Riyaziyyat, Həqiqi ədədlər; Kompleks ədədlər

Həqiqi və kompleks ədədlər: natural ədəddən xəyali vahidə qədər

Ədəd çoxluqlarını ayırd etməyi, sadə vuruqları saymağı, qüvvətin son rəqəmini tapmağı və kompleks ədədlərlə hesablamağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 4 dəqiqə çəkir

$3-5$ neçədir? Cavab $-2$ -dir, amma natural ədədlərdə belə ədəd yoxdur. $1$ -i $3$ -ə böləndə də tam ədəd alınmır. Belə sual cavabsız qalanda ədədlər çoxluğunu genişləndiririk: natural ədədlərə sıfırı və mənfi tam ədədləri əlavə edəndə tam ədədlər, kəsrləri də qatanda rasional ədədlər alınır.

Amma bu da hər suala çatmır. $\sqrt2$ heç bir kəsrə bərabər deyil, onluq yazılışı da sonsuza qədər dövrsüz uzanır. Zəncirin son addımı isə ən qəribə sualdır: kvadratı $-1$ olan ədəd hansıdır? Həqiqi ədədin kvadratı mənfi ola bilməz, ona görə $x^2+1=0$ tənliyinin həqiqi kökü yoxdur.

Cavab $i$ adlı yeni ədəd oldu. Bu səhifədə həmin zəncirin hamısı var: natural ədəddən kompleks ədədə qədər.

Niyə lazımdır

Bu mövzunun bir neçə kiçik üsulu bəzi sualları daha tez həll etməyə kömək edir. Məsələn, $7^{100}$ ədədinin son rəqəmini tapmaq üçün onun tam qiymətini hesablamağa ehtiyac yoxdur: son rəqəmlərin dövründən istifadə edə bilərsən. Kompleks kəsrin surətini və məxrəcini məxrəcin qoşmasına vurmağı bilən də uzun hesablamadan qurtulur.

Üstəlik, bu qaydalar başqa mövzularda da lazım olur: kəsrlər, modul və əməllərin sırası demək olar ki, hər riyaziyyat tapşırığında var.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda qarşılıqlı sadə ədədlərin hasilini ƏKOB vasitəsilə müəyyənləşdirir, sadə vuruqları sayır və qüvvətlərin son rəqəmini araşdırırsan. Kompleks ədədlərlə bağlı suallarda isə bərabərlikdən məchulları tapır, bölməni yerinə yetirir, kvadrat tənliyin köklərini hesablayırsan. Bəzən cavab kökün özü deyil, onun hissələrinin hasilidir.

Qayda

Ədədi çoxluqlar: $N=\{1,2,3,\ldots\}$ natural, $Z$ tam, $Q$ rasional, $R$ həqiqi, $C$ kompleks ədədlər çoxluğudur; $N\subset Z\subset Q\subset R\subset C$ . Rasional ədədi $\frac mn$ şəklində yazmaq mümkündür: $m\in Z$ , $n\in N$ . İrrasional ədədin onluq yazılışı sonsuzdur və dövri deyil.
Müqayisə: ədəd oxunda sağdakı ədəd böyükdür. Mənfi ədədlərdən sıfra yaxın olanı böyükdür. $|a|$ sıfıra qədər məsafəni göstərir; $a\geq0$ üçün $|a|=a$ , $a<0$ üçün $|a|=-a$ .
Kəsrləri toplamaq üçün ortaq məxrəc seç; bölərkən ikinci kəsrin tərsinə vur. Sıfra bölmək olmaz. Hesablamada əvvəl mötərizəni, sonra qüvvəti, vurma və bölməni, sonda toplama və çıxmanı yerinə yetir.
Sadə vuruqlar: sadə ədədin məhz iki müsbət böləni var; $1$ sadə deyil. $A=p^r q^s$ yazılışında $p,q$ müxtəlif sadə ədədlərdirsə, təkrarlarla vuruq sayı $r+s$ olur.
ƏBOB və ƏKOB: natural $a,b$ üçün $\operatorname{ƏBOB}(a,b)\times\operatorname{ƏKOB}(a,b)=ab$ . Qarşılıqlı sadəlik ƏBOB-un $1$ olmasıdır. Cəm və hasil məlumdursa, $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ kömək edir.
Son rəqəm: əsasın son rəqəminin qüvvətlərində təkrarlanmanı tap. Məsələn, $2$ üçün dövr $2,4,8,6$ olduğundan üstü $4$ -ə bölərkən qalığı yoxla; qalıq sıfırdırsa, dövrün dördüncü rəqəmini seç.
Kompleks ədəd: $z=a+bi$ , $a,b\in R$ , $i^2=-1$ . Həqiqi hissə $a$ , xəyali hissə $b$ olur. Bərabər kompleks ədədlərdə uyğun hissələri ayrıca bərabərləşdir.
Qoşma: $\overline z=a-bi$ və $z\overline z=a^2+b^2$ . Toplama və çıxmada uyğun hissələrlə hesabla; vurmada mötərizələri açıb $i^2$ əvəzinə $-1$ yaz. Bölmədə surəti də, məxrəci də məxrəcin qoşmasına vur.
$i,i^2,i^3,i^4$ ardıcıl olaraq $i,-1,-i,1$ qiymətlərini alır; dövr dörd addımlıdır. Həqiqi əmsallı $ax^2+bx+c=0$ tənliyində $a\ne0$ , $D=b^2-4ac<0$ olarsa, $x=\frac{-b\pm i\sqrt{-D}}{2a}$ .

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\operatorname{ƏKOB}(a,b)=ab\\[6pt]a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\end{gathered}

$a$ və $b$ qarşılıqlı sadə natural ədədlər olduqda onların hasilini ƏKOB vasitəsilə tapa bilərsən. Kvadratların cəmini hesablamaq üçün cəmin kvadratından hasilin iki mislini çıx.

Öyrənilməli düstur

|x|=\begin{cases}x,&x\ge0,\\-x,&x<0.\end{cases}

$x$ modul daxilindəki həqiqi ifadədir; onun işarəsi modulun necə açılacağını müəyyən edir. Kökü müsbət onluq kəsrlərlə müqayisə etmək üçün onların kvadratlarını kökaltı ədədlə müqayisə et, sonra modulları açıb topla.

Öyrənilməli düstur

\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2},\qquad c^2+d^2>0

6 tapşırıqda

$a,b,c,d$ həqiqi ədədlər, $i$ isə $i^2=-1$ şərtini ödəyən xəyali vahiddir. Bölənin qoşması ilə genişləndirmə məxrəci həqiqi edir; alınan ifadəni sadələşdirib həqiqi və xəyali hissələri bir-birinə vur.

$a,b,c,d$ həqiqi ədədlərdir və $i^2=-1$ olur. Kəsri bölənin qoşması ilə genişləndir, surətdəki hasili aç və həqiqi hissə ilə $i$ -nin əmsalını həqiqi məxrəcə böl.

Öyrənilməli düstur

D=b^2-4ac<0,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-D}}{2a}

$a,b,c$ həqiqi əmsallar, $a\ne0$ və $D<0$ olduqda $ax^2+bx+c=0$ tənliyinin kökləri bu düsturla tapılır. Kökü $u+vi$ şəklində yazıb $v>0$ olanını seç və həqiqi hissə $u$ ilə xəyali hissə $v$ -nin hasilini hesabla.

Öyrənilməli düstur

(z+t)(\bar z+t)=(a+t)^2+b^2

$a,b,t$ həqiqi ədədlərdir və $z=a+bi$ üçün qoşma ədəd $\bar z=a-bi$ olur. Qoşma ədədlərin hər ikisinə eyni həqiqi ədədi əlavə etdikdə yenə qoşma cüt alınır; onların hasili həqiqi və xəyali hissələrin kvadratlarını toplamaqla hesablanır.

Öyrənilməli düstur

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

$a,b,c,d$ həqiqi ədədlər, $i$ isə xəyali vahiddir. Mötərizələri açarkən $i^2$ əvəzinə $-1$ yaz, sonra həqiqi hədləri və $i$ olan hədləri ayrı-ayrılıqda birləşdir.

Öyrənilməli düstur

\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i

Burada $a,b,c,d$ həqiqi ədədlərdir, $c^2+d^2>0$ və $i^2=-1$ ; $c-di$ məxrəcdəki ədədin qoşmasıdır. Naməlum kompleks vuruğu tapmaq üçün verilmiş hasili məlum vuruğa böl və bu düsturla həqiqi və xəyali hissələri ayır.

Öyrənilməli qayda

Həqiqi $x$ üçün $|x|=x$ bərabərliyi $x\ge0$ , $|x|=-x$ bərabərliyi isə $x\le0$ şərtinə uyğundur. Verilən bərabərliklərdən dəyişənlərin sərhədlərini tap, fərqlərin işarəsini müəyyənləşdir və modulları açaraq kəsri ixtisar et.

Öyrənilməli qayda

Sadə vuruqlara ayrılışda hər qüvvətin üstü həmin sadə vuruğun neçə dəfə təkrarlandığını göstərir; bütün üstləri toplamaqla təkrarlar daxil vuruqların sayını tapırsan. Əsasları sadə vuruqlarla yaz, alınan say bərabərliyinin müsbət tam həllərini seç və tələb olunan dəyişənin qiymətlərini topla.

Öyrənilməli qayda

Sonu 3 və ya 7 ilə bitən natural ədədlərin qüvvətlərində son rəqəmlər dörd addımlıq dövr yaradır: 3 üçün $3,9,7,1$ , 7 üçün $7,9,3,1$ . Üstün 4-ə bölünməsindən qalıq 1, 2, 3 olduqda uyğun mövqeni, qalıq sıfır olduqda dördüncü mövqeni seç və alınan rəqəmlərin cəminin son rəqəmini götür.

Öyrənilməli qayda

İki kompleks ədədin bərabər olması üçün həm həqiqi hissələr, həm də $i$ -nin əmsalları uyğun olaraq eyni olmalıdır. Bu iki şərti ayrı bərabərliklər kimi yaz və məchulları tap.

Öyrənilməli qayda

Natural ədədlərin hasilində son rəqəm yalnız vuruqların son rəqəmlərindən asılıdır; sonu 3 və 7 olan əsasların qüvvətləri üçün dövrlər uyğun olaraq $3,9,7,1$ və $7,9,3,1$ -dir. Üstləri 4-ə böləndə qalan qalığa uyğun mövqeni seçərək, sıfır qalıqda dördüncü mövqedən istifadə et və müsbət tam cütləri cəmlərinin artma sırası ilə yoxla.

Öyrənilməli qayda

İki kompleks ədədin bərabər olması üçün onların həqiqi hissələri öz aralarında, xəyali hissələri də öz aralarında bərabər olmalıdır və bu şərt kifayətdir. Verilmiş bərabərlikdə uyğun hissələri bərabərləşdirərək iki tənlik qur, sistemi həll et və istənilən fərqi hesabla.

Özünü yoxla

Hər sualda bir ədəd yaz. Səhv etsən, həll addımlarını görəcəksən.

Nümunələr

Qarşılıqlı sadə iki natural ədədin cəmi

17

, ƏKOB-u

72

-dir. Kvadratlarının cəmini tap.

Həllə bax

Hasil $72$ olduğuna görə cavab $17^2-2\times72=145$ alınır.

$\frac{4+3i}{2-i}$ ifadəsini sadələşdir.

Həllə bax

Məxrəcin qoşması $2+i$ olduğundan $\frac{(4+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{5+10i}{5}=1+2i$ . Həqiqi hissə $1$ , xəyali hissə $2$ -dir.

$x^2+2x+10=0$ tənliyini həll et.

Həllə bax

$D=4-40=-36$ və $x=\frac{-2\pm6i}{2}=-1\pm3i$ . Xəyali hissəsi müsbət kök $-1+3i$ olduğundan hissələrinin hasili $(-1)\times3=-3$ olur.

Tipik səhv

$z=3-5i$ üçün xəyali hissə $-5i$ -dir; $2^4\times5^2$ ədədinin sadə vuruqlarının sayı $2$ -dir.

$z=3-5i$ üçün xəyali hissə $-5$ -dir; $2^4\times5^2$ üçün təkrarlarla sadə vuruqların sayı $4+2=6$ , müxtəlif sadə bölənlərin sayı isə $2$ -dir.

Xəyali hissəni $bi$ götürmə: bu hissə $b$ əmsalıdır, yəni $i$ hərfi ona daxil deyil.

Həmçinin təkrarlarla sadə vuruqların sayı müxtəlif sadə bölənlərin sayı deyil: birincidə üstləri toplayırsan, ikincidə yalnız neçə fərqli sadə əsas olduğunu sayırsan. Sual hansını istəyirsə, onu say.

Özünü sına

$|\sqrt{5}-3|+\sqrt{5}$ ifadəsinin qiymətini tap.

$12^2\times5$ ədədinin təkrarlarla birlikdə neçə sadə vuruğu var?

$z=(2-i)(3+2i)$ ədədinin xəyali hissəsini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını gör.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Kompleks ədədlər haqqında», səh. 17
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Həqiqi ədədlər», səh. 6
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədəd oxu», səh. 7
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Həqiqi ədədin mütləq qiyməti», səh. 9
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi çoxluqlar və təqdim formaları», səh. 10
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Həqiqi ədədlər», səh. 11
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 1.2 «Həqiqi ədədlər», səh. 14
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 1.3 «Həqiqi ədədlərin müqayisəsi», səh. 17
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 1.1 «Rasional ədədlər», səh. 9
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 1.2 «Rasional ədədin onluq kəsr şəklində yazılışı», səh. 13
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 1.3 «Rasional ədədlərin müqayisəsi və sıralanması», səh. 17
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 1.4 «Rasional ədədlərin toplanması və çıxılması», səh. 22
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 1.5 «Rasional ədədlərin vurulması və bölünməsi», səh. 26
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 1.6 «Ədədi ifadələrin qiymətinin hesablanması», səh. 29
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 1.1 «Natural ədədin qüvvəti», səh. 9
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 1.2 «Sadə və mürəkkəb ədədlər», səh. 12
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 1.3 «Ən böyük ortaq bölən (ƏBOB)», səh. 16
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 1.4 «Ən kiçik ortaq bölünən (ƏKOB)», səh. 20
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 3.1 «Tam ədədlər», səh. 73
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 3.2 «Tam ədədlərin müqayisəsi və sıralanması», səh. 76
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 3.3 «Ədədin mütləq qiyməti», səh. 79
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 3.4 «Tam ədədlərin toplanması», səh. 82
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 3.5 «Tam ədədlərin çıxılması», səh. 86
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 3.6 «Tam ədədlərin vurulması və bölünməsi», səh. 91
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 3.7 «Tam ədədlər üzərində əməllər», səh. 95
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 1.1 «Natural ədədlər», səh. 9
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 1.2 «Müqayisə və sıralama», səh. 13
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 1.3 «Natural ədədlərin yuvarlaqlaşdırılması», səh. 16
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 1.4 «Natural ədədlərin toplanması və çıxılması», səh. 18
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 1.5 «Natural ədədin kvadratı və kubu», səh. 21
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 1.6 «Natural ədədlərin vurulması və bölünməsi», səh. 23
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 1.8 «Ədədin bölən və bölünənləri», səh. 30
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 2.1 «Düzgün kəsrlər və düzgün olmayan kəsrlər», səh. 39
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 2.2 «Müqayisə və sıralama», səh. 43
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 2.3 «Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması və çıxılması», səh. 47
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 2.4 «Qarışıq ədədlərin toplanması», səh. 51
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 2.5 «Qarışıq ədədlərin çıxılması», səh. 56
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 2.6 «Adi kəsrlərin vurulması», səh. 64
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 2.7 «Qarışıq ədədlərin vurulması», səh. 68
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 2.8 «Adi kəsrlərin bölünməsi», səh. 71
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 2.9 «Qarışıq ədədlərin bölünməsi», səh. 75
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 2.10 «Ədədin hissəsinin və hissəsinə görə ədədin tapılması», səh. 77
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 3.1 «Onluq kəsrlər», səh. 85
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 3.2 «Müqayisə və sıralama», səh. 87
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 3.3 «Onluq kəsrlərin yuvarlaqlaşdırılması», səh. 89
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 3.4 «Adi kəsrin onluq kəsrə, onluq kəsrin adi kəsrə çevrilməsi», səh. 91
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 3.5 «Onluq kəsrlərin toplanması və çıxılması», səh. 94
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 3.6 «Onluq kəsrlərin 10-un qüvvətlərinə vurulması və bölünməsi», səh. 100
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 3.7 «Onluq kəsrin natural ədədə vurulması», səh. 103
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 3.8 «Onluq kəsrlərin vurulması», səh. 105
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 3.9 «Onluq kəsrin natural ədədə bölünməsi», səh. 107
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 3.10 «Ədədin onluq kəsrə bölünməsi», səh. 110
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 3.11 «Adi və onluq kəsrlər üzərində əməllər», səh. 113