Limit və törəmə: orta sürətdən ani sürətə

Niyə lazımdır

Törəmə dəyişməni ölçür: fizikada sürət və təcil, həndəsədə toxunanın meyli, gündəlik məsələlərdə isə «nə vaxt ən çox, nə vaxt ən az» sualı. Funksiyanın harada artdığını və ən böyük qiymətini qrafik çəkmədən tapmaq üçün törəmə qısa yoldur.

Bu mövzunun tapşırıqları qısa hesablamalardır: düzgün qaydanı seçsən, iş bir neçə sətirlə bitir. Kiçik diqqətsizlik də səhv cavaba gətirə bilər, ona görə də işarələri və hesablamaları diqqətlə yoxla, aşağıdakı tipik səhvə də xüsusilə bax.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Qayda

• Limit yaxınlaşmanı göstərir: $x\to a$ zamanı $f(x)\to L$ olarsa, $\lim_{x\to a}f(x)=L$. Bunun üçün $f(a)$ mütləq mövcud olmalı deyil. Sonlu limit üçün sol və sağ limitlər eyni olmalıdır.
• Kəsilməzlik şərti: $f(a)$ təyin olunur və $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
• Sonlu limitlərdə cəm, fərq və hasil uyğun limitlərlə hesablanır; nisbətdə məxrəcin limiti sıfır olmamalıdır. Yerinə yazanda $0/0$ alınarsa, vuruqlara ayırma və ya qoşma ifadə ilə sadələşdirmə apar.
• Xüsusi limitlər radianla ölçülən bucaqlar üçündür: $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$.
• Sonsuzluqda $1/x\to0$. Rasional ifadədə surəti və məxrəci məxrəcin ən yüksək dərəcəli qüvvətinə böl. $(k-m)x+b+c/x$ ifadəsinin sonlu limiti üçün $k=m$ olmalıdır; limit onda $b$ olur.
• Asimptot: $x\to a$ zamanı birtərəfli limitlərdən biri $\pm\infty$ olarsa, $x=a$ şaquli asimptotdur. $x\to+\infty$ və ya $x\to-\infty$ zamanı limit $L$ olarsa, $y=L$ üfüqi asimptotdur.
• Törəmə ani dəyişmə sürətidir: $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$. Limitdən əvvəlki nisbət orta dəyişmə sürətini verir; ikinci törəmə $f''=(f')'$ şəklində tapılır.
• Toxunan üçün $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. Üfüqi toxunanda $f'(a)=0$.
• Əsas düsturlar: $(c)'=0$, $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=1/x$; sonuncuda $x>0$.
• Üstlü və loqarifmik funksiyalar: $(a^x)\prime=a^x\ln a$, $(\log_a x)\prime=1/(x\ln a)$; $a>0$, $a\ne1$, loqarifmdə $x>0$.
• Triqonometrik törəmələr: $(\sin x)\prime=\cos x$, $(\cos x)\prime=-\sin x$, $(\tan x)\prime=1/\cos^2x$, $(\cot x)\prime=-1/\sin^2x$. Bucaqlar radianladır; məxrəclər sıfır olmamalıdır.
• Diferensiallama: $(cu)'=cu'$, $(u\pm v)'=u'\pm v'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$; burada $v\ne0$.
• Mürəkkəb funksiya: $(F(u(x)))'=F'(u(x))\times u'(x)$. Daxili funksiyanın törəməsini də vur.
• Monotonluq: intervalda $f'>0$ artmanı, $f'<0$ azalmanı göstərir. Kəsilməz funksiyada törəmənin işarəsi $+\to-$ dəyişərsə lokal maksimum, $-\to+$ dəyişərsə lokal minimum alınır.
• Ən böyük qiymət: parçada kəsilməz funksiyanın uclardakı və daxildəki böhran nöqtələrindəki qiymətlərini müqayisə et. Böhran nöqtəsində funksiya təyin olunur, törəmə isə sıfırdır və ya mövcud deyil.
• Optimallaşdırma məsələsində axtarılan kəmiyyəti bir dəyişənlə ifadə et, mümkün qiymətlər aralığını müəyyənləşdir və maksimumu yaxud minimumu araşdır.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Nümunələr

Tipik səhv

Ən böyük qiymət axtararkən yalnız törəmənin köklərini yoxlama, parçanın uclarını da hesabla. Tapdığın absislə funksiyanın qiymətini də qarışdırma: $x=1$ nöqtədir, cavab isə $f$-in qiymətidir.

Limitdə də, törəmədə də eyni diqqət lazımdır: $0/0$ cavab deyil, ifadəni sadələşdir. Nisbətin törəməsində isə çıxma işarəsini və məxrəcin kvadratını saxla.

Özünü yoxla