\3x+y=14\end{cases}$ sistemini əvəzetmə üsulu ilə həll et.

Həllə bax

$y$ -in yerinə $2x-1$ yazaq: $3x+2x-1=14$ , yəni $5x=15$ və $x=3$ . Onda $y=2\times3-1=5$ . Cavab: $(3;5)$ . Yoxlama: $5=2\times3-1$ və $3\times3+5=14$ .

3 dəftər və 2 qələm 11 manat, 2 dəftər və 3 qələm 9 manat edir. Dəftərin qiymətini tap.

Həllə bax

Dəftər $a$ , qələm $b$ manat olsun: $3a+2b=11$ və $2a+3b=9$ . Birinci tənliyi 3-ə, ikincini $-2$ -yə vuraq: $9a+6b=33$ və $-4a-6b=-18$ . Toplayaq: $5a=15$ , yəni $a=3$ . Onda $3\times3+2b=11$ tənliyindən $b=1$ . Cavab: dəftər 3 manatdır. Yoxlama: $3\times3+2\times1=11$ və $2\times3+3\times1=9$ .

Tipik səhv

$x+y=5$ tənliyini $-2$ -yə vurub $-2x-2y=5$ yazmaq; ya da $x$ -i tapıb dayanmaq, halbuki sual $y$ -i soruşur.

$-2x-2y=-10$ , çünki tənliyin hər iki tərəfi $-2$ -yə vurulur. Bir dəyişəni tapandan sonra əvvəl sualı oxu və cavabda soruşulan kəmiyyəti yaz.

Tənliyi ədədə vurarkən çox vaxt sağ tərəfi unudurlar. Bərabərlik yalnız hər iki tərəf eyni ədədə vurulanda doğru qalır.

Bir də çox vaxt bir dəyişəni tapıb dayanırlar. Sistemin həlli cütdür, imtahanın cavabı isə sualın soruşduğu kəmiyyətdir.

Özünü yoxla

$\begin{cases}x+y=9\\2x-y=3\end{cases}$ sisteminin həlli olan $(x;y)$ cütünü seç.

$\begin{cases}x+2y=7\\3x+4y=17\end{cases}$ sistemində $y$ -i yox etmək üçün birinci tənliyi $-2$ -yə vurursan. Hansı tənlik alınır?

$\begin{cases}y=8-2x\\x+y=5\end{cases}$ sistemini əvəzetmə üsulu ilə həll et və $y$ -i tap.

Bu mövzunu tapşırıqlarla möhkəmləndir

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 8.3 «Tənliklər sistemi», səh. 58
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 8.4 «Xətti tənliklər sisteminin əvəzetmə və toplama üsulları ilə həlli», səh. 62