İbtidai funksiya və inteqral

Qayda

• İbtidai funksiya törəmə ilə yoxlanır: aralıq boyunca $F'(x)=f(x)$ olmalıdır. Həmin aralıqdakı bütün ibtidai funksiyalar bir-birindən sabit qədər fərqlənir.
• Qeyri-müəyyən inteqral bu funksiyalar ailəsini göstərir: $\int f(x)\,dx=F(x)+C$. $F(x_0)=y_0$ şərti veriləndə koordinatları yerinə yazıb $C$-ni tap.
• Qüvvət qaydası: $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$, $n\ne-1$. Həmçinin $\int k\,dx=kx+C$. Düsturları funksiyaların təyin olunduğu aralıqlarda tətbiq et.
• Cəmi və fərqi hədlərlə inteqralla; sabit vuruğu kənara çıxar. Hasil və kəsri əvvəlcə sadələşdirməyə çalış.
• Əsas düsturlar: $\int\dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C$; $\int e^x\,dx=e^x+C$; $\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C$, $a>0$, $a\ne1$.
• Triqonometrik inteqrallar: $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$, $\int\cos x\,dx=\sin x+C$, $\int\dfrac{dx}{\cos^2x}=\tan x+C$, $\int\dfrac{dx}{\sin^2x}=-\cot x+C$.
• Arqument $kx+b$ şəklindədirsə, $k\ne0$ üçün $\int f(kx+b)\,dx=\dfrac{F(kx+b)}k+C$. Burada $F'=f$; əlavə $1/k$ vuruğunu unutma.
• Xətti funksiya üçün $f(x)=mx+n$ yaz. İki nöqtədən $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ tap, sonra nöqtələrdən birini yerinə qoyaraq $n$-i hesabla.
• Nyuton-Leybnis düsturu: $f$ funksiyası $[a;b]$ parçasında kəsilməzdirsə və $F'=f$ olarsa, $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$. Nəticə ədəddir; sabitlər çıxılarkən ixtisar olunur.
• Müəyyən inteqralda xəttilik saxlanır. Sərhədlər dəyişdiriləndə işarə çevrilir; eyni sərhədlərdə nəticə sıfırdır. $a<c<b$ üçün $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$.
• Sahə üçün $a<b$ olduqda $S=\int_a^b|f(x)|\,dx$. İki qrafik arasında $S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$: sərhədləri kəsişmələrdən tap, hər hissədə yuxarıdakı funksiyadan aşağıdakını çıx.
• Fırlanma həcmi: $f\ge0$ olduqda qrafik, absis oxu və $x=a$, $x=b$ ilə məhdudlaşan bölgəni absis oxu ətrafında fırlatsan, $V=\pi\int_a^b[f(x)]^2\,dx$ alınar.