Riyaziyyat, n-ci dərəcədən kök. İrrasional ifadələr. Həqiqi üstlü qüvvət

Köklər və qüvvətlər: modul, tam kvadrat və rasional üst

Köklü ifadəni sadələşdirməyi, modulu düzgün açmağı və bir qüvvəti başqası ilə ifadə etməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə ortadan qatlanmış ağ kağız vərəqi və yanında karandaş.

Əlindəki A4 vərəqini ortadan qatla. Alınan yarım vərəq A5 formatıdır və tərəflərinin nisbəti əvvəlki vərəqdəkinə təxminən bərabərdir. Bu təsadüf deyil: A seriyalı kağızlarda uzun tərəfin qısa tərəfə nisbəti $\sqrt2$ -yə çox yaxındır.

Niyə məhz $\sqrt2$ ? Tərəfləri $a$ və $b$ olan vərəqi yarıya bölsən, yeni tərəflər $b$ və $a/2$ olur. Nisbət dəyişməsin deyə $\frac{a}{b}=\frac{b}{a/2}$ olmalıdır. Buradan $a^2=2b^2$ , yəni $\frac{a}{b}=\sqrt2$ alınır. Deməli, A seriyalı kağızlarda tərəflərin nisbətini bir kvadrat kök müəyyən edir.

Bu mövzu belə ədədlərlə sərbəst işləməyi öyrədir: onları sadələşdirmək, müqayisə etmək və qüvvət şəklində yazmaq.

Niyə lazımdır

Köklər həndəsədə diaqonalı və hündürlüyü hesablayanda, qüvvətlər isə üstlü tənliklərdə və loqarifmlərdə hər addımda qarşına çıxır. Qüvvətlərin xassələrini bilməsən, $2^{x+1}$ kimi sadə bir ifadəni açmaq da çətinləşir.

İmtahanda bu mövzunun tapşırıqları qısadır, amma unudulmuş bir modul işarəsi cavabı tamam dəyişir. Burada qazandığın vərdiş, yəni hər addımda şərti yoxlamaq, başqa mövzularda da işinə yarayacaq.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda köklü ifadələri sadələşdirir, kök altında tam kvadrat axtarır və verilmiş şərtə əsasən modulu açırsan. Kök, modul və kvadratın cəminə qoyulan şərtdən dəyişənləri tapmaq da tələb olunur. Qüvvətlərlə bağlı tapşırıqlarda isə bir bərabərlikdən istifadə edərək başqa qüvvəti ifadə edirsən. Əsas diqqət hesablamadan əvvəl ifadənin işarəsini və tətbiq etdiyin qaydanın şərtini müəyyənləşdirməyə yönəlir.

Qayda

Kök qüvvətə yüksəltməni tərsinə yerinə yetirir: $b^n=a$ . Cüt dərəcəli $\sqrt[n]{a}$ yalnız $a\ge0$ üçün mənalıdır və mənfi qiymət almır. Tək dərəcəli kök mənfi ədəddən də alınır: $\sqrt[3]{-125}=-5$ .
Modul cüt dərəcəli kökün qeyri-mənfiliyini təmin edir: cüt $n$ üçün $\sqrt[n]{x^n}=|x|$ , tək $n$ üçün $\sqrt[n]{x^n}=x$ . Məsələn, $\sqrt{(-6)^2}=6$ ; kök işarəsi iki cavab bildirmir.
$a,b\ge0$ olduqda $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b}$ . Həmçinin $b>0$ şərti ilə $\sqrt[n]{a/b}=\sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}$ . İç-içə köklərdə $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$ ; burada $a\ge0$ və $m,n\ge2$ natural ədədlərdir.
Vuruğun çıxarılması üçün kök altında uyğun qüvvət ayır: $\sqrt{75}=5\sqrt3$ . Əksinə, müsbət vuruğu kvadrata yüksəldərək kvadrat kökün altına daxil et: $3\sqrt2=\sqrt{18}$ . Mənfi işarə çöldə qalır: $-3\sqrt2=-\sqrt{18}$ .
Tam kvadrat düsturları iç-içə kökləri açmağa kömək edir. $a,b\ge0$ üçün $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt a+\sqrt b$ , amma $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=|\sqrt a-\sqrt b|$ . Fərqin işarəsini yoxlamadan modulu silmə.
Qeyri-mənfilik: kvadrat kök, modul və kvadrat mənfi olmur. Belə toplananların cəmi sıfırdan böyük deyilsə, hamısı sıfırdır; hər birindən ayrıca tənlik qur.
Rasional üst kökü qüvvət şəklində yazır: $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$ ; burada $a>0$ , $m$ tam, $n\ge2$ naturaldır. $a^0=1$ və $a^{-r}=1/a^r$ ; mənfi üst ədədin əksini deyil, tərsini almağı bildirir.
Həqiqi üst üçün $a>0$ götürülür; irrasional üst rasional yaxınlaşmalar vasitəsilə mənalandırılır. $a^x\times a^y=a^{x+y}$ , $a^x/a^y=a^{x-y}$ , $(a^x)^y=a^{xy}$ . Üst böyüdükcə $a>1$ üçün qiymət artır, $0<a<1$ üçün azalır.

Tapşırıqlarda istifadə olunan düsturlar

Öyrənilməli düstur

\sqrt{x+y-2\sqrt{xy}}=|\sqrt{x}-\sqrt{y}|

6 tapşırıqda

Burada $x,y\ge0$ olmalıdır; kökaltı ifadə iki kökün fərqinin kvadratıdır. Verilən sərhəd şərti fərqin mənfi olmadığını göstərir, buna görə modulu açıb oxşar hədləri birləşdir.

Burada $x,y\ge0$ ; kökaltı ifadəni bu şəklə gətirmək üçün $x+y$ cəmini və $2\sqrt{xy}$ həddini uyğunlaşdır. Kökləri müqayisə edərək modulu aç və qalan oxşar hədləri birləşdir.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\sqrt{x+y+2\sqrt{xy}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\\[6pt]\sqrt{x+y-2\sqrt{xy}}=|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\end{gathered}

9 tapşırıqda

Düsturlarda $x,y\ge0$ götürülür, fərq isə $x\ge y$ olduqda mənfi deyil. Tapşırığın şərtinə əsasən modulu aç, sonra kəsrləri ortaq məxrəcə gətirib surəti sadələşdir.

Burada $x,y\ge0$ ; hər kökaltı ifadəni cəmin və ya fərqin kvadratı kimi tanı. Fərqin işarəsini yoxlayıb modulu aç, alınan kökləri çıx və nəticəni kvadrata yüksəlt.

Düsturlar $x,y\ge0$ üçün doğrudur; $x>y$ olduqda fərq müsbətdir. Verilən bərabərsizliyə əsasən kökləri aç, sonra eyni məxrəcli kəsrlərin surətlərini çıxıb ortaq vuruğu ixtisar et.

Düsturlarda $x,y\ge0$ götürülür, fərq isə $x\ge y$ olduqda mənfi deyil. Tapşırığın şərtinə əsasən modulu aç, sonra kəsrləri ortaq məxrəcə gətirib surəti sadələşdir.

Burada $x,y\ge0$ ; hər kökaltı ifadəni cəmin və ya fərqin kvadratı kimi tanı. Fərqin işarəsini yoxlayıb modulu aç, alınan kökləri çıx və nəticəni kvadrata yüksəlt.

Düsturlarda $x,y\ge0$ götürülür, fərq isə $x\ge y$ olduqda mənfi deyil. Tapşırığın şərtinə əsasən modulu aç, sonra kəsrləri ortaq məxrəcə gətirib surəti sadələşdir.

Burada $x,y\ge0$ ; hər kökaltı ifadəni cəmin və ya fərqin kvadratı kimi tanı. Fərqin işarəsini yoxlayıb modulu aç, alınan kökləri çıx və nəticəni kvadrata yüksəlt.

Öyrənilməli düstur

(a^p)^q=a^{pq}

Burada $a>0$ , $p$ və $q$ rasional ədədlərdir; qüvvəti yenidən qüvvətə yüksəldərkən üstlər vurulur. Axtarılan üstü verilmiş üstün qatı kimi yazıb bərabərliyin tərəflərini uyğun qüvvətə yüksəlt.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})=x-y\\[6pt](\sqrt{x}+\sqrt{y})^2+(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=2(x+y)\end{gathered}

Burada $x,y\ge0$ ; birinci eynilik qoşma köklü ifadələrin hasilini tapmağa imkan verir. Kəsri qoşma ifadənin kvadratı kimi yazdıqdan sonra ikinci eyniliklə kvadratların cəmini hesabla.

Öyrənilməli qayda

Hesabi kök, modul və kvadrat mənfi qiymət almır; belə toplananların cəmi sıfırdan böyük deyilsə, hamısı sıfırdır. Buna görə kökaltı ifadəni, modul daxilindəki ifadəni və kvadrata yüksəldilən fərqi ayrı-ayrılıqda sıfıra bərabərləşdir.

Özün hesabla

İfadənin qiymətini tap və cavabı yaz. Kəsr cavabı onluq kəsr kimi yaz.

Nümunələr

\sqrt{11-2\sqrt{30}}

ifadəsini sadələşdir. Cəmi

11

, hasili

30

olan ədədlər

6

və

5

-dir. Buna görə

\sqrt{11-2\sqrt{30}}=|\sqrt6-\sqrt5|=\sqrt6-\sqrt5

. Son addımda

6>5

şərtindən istifadə etdik.

$\sqrt{x-4}+|y+3|+(z-2)^2\le0$ olarsa, dəyişənləri tap. Hər toplanan qeyri-mənfidir, buna görə $x-4=0$ , $y+3=0$ , $z-2=0$ . Buradan $x=4$ , $y=-3$ , $z=2$ alınır; yerinə yazdıqda cəm sıfır olur.

$a,b>0$ və $a^{3/5}=b^{2/9}$ olduqda $a^{6/5}$ ifadəsini yaz. Axtarılan üst verilmiş üstün iki qatıdır: $a^{6/5}=(a^{3/5})^2=(b^{2/9})^2=b^{4/9}$ .

2\sqrt5

və

3\sqrt2

ədədlərini müqayisə et.

Həllə bax

Hər iki vuruğu kvadrata yüksəldib kökün altına daxil et: $2\sqrt5=\sqrt{4\times5}=\sqrt{20}$ .
Eyni qayda ilə: $3\sqrt2=\sqrt{9\times2}=\sqrt{18}$ .
Kökaltı ədəd nə qədər böyükdürsə, kvadrat kök də o qədər böyükdür. $20>18$ olduğu üçün $\sqrt{20}>\sqrt{18}$ .

$2\sqrt5>3\sqrt2$

Tipik səhv

$\sqrt{x^2}=x$ ; $\sqrt{9+16}=\sqrt9+\sqrt{16}=7$ ; $(a^2)^3=a^{2+3}=a^5$

$\sqrt{x^2}=|x|$ , sonra şərtə bax; $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ ; $(a^2)^3=a^{2\times3}=a^6$

$\sqrt{x^2}=x$ yazmaq mənfi $x$ üçün səhvdir: əvvəl $|x|$ yaz, sonra şərtə bax. Kökü cəmə paylama: $\sqrt{9+16}=5$ , halbuki $\sqrt9+\sqrt{16}=7$ .

Qüvvəti qüvvətə yüksəldəndə üstləri toplayıb nəticəni dəyişmə, bu halda üstlər vurulur.

Özünü yoxla

$x<5$ olduqda $\sqrt{(x-5)^2}+x$ ifadəsini sadələşdir.

$\sqrt{13-4\sqrt3}$ ifadəsini sadələşdir.

$8^{2/3}\times2^{-3}$ ifadəsinin qiymətini tap.

Bu mövzu üzrə sınağa keç

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Həqiqi üstlü qüvvət», səh. 245
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «n-ci dərəcədən kök», səh. 12
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «n-ci dərəcədən kökün xassələri», səh. 16
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Vuruğun kök işarəsi altından çıxarılması», səh. 18
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Vuruğun kök işarəsi altına daxil edilməsi», səh. 19
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Rasional üstlü qüvvət», səh. 21
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Rasional üstlü qüvvətin xassələri», səh. 22
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Kvadrat köklər. Hesabi kvadrat kök», səh. 7
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Hesabi kvadrat kökün xassələri», səh. 21
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Hesabi kvadrat kökün xassələrinin tətbiqi», səh. 24
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Tam üstlü qüvvət», səh. 28
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 1.1 «Kvadrat köklər», səh. 9
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 1.5 «Hesabi kvadrat kökün xassələri», səh. 24
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 1.6 «Hesabi kvadrat kökün xassələrinin tətbiqi», səh. 28
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 6.1 «Tam üstlü qüvvət və onun xassələri», səh. 39
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 6.2 «Ədədin standart şəkli», səh. 43