Riyaziyyat, Tənliklər sistemi və tənliklər sisteminin tətbiqi ilə məsələ həlli

İkidərəcəli tənliklər sistemi: addım-addım həll

Bir tənliyi və ya hər iki tənliyi ikidərəcəli olan sistemləri əvəzetmə, sıfır hasil və düsturlarla həll etməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: həyətdə taxta çərçivəli, düzbucaqlı formalı tərəvəz ləki.

Kiçik bir tapmaca: düzbucaqlının perimetri $14$ sm, sahəsi isə $12$ sm $^2$ -dir. Tərəfləri neçədir? Təkcə perimetr şərti tərəfləri müəyyən etmək üçün kifayət etmir. Sahə şərti də lazımdır və o da verilib.

Tərəfləri $x$ və $y$ desən, perimetrdən $x+y=7$ , sahədən isə $xy=12$ alırsan. İkinci tənlikdə iki dəyişən bir-birinə vurulub, yəni o, ikidərəcəlidir. Bu artıq tanış xətti sistem deyil.

Yaxşı xəbər odur ki, belə sistemlər bir neçə fəndlə həll olunur. Onları bir dəfə görəndən sonra hər məsələdə tanıyacaqsan.

Niyə lazımdır

Məsələlərdə iki naməlum arasında tez-tez cəm, hasil və ya kvadratlar cəmi əlaqəsi çıxır: düzbucaqlının tərəfləri ilə sahəsi, iki ədədin cəmi ilə hasili. Həndəsədə düz xətt ilə çevrənin kəsişmə nöqtələrini tapmaq da elə belə bir sistemi həll etmək deməkdir.

İmtahanda isə vaxt qazandıran şey üsulu düz seçməkdir. Məsələn, $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ bərabərliyini bilirsənsə, bəzən cütləri heç tapmadan lazım olan ifadənin qiymətini bir sətirdə hesablayırsan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda sistemin həllərini, həllərin sayını və ya dəyişənlərdən düzələn ifadənin qiymətini tapmaq tələb oluna bilər. Bəzən bütün cütləri hesablamadan hasil, nisbət və ya cəm müəyyən edilir. Verilən cütün həll olması şərtindən parametrin qiymətini də tapa bilərsən. Bir neçə həll alındıqda isə onlara uyğun hasilləri müqayisə etmək lazım gələ bilər.

Qayda

Həll cütü hər iki bərabərliyi doğru edən $(x;y)$ cütüdür. Birinci yerdə $x$ , ikinci yerdə $y$ yazılır. Yoxlama zamanı qiymətləri hər iki tənlikdə yerinə qoy.
İkidərəcəli tənlik sadələşdirildikdən sonra ən yüksək dərəcəli həddi ikinci dərəcədən olan tənlikdir. $x^2$ , $xy$ , $y^2$ hədləri ikinci dərəcəlidir. Sistemdə bir tənlik xətti, digəri ikidərəcəli və ya hər ikisi ikidərəcəli ola bilər.
Əvəzetmə üçün xətti tənlikdən dəyişənlərdən birini ifadə et, sonra həmin ifadəni digər tənlikdə yaz. Alınan tənliyin hər kökünə uyğun ikinci dəyişəni hesabla.
Tənlikləri uyğun ədədlərə vurub toplamaq və ya çıxmaq bəzi hədləri aradan qaldırır. $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ düsturu da çevirməni asanlaşdıra bilər. Yalnız ifadənin qiyməti soruşulursa, əvvəl onu verilənlər vasitəsilə hesablamağa çalış.
Sıfır hasil qaydasına görə $A\times B=0$ olduqda $A=0$ və ya $B=0$ olur. Hər halı sistemin digər tənliyi ilə birlikdə ayrıca həll et.
Qrafik üsul zamanı ortaq nöqtələrin koordinatları həll cütlərini göstərir. Kəsişmə yoxdursa, həll də yoxdur. İki ikidərəcəli tənliyin qrafikləri bir, iki, üç və ya dörd ortaq nöqtəyə malik ola bilər; üst-üstə düşdükdə sonsuz sayda həll də mümkündür.

Cütü tapmadan hesabla

Hər sistemdə soruşulan ifadənin qiymətini tap. Ən qısa yol adətən düsturdan keçir.

Nümunələr

\begin{cases}x+y=5,\\x^2+y^2=13\end{cases}

sistemini həll et. Birinci tənlikdən

y=5-x

. Əvəzetmə ilə

x^2+(5-x)^2=13

, buradan

x^2-5x+6=0

alınır.

(x-2)(x-3)=0

olduğuna görə həllər

(2;3)

və

(3;2)

cütləridir.

$\begin{cases}x^2+y^2=18,\\xy=9\end{cases}$ sistemini həll et. İkinci bərabərliyin iki mislini birincidən çıx: $(x-y)^2=0$ . Deməli, $x=y$ . Bunu $xy=9$ bərabərliyində yazdıqda $y^2=9$ alınır. Həllər $(3;3)$ və $(-3;-3)$ olur.

$\begin{cases}(x-y)(x-4)=0,\\x+y=6\end{cases}$ sisteminin həllərində $xy$ hasilinin ən kiçik qiymətini tap. Birinci hal: $x=y$ , deməli, $(3;3)$ və $xy=9$ . İkinci hal: $x=4$ , onda $y=2$ və $xy=8$ . Ən kiçik qiymət $8$ -dir.

Düzbucaqlının perimetri

14

sm, sahəsi

12

^2

-dir. Onun tərəflərini tap.

Həllə bax

Tərəfləri $x$ və $y$ ilə işarə et. $2(x+y)=14$ olduğundan $x+y=7$ alınır. Sahədən isə $xy=12$ çıxır.
Xətti tənlikdən $y=7-x$ olur. Bunu ikinci tənlikdə yaz: $x(7-x)=12$ .
Mötərizəni aç və bütün hədləri bir tərəfə keçir: $x^2-7x+12=0$ , yəni $(x-3)(x-4)=0$ .
$x=3$ olduqda $y=4$ , $x=4$ olduqda isə $y=3$ olur. Hər iki cüt eyni düzbucaqlını verir, sadəcə tərəflərin yeri dəyişib.

Tərəflər $3$ sm və $4$ sm-dir.

Tipik səhv

$(x-y)(x-4)=0$ bərabərliyini $x-y$ ifadəsinə bölürəm: $x-4=0$ . Deməli, $x=4$ , $y=2$ və yeganə həll $(4;2)$ cütüdür.

$(x-y)(x-4)=0$ olduğundan $x-y=0$ və ya $x-4=0$ . Birinci halda $x+y=6$ ilə birlikdə $(3;3)$ , ikinci halda $(4;2)$ alınır. Hər iki cüt ilkin sistemi ödəyir.

Hasil şəklindəki tənliyi dəyişənli vuruğa bölməklə həll itirə bilərsən: üçüncü nümunədə $x-y$ ifadəsinə bölmək $(3;3)$ cütünü itirər. Ona görə hər vuruğun sıfır olduğu halı ayrıca nəzərdən keçir və tapdığın cütləri ilkin sistemdə yoxla.

Özünü yoxla

$x-y=2$ və $x^2+y^2=10$ tənliklərindən ibarət sistemin bütün həll cütlərini tap.

$x^2+y^2=29$ və $xy=10$ olarsa, cütləri tapmadan $(x-y)^2$ ifadəsinin qiymətini hesabla.

$(x+y)(x-2)=0$ və $x-y=4$ tənliklərindən ibarət sistemin neçə həll cütü var?

Bu mövzuda daha çox tapşırıq həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Bir tənliyi birdərəcəli, digəri ikidərəcəli olan tənliklər sistemi», səh. 107
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Hər iki tənliyi ikidərəcəli olan tənliklər sistemi», səh. 112