Riyaziyyat, Kompleks ədədlər

Qoşma kompleks ədədlər: qoşmanı tapmaq və qoşma ilə bölmə

Kompleks ədədin qoşmasını səhvsiz yazmağı, onunla toplamağı, vurmağı və bölməni $a+bi$ şəklinə gətirməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Yadındadırmı, $\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$ kəsrində məxrəci kökdən necə azad edirdin? Surəti də, məxrəci də $\sqrt{2}-1$ ədədinə vururdun. Məxrəcdə $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$ alınırdı və kök yox olurdu.

Kompleks ədədlərdə də eyni fənd işləyir. $\dfrac{1}{1+i}$ kəsrində $i$ məxrəcdə narahat edir. Surəti və məxrəci $1-i$ ədədinə vur: məxrəcdə $(1+i)(1-i)=1-i^2=2$ alınır, adi həqiqi ədəd. Bu kömək edən $1-i$ ədədinə qoşma deyilir.

Qoşmalar başqa yerdə də qarşına çıxır. $x^2-4x+13=0$ tənliyinin diskriminantı mənfidir, kökləri isə $2+3i$ və $2-3i$ ədədləridir, yəni bir-birinin qoşmasıdır.

Niyə lazımdır

Qoşma kompleks ədədlərlə işləməyin əsas alətidir. Kompleks ədədləri bölməyin əlverişli yolu surət və məxrəci məxrəcin qoşmasına vurmaqdır. Qoşmaya vurub məxrəci həqiqi ədədə çevirəndə istənilən qisməti rahatca $a+bi$ şəklinə gətirirsən.

İmtahan sualında çox vaxt bir işarə hər şeyi həll edir. Qoşmanı düz yazsan, qalanı adi çoxhədli vurmasıdır. Qoşmanı səhv yazsan, hesablamanın nəticəsi də səhv alınar.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda verilmiş kompleks ədədin qoşmasını tapmaq, qoşma ədəd iştirak edən cəmi, fərqi və hasili hesablamaq, qoşmanı məxrəcdə istifadə edərək qismətin cavabını $a+bi$ şəklinə gətirmək tələb olunur. Bəzən $i$ ədədinin qüvvətləri olan iki ədədin qoşma olması şərtindən məchul $x$ və $y$ həqiqi ədədləri tapılır. Bu tapşırıqlarda ədədlər çox vaxt çoxhədli kimi vurulub $i^2$ yerinə $-1$ qoyulmaqla sadələşir.

Qayda

$i$ xəyali vahiddir, $i^2=-1$ . $z=a+bi$ kompleks ədədində $a$ həqiqi hissə, $b$ xəyali hissədir.
$a-bi$ ədədi $a+bi$ ədədinin qoşması adlanır və $\overline{z}$ kimi yazılır. Qoşma ədədin həqiqi hissəsi eynidir, xəyali hissəsi əks işarə ilə yazılır.
Qoşma ədədlərdə hissələr
Ədəd Həqiqi hissə Xəyali hissə
$z=a+bi$ $a$ $b$
$\overline z=a-bi$ $a$ $-b$
Həqiqi ədədin qoşması özünə bərabərdir, məsələn $\overline{7}=7$ .
Qarşılıqlı qoşma ədədlərin hasili həqiqi ədəddir: $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ .
Cəm və hasil adi qayda ilə tapılır: həqiqi hissələr ayrıca, xəyali hissələr ayrıca toplanır, hasildə isə $i^2=-1$ nəzərə alınır.
Bölmədə surət və məxrəc məxrəcin qoşmasına vurulur.
$i$ -nin qüvvətləri dörd addımdan bir təkrarlanır: $i^{4m+k}=i^k$ , yəni $i^3=-i$ , $i^4=1$ .
$a+bi=c+di$ olması üçün $a=c$ və $b=d$ olmalıdır.

Qoşma ədədlərdə hissələr
Ədəd	Həqiqi hissə	Xəyali hissə
$z=a+bi$	$a$	$b$
$\overline z=a-bi$	$a$	$-b$

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

i^{4m+k}=i^k,\quad \overline{a+bi}=a-bi

$i^4=1$ olduğundan $i$ -nin qüvvəti üstün $4$ -ə bölünməsindən alınan qalıqla təyin olunur. İki ədəd qoşmadırsa, onların həqiqi hissələri üst-üstə düşür, xəyali hissələrinin cəmi isə sıfırdır.

Öyrənilməli düstur

\overline{a+bi}=a-bi

3 tapşırıqda

Kompleks ədədin qoşması həqiqi hissəni saxlayır, xəyali hissənin işarəsini əksinə çevirir. Burada $4-2i$ üçün $a=4$ , $b=-2$ olduğundan qoşma $4+2i$ alınır.

$a$ həqiqi hissə, $b$ isə xəyali hissədir; qoşma ədəddə xəyali hissənin işarəsi dəyişir. Tapşırıqda əvvəlcə $z_1$ -in qoşması yazılır, sonra həqiqi və xəyali hissələr ayrıca toplanır.

$z=a+bi$ ədədinin qoşması $\overline{z}=a-bi$ -dir: xəyali hissənin işarəsi dəyişir. Əvvəlcə qoşmanı yaz, sonra əməlləri həqiqi və xəyali hissələr üzrə apar.

Öyrənilməli düstur

\overline{a+bi}=a-bi,\quad (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

$a-bi$ ədədi $a+bi$ ədədinin qoşmasıdır. Əvvəlcə ikinci ədədin qoşmasını yaz, sonra iki ədədi vur və $i^2=-1$ götür.

Öyrənilməli düstur

\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}

Bölməni yerinə yetirmək üçün surət və məxrəci məxrəcin qoşması $c-di$ ədədinə vur; məxrəc $c^2+d^2$ həqiqi ədədinə çevrilir. Burada məxrəc $1-i$ olduğundan vuruq $1+i$ olur.

Öyrənilməli düstur

(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2

$a-bi$ ədədi $a+bi$ ədədinin qoşmasıdır və $i^2=-1$ olduğundan onların hasili həqiqi ədəddir. Burada $a=-3$ , $b=2$ götürülür.

Özün yoxla

Hər sualda bir ədəd tap və yaz. Əvvəlcə qoşmanı ayrıca yaz, sonra hesabla.

Nümunələr

z_1=4+3i

və

z_2=2-i

olduqda

\overline{z_1}+z_2

cəmini tap.

Həllə bax

$\overline{z_1}=4-3i$ , deməli, $(4-3i)+(2-i)=6-4i$ . Həqiqi hissələr və xəyali hissələr ayrıca toplanır.

$\dfrac{10+5i}{1+2i}$ qismətini hesabla.

Həllə bax

Surət və məxrəci $1-2i$ ədədinə vuraq: $\dfrac{(10+5i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\dfrac{10-20i+5i-10i^2}{1+4}=\dfrac{20-15i}{5}=4-3i$ .

$z_1=5+xi^7$ və $z_2=y+3i$ qoşma ədədlərdirsə, $x+y$ cəmini tap.

Həllə bax

$i^7=i^4\times i^3=-i$ olduğundan $z_1=5-xi$ . Həqiqi hissələr bərabər olduğundan $y=5$ . Xəyali hissələr əksdir: $-x=-3$ , yəni $x=3$ . Yoxlama: $z_1=5-3i$ olur və onun qoşması $5+3i$ ədədi $z_2$ ilə üst-üstə düşür. Cavab: $x+y=8$ .

Tipik səhv

$\overline{6-7i}=-6+7i$ . Hər iki hissənin işarəsi dəyişdirilib.

$\overline{6-7i}=6+7i$ . Xəyali hissənin işarəsi dəyişir, həqiqi hissə olduğu kimi qalır.

Qoşmada yalnız xəyali hissənin işarəsi dəyişir. Başqa bir səhv qoşmanı ümumiyyətlə yazmamaqdır. Birinci nümunədə $\overline{z_1}+z_2$ əvəzinə $z_1+z_2$ hesablasan, $(4+3i)+(2-i)=6+2i$ alarsan, halbuki düzgün cavab $6-4i$ -dir.

Xəyali hissəsi sıfırdan fərqli ədədlərdə bu iki cəm fərqli çıxır. Ona görə hesablamadan əvvəl qoşma ədədi ayrıca yaz, sonra əməli yerinə yetir.

Özünü sına

$z=-5-2i$ ədədinin qoşmasını tap.

$z=-4+i$ olduqda $z\overline{z}$ hasilini hesabla.

$\dfrac{4+7i}{2+i}$ qismətini hesabla.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Qoşma kompleks ədədlərə aid tapşırıqları həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Kompleks ədədlər haqqında», səh. 17