Riyaziyyat, Çoxüzlülər; Fırlanma cisimləri

Fəza fiqurlarının səthi və həcmi: prizmadan kürəyə qədər

Prizma, piramida, silindr, konus və kürənin səthini və həcmini hesablamağı, düstur üçün lazım olan hündürlüyü tapmağı öyrənəcəksən.

Oxu müddəti: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə boş vafli dondurma konusu və şəffaf şüşə stəkan.

Bir vafli dondurma konusu və bir stəkan təsəvvür et. Konusun içini düz dairəvi konus, stəkanın içini isə silindr kimi götürək. Qoy ikisinin də oturacaq radiusu və hündürlüyü eyni olsun. Baxanda elə gəlir ki, konus stəkanın təxminən yarısı qədər tutar. Əslində bu modeldə o, düz üçdə biri qədər tutur: konusun həcmi eyni oturacaqlı və eyni hündürlüklü silindrin həcminin üçdə biridir.

Daha bir sürpriz də var. Qarpızı kürə kimi modelləşdirsək, diametri iki dəfə böyüdükdə səthinin sahəsi dörd, həcmi isə səkkiz dəfə artır. Göz bu fərqləri tutmur, düsturlar isə dəqiq tutur.

Niyə lazımdır

Bu düsturlar gündəlik suallara cavab verir: çəlləyə nə qədər su sığar, qutunu bükmək üçün nə qədər kağız gedər, divara nə qədər boya lazımdır. Səth sahəsi materialı, həcm isə tutumu ölçür.

İmtahanda bir cisimdə adətən bir neçə ölçü gizlənir: biri verilir, qalanlarını Pifaqor teoremi ilə və ya bucaqdan tapırsan. Düsturu bilmək işin yarısıdır. O biri yarısı hansı parçanın həqiqətən hündürlük olduğunu görməkdir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda fəza cisminin səth sahəsini və həcmini hesablayırsan. Lazım olan ölçüləri bəzən konusun açılışından və ox kəsiyindən, bəzən piramidanın yan tilinin meyil bucağından tapırsan. Kürəyə daxil edilmiş prizma və trapesiya oturacaqlı prizmanın yan üzləri haqqında verilənlər də həcm hesablamasına gətirir.

Qayda

Hündürlük oturacaq müstəvisinə perpendikulyar ölçülür. Aşağıda $B$ oturacağın sahəsi, $P$ onun perimetri, $h$ cismin hündürlüyüdür. Sahə kvadrat, həcm kub vahidlə göstərilir.
Prizma üçün $V=Bh$ ; düz prizmada $S_{yan}=Ph$ , $S_{tam}=Ph+2B$ . Trapesiya oturacağında $B=\frac{(a+b)t}{2}$ ; burada $t$ trapesiyanın hündürlüyüdür. Uyğun yan üzlərin sahələri $aH$ və $bH$ verilərsə, $V=\frac{(aH+bH)t}{2}$ .
Kuboid üçün $V=abc$ , $S_{tam}=2(ab+ac+bc)$ , fəza diaqonalı $D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ . Kubda bunlar $a^3$ , $6a^2$ , $a\sqrt3$ olur.
Piramida üçün $V=\frac13Bh$ , $S_{tam}=S_{yan}+B$ . Düzgün piramidada $S_{yan}=\frac12Pm$ ; apofem $m$ yan üçbucağın hündürlüyüdür. Yan til $e$ oturacaqla $\alpha$ bucağı yaradırsa, $h=e\sin\alpha$ . Bütün yan tillərin meyil bucaqları bərabərdirsə, hündürlüyün ayağı oturacağın xaricinə çəkilən çevrənin mərkəzidir.
Silindr dedikdə düz dairəvi silindr götürürük: $S_{yan}=2\pi rh$ , $S_{tam}=2\pi rh+2\pi r^2$ , $V=\pi r^2h$ . Oxdan keçən kəsik ölçüləri $2r$ və $h$ olan düzbucaqlıdır.
Konus üçün də düz dairəvi halı götürürük: $l^2=r^2+h^2$ , $S_{yan}=\pi rl$ , $S_{tam}=\pi rl+\pi r^2$ , $V=\frac13\pi r^2h$ . Ox kəsiyində $S=rh$ ; təpə bucağı $90^\circ$ olduqda $r=h$ . Açılış sektorunun radiusu $l$ , bucağı $\theta$ olduqda $\frac rl=\frac{\theta}{360^\circ}$ .
Kəsik konus üçün $S_{yan}=\pi(R+r)l$ , $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$ , $l^2=h^2+(R-r)^2$ . Tam səthin sahəsi üçün yan səthin sahəsinə hər iki oturacağın sahəsini əlavə et. Kəsik piramidada $V=\frac h3(B_1+B_2+\sqrt{B_1B_2})$ .
Kürə üçün $S=4\pi R^2$ , $V=\frac43\pi R^3$ . Kürəyə daxil edilmiş kuboidin fəza diaqonalı $2R$ olur. Kvadratın diaqonalı $d$ olduqda sahəsi $\frac{d^2}{2}$ olur.
Oxşarlıq zamanı uyğun uzunluqların nisbəti $k$ olarsa, səthlərin nisbəti $k^2$ , həcmlərin nisbəti $k^3$ olar. Birləşdirilmiş cisimlərdə ortaq səth xarici səthə daxil edilmir.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

V=\frac{S_{\mathrm{ot}}h}{3}

$S_{\mathrm{ot}}$ oturacağın sahəsini, $h$ piramidanın hündürlüyünü göstərir. Yan tillər oturacağa eyni bucaq altında meyilləndikdə hündürlüyün ayağı oturacağın xaricinə çəkilən çevrənin mərkəzində yerləşir; düzbucaqlı üçbucaqda bu nöqtə hipotenuzun ortası olduğundan əvvəlcə hündürlüyü və oturacağın sahəsini tap.

Öyrənilməli düstur

\tan\alpha=\frac{h}{r},\qquad r=\frac{a\sqrt{3}}{6}

Düzgün üçbucaqlı piramidada $h$ hündürlük, $a$ oturacağın tərəfi, $r$ isə oturacaq mərkəzindən tərəfə olan məsafədir. Oturacaqdakı ikiüzlü bucağı ölçən $\alpha$ , apofemlə bu məsafəni göstərən parça arasında yerləşir; onun tangensini hündürlüyün həmin məsafəyə nisbətindən tap.

Öyrənilməli düstur

S_{\mathrm{tam}}=2\pi r(h+r),\qquad S_{\mathrm{ox}}=2rh

Silindrdə $r$ radiusu, $h$ hündürlüyü, $S_{\mathrm{ox}}$ isə ox kəsiyinin sahəsini bildirir. $h=2r$ olduqda kəsik kvadrat alınır; onun sahəsindən ölçüləri müəyyənləşdirib yan səthə hər iki oturacağın sahəsini əlavə et.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\frac{r}{l}=\frac{\theta}{360^\circ}\\[6pt]h^2=l^2-r^2,\qquad S_{\mathrm{ox}}=rh\end{gathered}

$\theta$ açılış sektorunun mərkəzi bucağı, $l$ konusun doğuranı, $r$ radiusu, $h$ hündürlüyü, $S_{\mathrm{ox}}$ ox kəsiyinin sahəsidir. Sektor qövsü oturacaq çevrəsinə uyğun gəldiyindən əvvəlcə radiusla doğuranın nisbətini, sonra Pifaqor teoremi və kəsiyin sahəsi ilə hündürlüyü müəyyənləşdir.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}S_{\mathrm{tam}}-S_{\mathrm{yan}}=2\pi r^2\\[6pt]S_{\mathrm{yan}}=2\pi rh,\qquad V=\pi r^2h\end{gathered}

$r$ silindrin radiusunu, $h$ hündürlüyünü göstərir; $S_{\mathrm{tam}}$ tam səthin, $S_{\mathrm{yan}}$ yan səthin sahəsidir. Sahələrin fərqindən radiusu, yan səthdən hündürlüyü müəyyənləşdir və bu ölçülərlə həcmi hesabla.

Öyrənilməli düstur

\sin\alpha=\frac{2r}{d}

Düz dairəvi silindrdə $r$ radius, $d$ ox kəsiyinin diaqonalı, $\alpha$ isə həmin diaqonalla doğuran arasındakı bucaqdır. Düzbucaqlı kəsikdə diaqonalın ayırdığı üçbucağa bax: bu bucağın qarşısındakı katet diametr, hipotenuz isə diaqonaldır.

Öyrənilməli düstur

d^2+h^2=(2R)^2,\qquad V=\frac{d^2h}{2}

Kürəyə daxilən çəkilmiş düzgün dördbucaqlı prizmada $R$ kürənin radiusu, $h$ prizmanın hündürlüyü, $d$ kvadrat oturacağın diaqonalıdır. Prizmanın fəza diaqonalı kürənin mərkəzindən keçdiyi üçün əvvəlcə $d$ -ni tap, sonra kvadratın sahəsini hündürlüyə vur.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}S_{\mathrm{ot}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},\qquad h=a\sqrt{\frac{2}{3}}\\[6pt]V=\frac{S_{\mathrm{ot}}h}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\end{gathered}

Düzgün tetraedrdə $a$ bütün tillərin ortaq uzunluğu, $h$ hündürlük, $S_{\mathrm{ot}}$ isə bir üzün sahəsidir. Oturacaq bərabərtərəfli üçbucaq olduğundan onun sahəsi və tetraedrin hündürlüyünü piramidanın həcm düsturunda işlət.

Öyrənilməli düstur

V=S_{\mathrm{ot}}H=\frac{(a+b)tH}{2}=\frac{(S_1+S_2)t}{2}

Trapesiya oturacaqlı düz prizmada $a,b$ trapesiyanın paralel tərəfləri, $t$ onların arasındakı məsafə, $H$ prizmanın hündürlüyüdür. Paralel yan üzlərin sahələri $S_1=aH$ və $S_2=bH$ olduğundan həcmi hesablamaq üçün bu sahələrin cəmini həmin üzlər arasındakı məsafəyə vurub ikiyə böl.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}R^2=r^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2\\[6pt]S_{\mathrm{k}}=4\pi R^2,\qquad S_{\mathrm{s}}=2\pi r(r+h)\end{gathered}

$R$ kürənin radiusu, $r,h$ daxilinə çəkilən silindrin radiusu və hündürlüyü, $S_{\mathrm{k}},S_{\mathrm{s}}$ onların tam səth sahələridir. Silindrin ox kəsiyinin diaqonalı kürənin diametridir; kvadrat kəsikdə $h=2r$ əlaqəsi ilə ölçüləri tapıb səth sahələrini çıx.

Öyrənilməli düstur

V=\frac{1}{3}\times\frac{ab}{2}\times c=\frac{abc}{6}

$a,b,c$ üçbucaqlı piramidanın eyni təpədən çıxan və cüt-cüt perpendikulyar tillərinin uzunluqlarıdır. İki tilin yaratdığı düzbucaqlı üzü oturacaq seçdikdə üçüncü til hündürlük olur; üç uzunluğun hasilini altıya böl.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}S_{\text{ox}}=rh\\[6pt]l^2=r^2+h^2\\[6pt]S_{\text{tam}}=\pi r(r+l)\end{gathered}

Konusda $r$ radiusu, $h$ hündürlüyü, $l$ doğuranı, $S_{\text{ox}}$ isə ox kəsiyinin sahəsini bildirir. Kəsiyin sahəsindən və doğurandan radiusu müəyyən edib tam səthin sahəsini hesabla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}V_{\text{kub}}=a^3\\[6pt]V_{\text{piramida}}=\frac13 S_{\text{ot}}h\\[6pt]V_{\text{qalan}}=V_{\text{kub}}-V_{\text{piramida}}\end{gathered}

$a$ kubun tilini, $S_{\text{ot}}$ piramidanın oturacaq sahəsini, $h$ isə bu oturacağa çəkilən hündürlüyünü göstərir. Ortaq təpədən çıxan kub tilləri qarşılıqlı perpendikulyar olduğuna görə iki til üzərindəki parçalar üçbucaq oturacağın katetləri, üçüncü til isə piramidanın hündürlüyüdür.

Öyrənilməli düstur

S_{\text{yan}}=P_{\text{ot}}h,\qquad h=\frac{S_{\text{yan}}}{P_{\text{ot}}}

Düz prizmada $P_{\text{ot}}$ oturacağın perimetrini, $h$ hündürlüyü, $S_{\text{yan}}$ yan səthin sahəsini göstərir. Rombun yarım diaqonallarını düzbucaqlı üçbucağın katetləri götürərək tərəfini tap, sonra perimetrindən hündürlüyü hesabla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}V=\frac13\pi r^2h\\[6pt]r=l\sin\frac{\alpha}{2},\qquad h=l\cos\frac{\alpha}{2}\end{gathered}

$r$ konusun radiusu, $h$ hündürlüyü, $l$ doğuranı, $\alpha$ ox kəsiyinin təpə bucağıdır. Hündürlük bu bucağı iki bərabər hissəyə ayırdığından yaranan düzbucaqlı üçbucaqdan radiusu və hündürlüyü tapıb həcm düsturunda istifadə et.

Öyrənilməli düstur

V=\frac43\pi R^3,\qquad \frac{V_2}{V_1}=\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3

$R$ kürənin radiusunu, $V$ həcmini göstərir; indekslər əvvəlki və sonrakı ölçüləri fərqləndirir. Həcmin neçə dəfə dəyişdiyini tapmaq üçün radiusların nisbətini kuba yüksəlt.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}V_{\text{silindr}}=\pi r^2H,\qquad V_{\text{konus}}=\frac13\pi r^2h\\[6pt]V_{\text{boşluq}}=\pi r^2H-\frac13\pi r^2h\end{gathered}

$r$ ortaq oturacağın radiusu, $H$ silindrin, $h$ isə konusun hündürlüyüdür. Qabın su tutan hissəsini hesablamaq üçün silindrin həcmindən bütöv konusun həcmini çıx.

Öyrənilməli qayda

Bir müstəvidə yerləşən ox və parça üçün, parça oxun bir tərəfində qalırsa, oxa nə paralel, nə də perpendikulyardırsa, fırlanarkən kəsik konusun yan səthini yaradır. Ucların oxdan məsafələri oturacaqların radiuslarını verir; bu məsafələrin müsbət və müxtəlif olduğunu yoxla.

Silindr və konus yan-yana

Radiusu və hündürlüyü dəyiş. Eyni ölçülü silindrlə konusun həcmlərini, konusun doğuranını və tam səthini müqayisə et.

Nümunələr

Konusun yan səthinin açılışı radiusu

8

sm olan yarımdairədir. Hündürlüyünü tap. Burada

l=8

r=8\times\frac{180}{360}=4

; deməli,

h=\sqrt{64-16}=4\sqrt3

sm.

Radiusu $10$ sm olan kürəyə daxil edilmiş düzgün dördbucaqlı prizmanın hündürlüyü $12$ sm-dir. Həcmini tap. Oturacaq diaqonalı üçün $d^2=20^2-12^2=256$ . Buna görə $B=128$ sm² və $V=128\times12=1536$ sm³.

Kvadrat oturacaqlı düzgün piramidada oturacağın tərəfi $8$ sm, apofem $5$ sm-dir. Həcmini tap. Apofemin oturacağa proyeksiyası $4$ sm olduğundan $h=\sqrt{25-16}=3$ sm. Beləliklə, $V=\frac13\times64\times3=64$ sm³.

Silindr formalı qabın oturacağının radiusu

3

sm, hündürlüyü

10

sm-dir. Qabın dibində eyni oturacaqlı, hündürlüyü

6

sm olan bərk konus var, təpəsi yuxarı baxır. Qab neçə sm³ su tutar?

Həllə bax

Bütöv silindrin həcmi: $V_1=\pi\times3^2\times10=90\pi$ sm³.
Konusun həcmi: $V_2=\frac13\pi\times3^2\times6=18\pi$ sm³.
Konusun tutduğu yerə su girmir, ona görə $V=90\pi-18\pi=72\pi$ sm³.

$72\pi$ sm³

Tipik səhv

Konusda $r=3$ , $l=5$ : $V=\frac13\pi\times3^2\times5=15\pi$

Əvvəl hündürlük: $h=\sqrt{5^2-3^2}=4$ , sonra $V=\frac13\pi\times3^2\times4=12\pi$

Doğuran maili gedir, hündürlük isə oturacaq müstəvisinə perpendikulyardır. Ona görə doğuranı və ya apofemi həcm düsturunda hündürlük yerinə yazma: əvvəl perpendikulyar hündürlüyü tap.

Konusun açılışındakı sektor radiusunu oturacaq radiusu ilə qarışdırma, sektorun radiusu doğurandır. Tam səthi hesablayanda oturacaqları da nəzərə al.

Özünü yoxla

Oturacağının radiusu $2$ sm, hündürlüyü $7$ sm olan silindrin tam səthinin sahəsini tap.

Piramidanın oturacağının sahəsi $18$ sm²-dir. Uzunluğu $10$ sm olan yan til oturacaq müstəvisi ilə $30^\circ$ bucaq yaradır. Piramidanın həcmini tap.

İki kürədən böyüyünün səthinin sahəsi kiçiyininkindən $9$ dəfə böyükdür. Böyük kürənin həcminin kiçik kürənin həcmindən neçə dəfə böyük olduğunu tap.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Fırlanma fiqurları», səh. 104
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Silindr», səh. 105
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Silindrin səthinin sahəsi», səh. 107
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Konus», səh. 111
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Konusun səthinin sahəsi», səh. 113
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Silindrin və konusun müstəvi kəsikləri», səh. 118
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Kəsik konus və səthinin sahəsi», səh. 120
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Kürə və hissələrinin səthinin sahəsi», səh. 123
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Mürəkkəb fiqurların səthinin sahəsi», səh. 129
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Oxşar fiqurların səthinin sahəsi», səh. 131
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Silindrin həcmi», səh. 176
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Konusun həcmi», səh. 180
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Kəsik konusun həcmi», səh. 183
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Kürə və hissələrinin həcmi», səh. 184
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Oxşar fiqurların həcmi», səh. 189
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Çoxüzlülər», səh. 166
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Prizmalar», səh. 170
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Çoxüzlülər və onların müxtəlif tərəflərdən görünüşləri», səh. 173
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Prizmanın səthinin sahəsi», səh. 175
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Prizmanın müstəvi kəsikləri», səh. 181
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Piramidanın yan səthinin və tam səthinin sahəsi», səh. 183
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Kəsik piramida», səh. 190
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Prizmanın həcmi», səh. 219
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Piramidanın həcmi», səh. 228
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Fəza fiqurlarının oxşarlığı», səh. 232
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Oxşar fəza fiqurlarının səthləri və həcmləri», səh. 233
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Kəsik piramidanın həcmi», səh. 237
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Fəzada simmetriya», səh. 239
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 7.4 «Konusun tam səthinin sahəsi və həcmi», səh. 66
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 7.5 «Kürə. Kürə səthinin sahəsi və həcmi», səh. 42
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 8.4 «Düz üçbucaqlı prizmanın və silindrin səthinin sahəsi», səh. 90
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 8.5 «Düz üçbucaqlı prizmanın və silindrin həcmi», səh. 93
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 7.1 «Kub və kuboidin səthinin sahəsi», səh. 63
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 7.2 «Oturacağı düzbucaqlı üçbucaq olan düz prizmanın səthinin sahəsi», səh. 68
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 7.3 «Düz prizmanın həcmi», səh. 71