Üstlü və loqarifmik ifadələr: şərtlər, xassələr, tənliklər

$a>0$, $a\ne1$ və $u>0$ olduqda loqarifmik tənliyi qüvvət şəklində yazmaq olar. Sistemdə bu çevirmə və eyni əsaslı qüvvətlərin üstlərini bərabərləşdirmək iki xətti tənlik verir.

$a>0$, $a\ne1$ üçün $t=a^x$ götürüldükdə $t$ müsbətdir və əks işarəli üstlər $t$ ilə onun tərsi vasitəsilə ifadə olunur. Bu əvəzetmə ilə alınan kvadrat tənliyin müsbət köklərindən $x$ qiymətlərinə qayıt.

$a>0$, $a\ne1$ və $u,v>0$ üçün loqarifmlərin cəmini hasil vasitəsilə çevirmək olar. Burada $u$ və $v$ arqumentləri göstərir; alınan cəbri tənliyin köklərindən hər iki arqumenti müsbət edənləri saxla.

$a>0$, $a\ne1$ və $u,v>0$ şərtlərində eyni əsaslı loqarifmlərin cəmi hasilin loqarifminə çevrilir. Tənliyi bu düsturla sadələşdir, sonra tapılan qiymətləri ayrı-ayrı arqumentlərin müsbətlik şərtləri ilə yoxla.

$a>0$, $a\ne1$ və $u,v>0$ üçün loqarifmlərin fərqi arqumentlərin nisbətini tapmağa imkan verir. Sistemdə alınan $u=a^c v$ əlaqəsini digər tənlikdə yerinə yaz.

$a$ əsası, $u$ isə qüvvət üstünü göstərir; müsbət əsas üçün qüvvətin vahidə bərabərliyi bu iki haldan alınır. Modulun vahidə bərabər olduğu və üstün sıfır olduğu halları ayrıca araşdır, çünki sıfır əsas vahid nəticə vermir.

$b$ arqumentinin loqarifmi $c$ olduqda, $a$ əsasını $c$ qüvvətinə yüksəltməklə $b$ alınır. Bu keçidlə loqarifmin daxilindəki ifadəni qüvvətə bərabərləşdir və məchulu tap.

$u$ loqarifmin arqumenti, $a$ əsası, $c$ isə müqayisə olunan ədəddir; əsas vahidi aşdıqda loqarifmik funksiya artır. Arqumentin müsbətliyini nəzərə alaraq kvadrat bərabərsizliyi həll et və alınan çoxluğun ən kiçik elementini seç.

$0<a<1$ olduqda $a^t$ kəsilməz və azalan olduğundan $t$ bütün $[m;n]$ parçasını keçərkən qiymətlər $[a^n;a^m]$ parçasını doldurur. Sinusun mümkün qiymətlərini üst üçün götür və hər iki sərhədin də alındığını nəzərə al.

Üstlü tənliyi müsbət qüvvətə bölmək həllərini dəyişmir; qüvvətləri ortaq əsasla yazıb $t=a^x>0$ ($a>0$, $a\ne1$) əvəzetməsi ilə kvadrat tənlik almaq olar. Yeni dəyişənin yalnız müsbət köklərini saxla və onlardan ilkin dəyişəni müəyyən et.

$\log_a b$ ifadəsi yalnız $a>0$, $a\ne1$ və $b>0$ şərtləri birlikdə ödənəndə mənalıdır. Dəyişən həm əsasda, həm də arqumentdə olduğundan təyin oblastını bu üç şərtin ortaq həlləri müəyyən edir.

$a>0$, $a\ne1$ üçün $t=a^{x-h}>0$ əvəzetməsi $a^{h-x}$ ifadəsini $1/t$ şəklinə salaraq kvadrat tənlik qurmağa imkan verir. Onun müsbət köklərinin hasilini Viyet teoremindən tap, sonra $x=h+\log_a t$ və $\log_a t_1+\log_a t_2=\log_a(t_1t_2)$ əlaqələri ilə ilkin köklərin cəmini hesabla.

$t=\sqrt{\log_a x}$ əvəzetməsində $a>0$, $a\ne1$, $x>0$, $\log_a x\ge0$ və $t\ge0$ olmalıdır; bu zaman $\log_a x=t^2$ yazılır. Hasilin loqarifmini cəmə ayırıb kvadrat tənliyi qur, mənfi $t$ qiymətlərini kənarlaşdır və $x=a^{t^2}$ ilə geri qayıt.

$a>1$ olduqda $a^t$ kəsilməz və artandır, buna görə $t$ bütün $[m;n]$ parçasını keçdikdə qiymətlər $[a^m;a^n]$ parçasını doldurur. Kosinusun qiymətlərindən qüvvət üstünün sərhədlərini müəyyən et, sonra bu sərhədləri üstlü funksiyada yerinə yaz.

$x>0$ şərtində $t=\log_a x$ əvəzetməsi loqarifmə nəzərən kvadrat bərabərsizliyi adi kvadrat bərabərsizliyə çevirir. $a>1$ olduqda $a^t$ artdığı üçün tapılan $m\le t\le n$ aralığından $a^m\le x\le a^n$ aralığına keç.