Riyaziyyat, Fiqurların sahəsi

Fiqurların sahəsi: hündürlüyü yan tərəfdən ayırmağı öyrən

Hər fiqurun sahəsini düzgün düsturla tapmağı və hündürlüyü yan tərəfdən ayırmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: yarısına laminat döşənmiş boş otaq, döşənməmiş hissədə üst-üstə qoyulmuş laminat taxtaları.

Otağa laminat və ya kafel alanda ilk sual budur: neçə kvadrat metr? Divar boyası, pərdə parçası, həyətə sərilən çəmən rulonu da sahəyə görə hesablanır. Səhv sayırsansa, ya material çatmır, ya da artığı küncdə qalır.

İndi dörd çubuğu künclərindən oynaq bərkidib düzbucaqlı düzəlt və onu yandan it. Çubuqlar nə uzanır, nə qısalır, amma fiqur paraleloqrama çevrilir və içi getdikcə daralır. Tərəflər eyni qalıb, sahə isə kiçilib.

Deməli, sahəni təkcə tərəflər həll etmir. Tərəflər sabit qalanda sahə hündürlükdən asılı olaraq dəyişir, bu səhifə də elə onun haqqındadır.

Niyə lazımdır

Sahə həndəsənin hər yerində qarşına çıxır: prizmanın səthində, koordinat müstəvisindəki fiqurda, torpaq sahəsi və ya döşəmə haqqında mətnli məsələdə. Formulu əzbər bilmək işin yarısıdır. Əsas bacarıq lazım olan hündürlüyü tapmaq və qəribə fiquru tanış hissələrə bölməkdir.

İmtahanda belə məsələ çox vaxt iki addımdan ibarət olur: əvvəl sinusla və ya Pifaqor teoremi ilə hündürlüyü tapırsan, sonra onu düstura qoyursan. Bu iki addımı rahat edə bilirsənsə, mövzunun məsələlərindən qorxmağa ehtiyac yoxdur.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda bu mövzu geniş yer tutur. Ən çox trapesiyanın və paraleloqramın sahəsi tapılır: ölçülər şəkildə və ya mətndə verilir, bəzən bucaqlar, diaqonallar və ya tənbölənlər də iştirak edir. Üçbucağın, rombun və kvadratın sahəsinə, həmçinin mürəkkəb fiqurun sahəsinin hissələrə bölünərək tapılmasına dair məsələlər də gəlir.

Qayda

Sahə kvadrat vahidlərlə ölçülür. Hesablamadan əvvəl bütün uzunluqları eyni ölçü vahidinə gətir.
Düzbucaqlı: $S=a\times b$ . Kvadrat: $S=a^2$ .
Paraleloqram və romb: $S=a\times h$ , burada $h$ həmin tərəfə çəkilmiş hündürlükdür (perpendikulyar). İki qonşu tərəf və aralarındakı bucaq verilsə, $S=a\times b\times\sin\alpha$ .
Rombun sahəsini diaqonallarla da tapmaq olar: $S=\dfrac12\,d_1\times d_2$ .
Üçbucaq: $S=\dfrac12\,a\times h$ və ya $S=\dfrac12\,a\times b\times\sin C$ . Üç tərəf məlumdursa, Heron düsturu işləyir: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , burada $p$ yarımperimetrdir.
Trapesiya: $S=\dfrac{a+b}{2}\times h$ ( $a$ və $b$ oturacaqlardır).
Mürəkkəb fiqurun sahəsi onu düzbucaqlılara və üçbucaqlara bölüb sahələri toplamaqla, yaxud düzbucaqlıya tamamlayıb artıq hissəni çıxmaqla tapılır.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

S=\frac{a+b}{2}\times h

Trapesiya: oturacaqları a və b, hündürlüyü h.

$a$ və $b$ trapesiyanın oturacaqlarıdır, $h$ isə hündürlüyüdür. Düzbucaqlı trapesiyada oturacaqlara perpendikulyar yan tərəf hündürlük olduğundan $h=12$ götürülür.

Öyrənilməli düstur

S=a\times h=2\times S_{\triangle},\quad S_{\triangle}=\frac{a\times h}{2}

Paraleloqram: tərəfi a, ona çəkilmiş hündürlük h; eyni oturacaqlı və eyni hündürlüklü üçbucaq.

$a$ paraleloqramın tərəfi, $h$ isə ona çəkilmiş hündürlükdür. Burada $AB$ tərəfi və ona çəkilmiş hündürlük $AMB$ üçbucağı ilə ortaqdır, ona görə üçbucağın sahəsini iki dəfə artırırsan.

Çərçivəni yandan it

Tərəfləri $a$ və $b$ olan paraleloqramın bucağını dəyiş. Tərəflər eyni qalır, hündürlük və sahə isə dəyişir.

Nümunələr

Trapesiyanın oturacaqları 9 sm və 15 sm, hündürlüyü 7 sm-dir. Sahəsini tap.

Həllə bax

S=\dfrac{9+15}{2}\times 7=12\times 7=84

^2

Paraleloqramın tərəfləri 8 sm və 5 sm, aralarındakı bucaq $30^\circ$ -dir. Sahəsini tap.

Həllə bax

$S=8\times 5\times\sin 30^\circ=40\times\dfrac12=20$ sm $^2$ . Yoxlama: 8 sm-lik tərəfə çəkilmiş hündürlük $5\times\sin 30^\circ=2{,}5$ sm-dir və $8\times 2{,}5=20$ .

Tərəfləri 10 sm və 6 sm olan düzbucaqlının küncündən tərəfləri 4 sm və 3 sm olan düzbucaqlı kəsilib və L şəkilli fiqur qalıb. Sahəsini tap.

Həllə bax

Böyük düzbucaqlının sahəsi $10\times 6=60$ sm $^2$ , kəsilən hissənin sahəsi $4\times 3=12$ sm $^2$ olduğundan $60-12=48$ sm $^2$ .

L şəkilli fiqur: 10 sm və 6 sm tərəfli düzbucaqlıdan 4 sm və 3 sm tərəfli düzbucaqlı kəsilib (qırmızı, qırıq xətt).

Bərabəryanlı trapesiyanın oturacaqları 4 sm və 10 sm, yan tərəfi 5 sm-dir. Sahəsini tap.

Həllə bax

Kiçik oturacağın uclarından böyük oturacağa iki hündürlük endir. Böyük oturacağın kənarlarında iki bərabər parça qalır: $\dfrac{10-4}{2}=3$ sm.
Yan tərəf, hündürlük və 3 sm-lik parça düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir. Pifaqor teoremi ilə: $h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$ sm.
$S=\dfrac{4+10}{2}\times 4=7\times 4=28$ sm $^2$ . Diqqət et: 5 sm yan tərəfdir, onu hündürlük yerinə qoysaydın, səhv cavab alardın.

28 sm $^2$

Tipik səhv

Paraleloqramın qonşu tərəfləri 8 sm və 5 sm, aralarındakı bucaq $30^\circ$ -dir: $S=8\times 5=40$ sm $^2$ .

5 sm yan tərəfdir, hündürlük deyil: $h=5\times\sin 30^\circ=2{,}5$ sm, $S=8\times 2{,}5=20$ sm $^2$ .

Paraleloqramın, üçbucağın və trapesiyanın sahəsini hesablayanda hündürlük əvəzinə yan tərəfin uzunluğunu götürmək olmaz. Hündürlük tərəfə perpendikulyardır, ona görə onu sinusla və ya Pifaqor teoremi ilə tapırsan.

Üçbucaqda $\dfrac12$ , trapesiyada $\dfrac{a+b}{2}$ vuruğunu da unutma.

Özünü yoxla

Paraleloqramın qonşu tərəfləri $12$ sm və $7$ sm-dir. $12$ sm-lik tərəfə çəkilmiş hündürlük $5$ sm-dir. Sahəsini tap.

Rombun diaqonalları $6$ sm və $14$ sm-dir. Sahəsini tap.

Trapesiyanın oturacaqları $7$ sm və $11$ sm, sahəsi $72$ sm $^2$ -dir. Hündürlüyünü tap.

Bu mövzunu sınaqda yoxla

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 7.1 «Üçbucağın sahəsi», səh. 55
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 7.2 «Paraleloqramın və trapesiyanın sahəsi», səh. 59
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 8.1 «Üçbucağın sahəsi», səh. 81
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 8.2 «Paraleloqram və rombun sahəsi», səh. 83
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 6.4 «Düzbucaqlı və düzbucaqlı üçbucaqdan təşkil olunmuş fiqurun sahəsi», səh. 49